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      Abel環(huán)的一些刻畫(Ⅲ)

      2015-12-08 15:15:10周慧敏杜昕彥魏俊潮
      揚州大學學報(自然科學版) 2015年4期
      關鍵詞:約化等價正則

      周慧敏,杜昕彥,魏俊潮

      (揚州大學數學科學學院,江蘇 揚州 225002)

      Abel環(huán)的一些刻畫(Ⅲ)

      周慧敏,杜昕彥,魏俊潮*

      (揚州大學數學科學學院,江蘇 揚州 225002)

      設R為環(huán),證明了如下結論:1)R為Abel環(huán)當且僅當對任意x,y∈R,當1-xy∈GPE(R)時必有1-y x∈GPE(R);2)若R為正則環(huán),則PE(R)為正則環(huán);3)R為約化環(huán)當且僅當對每個e∈E(R),a∈N(R),存在x∈R,使得ae=eaxae;4)R為強正則環(huán)當且僅當對任意a,b∈R,存在x∈R,使得ab=baxab.

      Abel環(huán);冪等元;冪零元;約化環(huán);正則環(huán)

      0 引言

      本文中的環(huán)都是有單位元的結合環(huán).設R為一個環(huán),E(R),N(R),Z(R)分別表示R的冪等元集合、冪零元集合及R的中心.設x∈R,若存在正整數n=n(x)≥2,使得x n=x,則稱x是R的potent元.易見,冪等元總是potent元,但反之未必.例如:在環(huán)Z6中,是potent元,但不是冪等元.記PE(R)={a∈R|a與R的全體potent元可交換},則易證PE(R)是R的子環(huán).若E(R)?Z(R),則稱R為Abel環(huán).眾所周知,冪等元在環(huán)論中發(fā)揮了重要作用,很多著名的環(huán)類如強正則環(huán)、exchange環(huán)、clean環(huán)都與冪等元緊密相關.冪等元的很多性質已被逐步應用到矩陣代數與Hilbert空間中的正交投射算子中[1-2].近年來,有關Abel環(huán)的研究很多,Han等[3]證明了一個環(huán)R是Abel環(huán)當且僅當對R的任意冪等元f,e,有fe,ef都是冪等元;屈寅春等[4-5]先后證明了一個環(huán)R為Abel環(huán)當且僅當CZE(R)(R)是R的理想,一個環(huán)R為Abel環(huán)當且僅當R的每個冪等元可唯一地表示為一個square元與一個冪等元之和;周穎等[6]證明了一個環(huán)R為Abel環(huán)當且僅當對任意e,g∈E(R),有|e∨g|≤3;Wei等[7]證明了一個環(huán)R為Abel環(huán)當且僅當R是quasi-normal環(huán)和左冪等自反環(huán).關于冪等元的研究還可參見文獻[8-10].本文的主要目的是繼續(xù)刻畫Abel環(huán).

      1 主要結論

      設R是一個環(huán),記GPE(R)={a∈R|對R的每個potent元x,存在正整數m=m(x),使得ax=x max}.一個環(huán)R是Abel環(huán)當且僅當對每個e∈E(R),總有(1-e)Re=0.借助于GPE(R),有如下定理.

      定理1 設R為一個環(huán),則下列條件等價:

      1)R為Abel環(huán);

      2)GPE(R)=R;

      3)對任意x,y∈R,當xy∈GPE(R)時必有x∈GPE(R)或y∈GPE(R).

      證明 1)?2):由于R為 Abel環(huán)當且僅當ZE(R)=R,并注意到ZE(R)?GPE(R),故GPE(R)=R.

      2)?3):顯然.

      3)?1):設e∈E(R).任取a∈R,記h=(1-e)ae,則he=h,eh=0且h2=0∈GPE(R),所以h∈GPE(R),h=he=ehe=0;因此,對每個a∈R,都有(1-e)ae=0,從而R為Abel環(huán).

      由定理1的證明可得如下推論.

      推論2R為Abel環(huán)當且僅當對任意x,y∈R,當xy∈ZE(R)時必有x∈ZE(R)或y∈ZE(R).

      由于一個環(huán)R是Abel環(huán)當且僅當N(R)?ZE(R),故利用定理1易得如下推論.

      推論3R為Abel環(huán)當且僅當N(R)?GPE(R).

      定理4 設R為一個環(huán),則下列條件等價:

      1)R為Abel環(huán);

      2)對任意x,y∈R,當1-xy∈GPE(R)時必有1-y x∈GPE(R);

      3)對任意e,g∈E(R),當1-eg∈GPE(R)時必有1-ge∈GPE(R).

      證明 1)?2):由定理1知成立.

      2)?3):顯然.

      3)?1):設e∈E(R).任取a∈R,記g=e+(1-e)ae,則eg=e,ge=g且g2=g.由于1-e(1-g)=1∈GPE(R),故由3)知1-(1-g)e∈GPE(R),即1-e+g∈GPE(R).于是,e(1-e+g)e=(1-e+g)e,故ege=ge,即g=e.這說明對每個a∈R,有(1-e)ae=0,因此R為Abel環(huán).

      由定理4,可得如下推論.

      推論5 設R為一個環(huán),則下列條件等價:

      1)R為Abel環(huán);

      2)對任意x,y∈R,當1-xy∈ZE(R)時必有1-y x∈ZE(R);

      3)對任意e,g∈E(R),當1-eg∈ZE(R)時必有1-ge∈ZE(R).

      設R為一個環(huán),若對每個a∈R,存在b∈R,使得a=aba,則稱R為正則環(huán).若R為正則環(huán),則Z(R)是正則環(huán).文獻[4]3中推論10證明了:若R為正則環(huán),則ZE(R)為正則環(huán).本文將推廣這個結果如下.

      定理6 設R為正則環(huán),則PE(R)為正則環(huán).

      證明 設a∈PE(R),由于R為正則環(huán),故存在b∈R,使得a=aba.記e=ba,g=ab,則e,g是potent元且a=ae=ga.由于a∈PE(R),故ag=ga=a=ae=ea,因此a2b=a=ba2,從而a2b3=b3a2.設x為任一個potent元,則xa=ax,即ba2x=xa2b=a2xb,因此b3a2x=a2xb3,于是b3a2∈PE(R).由于a(b3a2)a=ab2(ba2)a=ab2a2=ab(ba2)=aba=a,故PE(R)為正則環(huán).

      定理7 設R為一個環(huán),則下列條件等價:

      1)R為Abel環(huán);

      2)對任意e,g∈E(R),存在x∈R,使得eg=gexge;

      3)對任意e,g∈E(R),存在y∈R,使得eg=geyeg.

      證明 1)?2),1)?3):顯然.

      設e∈E(R).任取a∈R,記g=e+ea(1-e),則eg=g,ge=e,g2=g;若2)成立,則存在x∈R,使得eg=gexge,故g=exe,從而e=ge=(exe)e=exe=g;若3)成立,則有y∈R,使得e(1-g)=(1-g)eye(1-g),由于(1-g)e=e-ge=e-e=0,從而e(1-g)=0,故e=eg=g;因此,無論在條件2)還是條件3)下,總有e=g;因此,ea(1-e)=0,故R為Abel環(huán).

      設R為一個環(huán),若N(R)=0,則稱R是約化環(huán)[11].關于約化環(huán),有如下刻畫.

      定理8 設R為一個環(huán),則下列條件等價:

      1)R為約化環(huán);

      2)對每個e∈E(R),a∈N(R),存在x∈R,使得ae=eaxae;

      3)對每個e∈E(R),a∈N(R),存在x∈R,使得ae=eaxea.

      證明 1)?2),1)?3):由于R為約化環(huán)時,故N(R)=0,易證結論成立.

      2)?1):現設a∈N(R)且a2=0,由2)知存在x∈R,使得a=axa.設e=xa,則a=ae且e2=e.再由2)知存在y∈R,使得ae=eayae.因為ea=xa2=0,所以a=ae=0,從而R為約化環(huán).

      同理可證,3)?1).

      由定理8易證如下推論.

      推論9 設R為一個環(huán),則下列條件等價:

      1)R為約化環(huán);

      2)對每個a∈N(R),每個b∈R,存在x∈R,使得ab=baxab;

      3)對每個a∈N(R),每個b∈R,存在x∈R,使得ab=baxba;

      4)對每個a∈N(R),存在x∈aRa,使得a=axa.

      關于強正則環(huán),有如下定理.

      定理10 設R為一個環(huán),則下列條件等價:

      1)R為強正則環(huán);

      2)對每個a∈R,每個e∈E(R),存在x∈R,使得ae=eaxea;

      3)對每個a∈R,每個e∈E(R),存在x∈R,使得ae=eaxae.

      證明 1)?2),1)?3):設R為強正則環(huán),則R為正則環(huán)和Abel環(huán),故對每個a∈R,都有x∈R,使得a=axa.從而,對每個e∈E(R),有ae=eaxea=eaxae.

      2)?1):由2)知R為正則環(huán),再由定理7知R為Abel環(huán),從而R為強正則環(huán).

      同理可證,3)?1).

      推論11 設R為一個環(huán),則下列條件等價:

      1)R為強正則環(huán);

      2)對任意a,b∈R,存在x∈R,使得ab=baxab.

      證明 2)?1):定理10的直接推論.

      1)?2):設a,b∈R,由于R為強正則環(huán),故R為正則環(huán)和Abel環(huán),從而存在m,y,z∈R,使得ab=abmab,a=aya,b=bzb.設e=ay,g=bz,則a=ea,b=gb且e,g∈E(R),于是ab=abmab=agbmab=gabmab=bzabmab=bzeabmab=bezabmab=bayzabmab=ba(yz)ab.令x=y(tǒng)z,則ab=baxab.

      由環(huán)R的一個元a是強正則元當且僅當存在R的可逆元u,使得a=aua且ua=au,因此有如下定理.

      定理12 設R為一個環(huán),則下列條件等價:

      1)R為強正則環(huán);

      2)對任意a,b∈R,存在R的可逆元u,使得ab=bauab.

      證明 2)?1):推論11的直接推論.

      1)?2):設a,b∈R,由于R為強正則環(huán),故R為正則環(huán)和Abel環(huán),從而存在x,v,w∈R,其中v,w是可逆元,使得ab=abxab,a=awa,b=bvb.設e=bv,g=aw,則a=ga,b=eb,且e,g∈E(R),因此ab=abxab=agbmab=gaebxab=egabxab=bvgabxab=bgvabxab=bawvabxab=ba(wv)ab.取u=wv,則u是R的可逆元,且ab=bauab.

      推論13 設R為一個環(huán),則下列條件等價:

      1)R為強正則環(huán);

      2)對任意a∈R,存在b∈aRa,使得a=aba.

      證明 1)?2):設a∈R,則存在R的可逆元u使得a=aua且ua=au.取b=uauau,則a=aba,且b=au3a∈aRa.

      2)?1):由推論9知R是約化環(huán).由于約化的正則環(huán)是強正則環(huán),故R是強正則環(huán).

      [1]RAKO EVI V.On the norm of idempotent in a Hilbert space[J].Amer Math Monthly,2000,107(8):748-750.

      [2]KOLIHA J J,RAKO EVI V.Invertibility of the difference of idempotents[J].Linear Multilinear Algebra,2003,51(1):97-110.

      [3]HAN J,LEE Y,PARK S W.Semicentral idempotents in a ring[J].J Korean Math Soc,2014,51(3):463-472.

      [4]屈寅春,范志勇,魏俊潮.環(huán)的子集的交換化子的性質 [J].揚州大學學報(自然科學版),2013,16(1):1-3.

      [5]屈寅春,周穎,魏俊潮.Abel環(huán)的一些刻畫 [J].揚州大學學報(自然科學版),2012,15(4):5-7.

      [6]周穎,李敏,魏俊潮.Abel環(huán)的一些刻畫(Ⅱ)[J].揚州大學學報(自然科學版),2015,18(1):1-3,8.

      [7]WEI Junchao,LI Libin.Quasi-normal rings[J].Comm Algebra,2010,38(5):1855-1868.

      [8]WANG Shuqin.On op-idempotents[J].Kyungpook Math J,2005,45(2):171-175.

      [9]CHEN Huanyin.A note on potent elements[J].Kyungpook Math J,2005,45(4):519-526.

      [10]ZHOU Ying,WEI Junchao.Generalized weakly central reduced rings[J].Turkish J Math,2015,39(5):604-617.

      [11]WEI Junchao.On rings with weakly prime centers[J].Ukrainian Math J,2014,66(12):1812-1822.

      Some characterizations on Abel rings(Ⅲ)

      ZHOU Huimin,DU Xinyan,WEI Junchao*

      (Sch of Math Sci,Yangzhou Univ,Yangzhou 225002,China)

      In this paper,the following results are proved:1)A ringRis an Abel ring if and only if for eachx,y∈R,1-xy∈GPE(R)implies that 1-yx∈GPE(R);2)IfRis a regular ring,thenPE(R)is a regular ring;3)Ris a reduced ring if and only if for eache∈E(R)anda∈N(R),there exists an elementxofRsuch thatae=eaxae;4)Ris a strongly regular ring if and only if for eacha,b∈R,there existsx∈Rsuch thatab=baxab.

      Abel ring;idempotent element;nilpotent element;reduced ring;regular ring

      O 153.3;O 154

      A

      1007-824X(2015)04-0016-03

      2015-04-23.* 聯系人,E-mail:jcweiyz@126.com.

      國家自然科學基金資助項目(11471282);2014年揚州大學大學生科技創(chuàng)新資助項目.

      周慧敏,杜昕彥,魏俊潮.Abel環(huán)的一些刻畫(Ⅲ)[J].揚州大學學報(自然科學版),2015,18(4):16-18,23.

      book=23,ebook=252

      (責任編輯 青 禾)

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