數(shù)學(xué)建模在晝夜節(jié)律生物鐘中的應(yīng)用*

李瑩 鄭明銀 劉曾榮

（1.上海海洋大學(xué)信息學(xué)院，上海 201306）（2.泛亞汽車(chē)技術(shù)中心有限公司，上海 201201）（3.上海大學(xué)系統(tǒng)生物技術(shù)研究所，上海 200444）

引言

生物理論模型的發(fā)展具有很長(zhǎng)的歷史，早在遺傳學(xué)和分子生物學(xué)出現(xiàn)之前，人們就利用概念上的數(shù)學(xué)模型來(lái)研究生物群體和生物系統(tǒng)中的一些現(xiàn)象特征.隨著生命過(guò)程中復(fù)雜動(dòng)力學(xué)分子調(diào)控機(jī)制的發(fā)現(xiàn)，人們基于實(shí)際的調(diào)控過(guò)程建立了詳細(xì)的模型.從神經(jīng)元活性到代謝、細(xì)胞周期、晝夜節(jié)律生物鐘等細(xì)胞過(guò)程，人們建立了各種各樣的動(dòng)力學(xué)模型，這些模型仍然是理論研究的焦點(diǎn).

生物鐘的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)是由一些鐘基因和蛋白以及它們之間的調(diào)控作用、轉(zhuǎn)錄、后轉(zhuǎn)錄（比如多磷酸化、蛋白復(fù)合物的形成等）組成.目前，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了幾種由正負(fù)反饋環(huán)組成的轉(zhuǎn)錄機(jī)制［1］，這些環(huán)路使得單個(gè)細(xì)胞能產(chǎn)生以24小時(shí)為周期的節(jié)律振子，細(xì)胞間的耦合機(jī)制使得細(xì)胞振子在組織水平上達(dá)到同步［2，3］.晝夜節(jié)律生物鐘涉及到有機(jī)體的各個(gè)不同水平，遺傳學(xué)家、分子生物學(xué)家、結(jié)構(gòu)生物學(xué)家、生理學(xué)家和數(shù)學(xué)家等都對(duì)生物鐘進(jìn)行了廣泛的研究.早在第一個(gè)時(shí)鐘基因被發(fā)現(xiàn)之前，數(shù)理學(xué)者們就在探索生物鐘建模的方法.在1960年前，有關(guān)晝夜節(jié)律生物鐘的文獻(xiàn)就有600多篇［4］.現(xiàn)在，生物鐘的理論模型已經(jīng)成為理解復(fù)雜晝夜節(jié)律生物鐘的一個(gè)普遍而有效的方法.

數(shù)學(xué)模型可以幫助我們?cè)趩蝹€(gè)細(xì)胞和細(xì)胞群體之間掌握和理解晝夜節(jié)律生物鐘的動(dòng)力學(xué)特征.通過(guò)數(shù)值模擬，數(shù)學(xué)模型可以分析關(guān)鍵參數(shù)在系統(tǒng)中的作用，可以預(yù)測(cè)在沒(méi)有被實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的條件下的系統(tǒng)行為.數(shù)學(xué)模型也可以為實(shí)驗(yàn)中的直觀發(fā)現(xiàn)提供合理的解釋?zhuān)蛘呓沂旧镧姺肿訖C(jī)制的設(shè)計(jì)原理.

盡管可以利用數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)等工具來(lái)研究生命系統(tǒng)，但是沒(méi)有現(xiàn)成的方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.實(shí)際上，當(dāng)我們要寫(xiě)方程構(gòu)建模型時(shí)，有很多問(wèn)題需要考慮.建模時(shí)所做的選擇不僅取決于所研究的生物問(wèn)題，也與建模人員的專(zhuān)業(yè)背景和經(jīng)驗(yàn)有關(guān).本文將介紹用來(lái)研究晝夜節(jié)律生物鐘動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的各類(lèi)模型以及分析模型的方法，然后介紹數(shù)學(xué)模型在研究生物鐘中的優(yōu)勢(shì)、局限性和未來(lái)面臨的挑戰(zhàn).

1 模型建立

1.1 模型框架

每年都有幾百篇論文報(bào)到新的鐘基因的發(fā)現(xiàn)、新的基因突變以及新的調(diào)控關(guān)系等，但是在晝夜節(jié)律生物鐘研究中并不能包含所有的信息.建立數(shù)學(xué)模型需要收集和整合所研究系統(tǒng)涉及到的各種信息，區(qū)分出系統(tǒng)的關(guān)鍵成分，并從中找出系統(tǒng)各個(gè)成分之間的關(guān)鍵作用和連接.在晝夜節(jié)律生物鐘領(lǐng)域，為了建立模型甚至在寫(xiě)方程之前，要畫(huà)一個(gè)包含這些信息的框架圖.

構(gòu)建框架要求我們認(rèn)清系統(tǒng)中各組成成分之間相互作用的本質(zhì)并整理不同的分子過(guò)程.比如：假定一個(gè)蛋白可以被磷酸化并在細(xì)胞核中擔(dān)任轉(zhuǎn)錄因子.這個(gè)信息或許來(lái)自不同的文獻(xiàn)，但是我們并不清楚到底是這個(gè)蛋白先進(jìn)入細(xì)胞核再磷酸化還是磷酸化之后再進(jìn)入細(xì)胞核.建立模型就要將各種不同的分子過(guò)程進(jìn)行連接和整理.另外一個(gè)問(wèn)題是如何處置蛋白復(fù)合物.為了降低模型的復(fù)雜度，我們需要識(shí)別哪些蛋白復(fù)合物在生物鐘中起關(guān)鍵作用［5］.對(duì)這類(lèi)問(wèn)題實(shí)驗(yàn)證據(jù)的缺失使得研究者們或者考慮簡(jiǎn)化后的模型（比如不區(qū)分細(xì)胞質(zhì)和細(xì)胞核中蛋白的形式，并且只考慮有限幾個(gè)蛋白復(fù)合物），或者需要驗(yàn)證或辨別各種模棱兩可的生物學(xué)機(jī)制.

1.2 從框架到方程

一旦有了模型框架，我們要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)方程.方程通常用來(lái)描述關(guān)鍵化合物（變量）的濃度或活性隨時(shí)間的演化過(guò)程.模型可以是概念上的（也就是一般意義上的）也可以是根據(jù)生物有機(jī)體的精確生命過(guò)程建立起來(lái)的［6］.通常，模型是由描述變量動(dòng)力學(xué)特性的常微分方程組成的方程組，模型類(lèi)型見(jiàn)表 1［7］.

相振子方程是最抽象最直觀的一類(lèi)模型，其中變量是振子的振幅和相位，這類(lèi)方程可以獨(dú)立于分子機(jī)制來(lái)描述振子的動(dòng)力學(xué)行為.相振子方程可以用來(lái)研究一般的動(dòng)力學(xué)特性，比如相響應(yīng)曲線［8］、日常光照的導(dǎo)引［9］、耦合振子的同步［10］、或?yàn)閷?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提供合理的解釋?zhuān)?1］.另外一類(lèi)是現(xiàn)象模型，其中的變量和參數(shù)與分子化合物沒(méi)有直接聯(lián)系，這類(lèi)方程可以用來(lái)研究振子的一般特性.Van der Pol模型是一個(gè)物理模型［12］，研究者將其適當(dāng)修改以產(chǎn)生節(jié)律周期以及響應(yīng)光照的導(dǎo)引，用來(lái)描述晝夜節(jié)律生物鐘［13］，進(jìn)而研究哺乳動(dòng)物生物鐘振子的重置特性［14］、藍(lán)藻生物鐘振子與細(xì)胞分裂振子之間的相互作用［15］以及生物鐘振子的同步［16］.

早在晝夜節(jié)律生物鐘的分子機(jī)制被揭示之前，研究者們就為生物鐘提出了一般的分子模型，其中最著名的就是由Goodwin于1965年提出的Goodwin振子模型［17］，該模型是一個(gè)含有一個(gè)負(fù)反饋環(huán)的最小的振子模型.二十世紀(jì)九十年代，果蠅和脈孢菌的生物鐘轉(zhuǎn)錄調(diào)控的負(fù)反饋環(huán)被第一次證實(shí)［18，19］.隨后，Ruoff及其合作者在 Goodwin振子的基礎(chǔ)上建立了其微分方程模型［20］.這個(gè)簡(jiǎn)單的模型或其變形，至今仍被用來(lái)分析核心節(jié)律振子的根本性質(zhì)或者耦合節(jié)律振子的同步問(wèn)題［21-23］.

表1 晝夜節(jié)律生物鐘數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)Table 1 Types ofmathematicalmodels proposed for circadian clocks

隨著分子生物學(xué)的發(fā)展，生物鐘的分子機(jī)制越來(lái)越清楚，反映生物細(xì)節(jié)的模型也越來(lái)越多.隨著新的時(shí)鐘基因和蛋白的發(fā)現(xiàn)，基于分子機(jī)制的模型也在不斷被更新.模型中用5個(gè)到70個(gè)不等的變量描述參與生物鐘的mRNA和蛋白的濃度，濃度的演變方程是基于合成（轉(zhuǎn)錄或翻譯）、降解、修正（磷酸化等）、復(fù)合物的合成或分解以及細(xì)胞成分的傳輸?shù)冉⒌?這些過(guò)程的動(dòng)力學(xué)是基于標(biāo)準(zhǔn)的生化反應(yīng)以及酶動(dòng)力學(xué)來(lái)建立的，一般用Michaelis-Menten方程或者Hill函數(shù)來(lái)描述，模型中的參數(shù)分別代表合成率或降解率、傳輸率、結(jié)合親和力等.目前，對(duì)哺乳動(dòng)物、脈孢菌、果蠅、擬南芥和藍(lán)藻等生物的生物鐘已經(jīng)有大量的計(jì)算模型［24-30］.詳細(xì)的數(shù)學(xué)模型是依據(jù)詳細(xì)的生物學(xué)機(jī)制建立的，模型變量個(gè)數(shù)較多，在此就不列出，可查閱相關(guān)文獻(xiàn).

建模方法的選擇取決于所研究的問(wèn)題.一般的模型用來(lái)研究晝夜節(jié)律生物鐘的一般特性，比如大量振子之間的耦合，或者研究受生物鐘調(diào)控的現(xiàn)象.在這些問(wèn)題中，能產(chǎn)生晝夜節(jié)律振子的模型很重要，但是相關(guān)的分子機(jī)制卻不是必需的.反之，如果研究的是生物鐘的結(jié)構(gòu)與相響應(yīng)曲線的形狀之間的關(guān)系，或者是某個(gè)基因突變對(duì)生物鐘的影響，我們則需要一個(gè)詳細(xì)的模型來(lái)明確地描述光照的作用或者與突變相關(guān)的參數(shù).

2 模型的分析

2.1 數(shù)值模擬及參數(shù)的選取

大部分的模型中都包含若干個(gè)變量，其時(shí)間演化方程中含有Michaelis-Menten方程以及Hill函數(shù)等非線性項(xiàng).當(dāng)變量個(gè)數(shù)較多時(shí)，這類(lèi)方程一般不能通過(guò)分析的方法求解.這就需要用數(shù)值模擬的方法求系統(tǒng)的數(shù)值解，進(jìn)而研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).然而，數(shù)值模擬要求方程中的每個(gè)參數(shù)的值取定，這個(gè)要求往往是比較難辦.因此，大家通常關(guān)注系統(tǒng)在不同參數(shù)取值條件下的動(dòng)力學(xué)行為，分岔圖是研究系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制參數(shù)之間關(guān)系的一個(gè)有力工具.

目前有許多軟件可以用來(lái)對(duì)非線性微分方程組進(jìn)行數(shù)值模擬求數(shù)值解.其中被建模者用的較多的軟件是XPPAUT［31］，該軟件可以提供各種綜合方法，并且可以用該軟件畫(huà)分岔圖.其它軟件還有Grind［32］、Berkeley Madonna和 COPASI，以及程序語(yǔ)言比如Matlab或 Mathematica.

系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為依賴于參數(shù)取值，但是我們并不能通過(guò)改變參數(shù)取值得到系統(tǒng)任意的動(dòng)力學(xué)行為，只能根據(jù)系統(tǒng)的一些特征把參數(shù)的取值縮小到一定范圍內(nèi).為了得到極限環(huán)振子，系統(tǒng)應(yīng)該包含一個(gè)負(fù)反饋環(huán)以及非線性項(xiàng).在選取參數(shù)時(shí)除了要考慮周期近24小時(shí)外，其它的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)也需要考慮，比如振子的振幅、變量之間的相關(guān)系、突變的影響、被光照的導(dǎo)引以及相響應(yīng)曲線等.滿足條件的參數(shù)值往往是通過(guò)手工微調(diào)得到的，有時(shí)也用自動(dòng)化方法來(lái)選取參數(shù)值，這種方法一般依賴于最優(yōu)化方法.找到一組合適的參數(shù)值也不是永遠(yuǎn)有效，只是能使系統(tǒng)產(chǎn)生具有魯棒性的振子，當(dāng)參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，其周期和振幅不變或者只有輕微的變化.為了量化參數(shù)變化的影響，研究者們提出幾種敏感性分析并且應(yīng)用在節(jié)律模型中［33］.

2.2 極限環(huán)振子、分岔圖及相響應(yīng)曲線

晝夜節(jié)律振子是一種內(nèi)在的周期活動(dòng)，即使在沒(méi)有外界刺激下，節(jié)律仍然存在.晝夜節(jié)律生物鐘表現(xiàn)出的振子行為是系統(tǒng)自身產(chǎn)生的自維持振子，而不是系統(tǒng)被動(dòng)地響應(yīng)外界周期環(huán)境信號(hào)產(chǎn)生的.

大部分的晝夜節(jié)律生物鐘模型都產(chǎn)生極限環(huán)振子，其特點(diǎn)是有特定的周期和振幅，且與初始條件無(wú)關(guān).極限環(huán)振子使得系統(tǒng)在環(huán)境小擾動(dòng)下具有魯棒性.盡管在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的振子類(lèi)型可能依賴于細(xì)胞類(lèi)型、組織以及環(huán)境條件等，很難被刻畫(huà)，但是理論學(xué)家們一般都用極限環(huán)模型來(lái)刻畫(huà)它們［34，35］.

通常極限環(huán)的特征隨著參數(shù)值變化而變化，這種變化可以通過(guò)分岔圖展示出來(lái).分岔圖描述的是振子的振幅或者是變量的最大值、最小值或者是振子的周期與控制參數(shù)的函數(shù)關(guān)系.通過(guò)數(shù)值模擬可以畫(huà)出每個(gè)變量關(guān)于控制參數(shù)的分岔圖，如果系統(tǒng)收斂到穩(wěn)態(tài)，則變量的最大最小值將在分岔圖上重合成一個(gè)點(diǎn).振子形狀的變化以及周期隨著控制參數(shù)的變化不僅依賴于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，也依賴于其他參數(shù)值，單純的直觀預(yù)測(cè)是很難得到的.

2.3 光照導(dǎo)引及相響應(yīng)曲線

在晝夜節(jié)律研究中，光照始終是一個(gè)至關(guān)重要的因素.在自然條件下，生物有機(jī)體受到日夜交替的周期光照影響.為了適應(yīng)這種周期環(huán)境，晝夜節(jié)律生物鐘被光照周期導(dǎo)引（當(dāng)振子周期等于光照周期時(shí)，稱系統(tǒng)被導(dǎo)引）.

光照對(duì)模型的影響可以通過(guò)調(diào)整與光照相關(guān)的參數(shù)值進(jìn)行模擬.比如，為了模擬日夜交替光照對(duì)哺乳動(dòng)物生物鐘振子的影響，per基因的轉(zhuǎn)錄速率在白天取較大的值，在晚上取較小的值.換句話說(shuō)，通過(guò)對(duì)模型中依賴于光照的轉(zhuǎn)錄速率加一個(gè)周期驅(qū)動(dòng)來(lái)模擬日夜交替的周期光照.當(dāng)節(jié)律振子被周期驅(qū)動(dòng)導(dǎo)引時(shí)，相對(duì)于外部驅(qū)動(dòng)而言，振子的相位是固定的，也稱振子被相鎖.通常，當(dāng)日夜交替周期光照的周期與節(jié)律振子的周期非常接近時(shí)，周期振子可以被導(dǎo)引并與周期光照信號(hào)相鎖［36］.當(dāng)周期光照信號(hào)的振幅比較小或者其周期與節(jié)律振子周期差別較大時(shí)，振子不能被導(dǎo)引而表現(xiàn)出非規(guī)則振動(dòng)及非相鎖等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.

光照脈沖通常誘導(dǎo)振子的相變，脈沖加入系統(tǒng)可能導(dǎo)致振子的相位超前或滯后.相變的符號(hào)和振幅關(guān)于加入脈沖時(shí)刻的函數(shù)圖像稱為相響應(yīng)曲線（PRC），該曲線是光照對(duì)生物鐘的影響?yīng)氂械奶卣?光照脈沖可以通過(guò)在一個(gè)短時(shí)間周期內(nèi)提高相關(guān)參數(shù)的值來(lái)實(shí)現(xiàn).相變可以通過(guò)比較振子在光脈沖下的相位以及沒(méi)有光脈沖下的相位得到.畫(huà)出相變和脈沖加入時(shí)刻之間的函數(shù)關(guān)系就得到相響應(yīng)曲線，并且可以將畫(huà)出的相響應(yīng)曲線與實(shí)驗(yàn)得到的相響應(yīng)曲線對(duì)比［37］.

3 模型評(píng)價(jià)

3.1 模型的優(yōu)勢(shì)

理論模型可以提供新的方法用來(lái)研究復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征，并且有助于解釋很難被實(shí)驗(yàn)解釋的一些熱點(diǎn)問(wèn)題.數(shù)學(xué)模型已經(jīng)被用于研究晝夜節(jié)律生物鐘的基本特征以及生物鐘與生理和行為之間的關(guān)系［38］.

模型的另一個(gè)優(yōu)勢(shì)是可以突出生物系統(tǒng)基本的設(shè)計(jì)原理.比如節(jié)律振子必須對(duì)溫度、參數(shù)變化或者分子噪聲魯棒，這與其它遺傳振子是類(lèi)似的，于是這些不同的系統(tǒng)可以共享共同的調(diào)控結(jié)構(gòu)［39，40］.研究發(fā)現(xiàn)，許多振子都是由相鎖的正負(fù)反饋環(huán)組成.通過(guò)對(duì)這些系統(tǒng)的系統(tǒng)性研究，我們可以根據(jù)它們的正負(fù)反饋環(huán)回路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)它們進(jìn)行分類(lèi)［39］，并且將它們基本的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)（比如：正弦振子或松弛振子、分岔結(jié)構(gòu)、周期的可調(diào)性、魯棒性等等）與拓?fù)漕?lèi)型相對(duì)應(yīng)［39，40］.

3.2 模型的局限性

模型最普遍的局限性是方程的類(lèi)型以及參數(shù)值的選取都是任意的.分子模型是基于確定的基因調(diào)控過(guò)程建立的，而分子機(jī)制的精確過(guò)程通常是不知道的.經(jīng)常用Michaelis-Menten和Hill函數(shù)是因?yàn)轱柡投群蛣?dòng)力學(xué)閾值是酶動(dòng)力學(xué)過(guò)程的現(xiàn)實(shí)描述，并且它們提供了產(chǎn)生極限環(huán)和其它非平凡行為所必需的非線性，但是這些描述背后的假設(shè)卻很少被證明是滿足的.分子水平上的理論模型可以研究晝夜節(jié)律生物鐘量化的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，而量化數(shù)據(jù)（如參數(shù)值、絕對(duì)濃度或分子數(shù)量）很少可以被利用.因此，不可能為晝夜節(jié)律生物鐘建立一個(gè)精確的模型.

晝夜節(jié)律生物鐘的大部分模型是常微分方程模型，這些模型都忽略了細(xì)胞的空間結(jié)構(gòu).這些模型隱含的假設(shè)是mRNA和蛋白分子可以在細(xì)胞內(nèi)自由移動(dòng).然而，細(xì)胞內(nèi)是非常擁擠的，細(xì)胞過(guò)程在空間中被高度組合.空間和擴(kuò)散似乎在細(xì)胞系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)中起了關(guān)鍵作用.忽略擴(kuò)散或許是一個(gè)粗略的近似，這種近似使得量化模型變得具有很大爭(zhēng)議.然而，預(yù)測(cè)行為和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間的良好匹配可以提高模型及其動(dòng)力學(xué)特征的可信賴度.

最后，我們不得不認(rèn)識(shí)到，再具體的模型都不可能對(duì)問(wèn)題給出非常明確的回答.然而，它可以提供新的思路供我們思考.盡管正反饋環(huán)在晝夜節(jié)律振子中的作用沒(méi)有明確解釋?zhuān)遣煌哪Ｐ投伎梢詫?duì)這些環(huán)路的作用提供可能的提示，比如提高系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化的魯棒性、增加周期的可調(diào)性等等.所以，模型使得我們可以從一個(gè)新的角度看待和思考問(wèn)題.

4 結(jié)論

本文提到的不同模型說(shuō)明生物鐘的復(fù)雜結(jié)構(gòu)和它的動(dòng)力學(xué)特征之間存在著難以理解的關(guān)系.目前，仍有很多公開(kāi)的問(wèn)題有待解決.針對(duì)晝夜節(jié)律生物鐘分子機(jī)制的建模越來(lái)越多，隨著模型的發(fā)展，新的挑戰(zhàn)也逐漸浮出.分子模型不斷地被加入最新的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，變得越來(lái)越具體.利用這些模型可以研究節(jié)律中非常明確的問(wèn)題，比如具體的突變或者某個(gè)特定磷酸化的作用.最近的細(xì)胞模型不僅包含了生物鐘的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)，而且還包含了相關(guān)的成分，比如神經(jīng)遞質(zhì)、信號(hào)通路、鈣和其它離子的傳輸過(guò)程［41］.未來(lái)的模型將把詳細(xì)的分子機(jī)制與實(shí)際的細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相結(jié)合，這種模型毫無(wú)疑問(wèn)地將為晝夜節(jié)律生物鐘的功能提供新的觀點(diǎn).

近年來(lái)，越來(lái)越多的晝夜節(jié)律研究的實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)與建模協(xié)力進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究.基于新的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)模型得以進(jìn)一步改進(jìn)，并且基于模型的實(shí)驗(yàn)也將帶來(lái)新的數(shù)據(jù)，這樣的相互促進(jìn)迭代過(guò)程在晝夜節(jié)律研究中越來(lái)越普遍.建模也成了合成生物學(xué)中的關(guān)鍵步驟，研究者們已經(jīng)從實(shí)驗(yàn)上設(shè)計(jì)和構(gòu)造出了人造生物鐘［42］.設(shè)計(jì)一個(gè)魯棒可調(diào)的生物鐘顯然依賴于在生物鐘建模中所獲取的所有知識(shí).

1 Shearman L P，Sriram S，Weaver D R，et al.Interacting molecular loops in themammalian circadian clock.Science，2002，288：1013～1019

2 Hastings M H，Herzog E D.Clock genes，oscillators，and cellular networks in the suprachiasmatic nuclei.Journal of Biological Rhythms，2004，19：400～413

3 Reppert SM，Weaver D R.Coordination of circadian timing inmammals.Nature，2002，418：935～941

4 Roenneberg T，Chua E J，Bernardo R，etal.Modeling biological rhythms.Current Biology，2008，18：826～835

5 Yamada Y，F(xiàn)orger D.Multiscale complexity in the mammalian circadian clock.Current Opinion in Genetics＆Development，2010，20：626～633

6 Roenneberg T，Chua E J，Bernardo R，etal.Modelling biological rhythms.Current Biology，2008，18：826～835

7 Gonze D.Modeling circadian clocks：From equations to oscillations.Central European Journal of Biology，2011，6（5）：699～711

8 Granada A E，Herzel H.How to achieve fast entrainment.The timescale to synchronization.PLoS One，2009，4：e7057

9 Roenneberg T，Dragovic Z，Merrow M.Demasking biological oscillators：properties and principles of entrainment exemplified by the Neurospora circadian clock.Proceedingsof the National Academy of Sciences of the United States of A-merica，2005，102：7742～7747

10 Rougemont J，Naef F.Collective synchronization in populations ofglobally coupled phase oscillatorswith drifting frequencies.Physical Review E，2006，73：011104

11 Yang Q，Pando B F，Dong G，et al.Circadian gating of the cell cyclerevealed in single cyanobacterial cells.Science，2010，327：1522～1526

12 Van der Pol B.A theory of the amplitude of free and forced triode vibrations.Radio Review，1，1920，701～710，754～762

13 Pittendrigh，C S，Bruce V G.An oscillatormodel for biological clocks.In：Rudnick D editor.Rhythmic and synthetic processes in growth.Princeton NJ：Princeton University Press，1957：75～109

14 Forger D B，JewettM E，Kronauer R E.A simplermodel of the human circadian pacemaker.Journal of Biological Rhythms，1999，14，532～537

15 Gonze D，RousselM R，Goldbeter A.Amodel for the enhancement of fitness in cyanobacteria based on resonance of a circadian oscillator with the external light-dark cycle.Journal of Theoretical Biology，2002，214：577～597

16 Kunz H，Achermann P.Simulation of circadian rhythm generation in the suprachiasmatic nucleus with locally coupled self-sustained oscillators.Journal of Theoretical Biology，2003，224：63～78

17 Goodwin B C.Oscillatory behavior in enzymatic control processes.Advances in Enzyme Regulation，1965，3：425～438

18 Hardin P E，Hall JC，Rosbash M.Feedback of the Drosophila period gene producton circadian cycling of itsmessenger RNA levels.Nature，1990，343：536～540

19 Aronson B D，Johnson K A，Loros J J，et al.Negative feedback defining a circadian clock：autoregulation of the clock gene frequency.Science，1994，263：1578～1584

20 Ruoff P，Mohsenzadeh S，Rensing L.Circadian rhythms and protein turnover：the effectof temperature on the period lengths of clock mutants simulated by the Goodwin oscillator.Naturwissenschaften，1996，83：514～517

21 Li Y，Liu Z R，Zhang JB.Phase synchronization of circadian oscillators induced by a light-dark cycle and extracellular noise.Lecture Notes in Computer Science，2007，4689：1～7

22 Li Y，Liu ZR，Zhang JB，etal.Synchronizationmechanisms of circadian rhythms in the suprachiasmatic nucleus.IET Systems Biology，2009，3（2）：100～112

23 Li Y，Liu ZR.Synchronization of clocks coupled by neurotransmitter in the SCN.Journal of Biological Systems，2013，21（1）：1350006（12）

24 Leloup JC，Goldbeter A.Towards a detailed computationalmodel for the mammalian circadian clock.Proceedings of the National Academy of Sciencesof the United States of America，2003，100：7051～7056

25 Francois P.A model for the Neurospora circadian clock.Biophysical Journal，2005，88：2369～2383

26 Hong C I，Jolma IW，Loros J J，et al.Simulating dark expressions and interactions of frq and wc-1 in the Neurospora circadian clock.Biophysical Journal，2008，94：1221～1232

27 Leloup JC，Goldbeter A.A model for circadian rhythms in Drosophila incorporating the formation of a complex between the PER and TIM proteins.Journal of Biological Rhythms，1998，13：70～87

28 Locke JC，Millar A J，Turner M S.Modelling genetic networks with noisy and varied experimental data：the circadian clock in Arabidopsis thaliana.Journal of Theoretical Biology，2005，234：383～393

29 Gen K，Kazuyuki A，Yoh I.A model for the circadian rhythm of cyanobacteria that maintains oscillation without gene expression.Biophysical Journal，2006，91：2015～2023

30 Li Y，Wu H，Luo JH.Comparing two models based on the transcriptional regulation by KaiC of cyanobacteria rhythm.Xi’an：In IEEE 6th International Conference on Systems Biology，2012：216～219

31 Ermentrout B.Simulating，analyzing and animating dynamical systems：a guide to XPPAUT for researchers and students.Philadelphia：SIAM，2002：1～286

32 Hoops S，Sahle S，Gauges R，et al.COPASI-a complex pathway simulator.Bioinformatics，2006，22：3067～3074

33 Leloup JC，Goldbeter A.Modeling themammalian circadian clock：sensitivity analysis and multiplicity of oscillatory mechanisms.Journal of Theoretical Biology，2004，230：541～562

34 Leloup JC，Gonze D，Goldbeter A.Limit cycle models for circadian rhythms based on transcriptional regulation in Drosophila and Neurospora.Journal of Biological Rhythms，1999，14：433～448

35 Li Y，Liu Z R，Zhang J B.Circadian oscillators and phase synchronization under a light-dark cycle.International Journal of Nonlinear Science，2006，1（3）：131～138

36 Gonze D，Goldbeter A.Entrainment versus chaos in a model for a circadian oscillator driven by light-dark cycles.Journal of Statistical Physics，2000，101：649～663

37 Leloup JC，Goldbeter A.Modeling themolecular regulatorymechanism of circadian rhythms in Drosophila.BioEssays，2000，22：84～93

38 李瑩，劉曾榮.哺乳動(dòng)物生物鐘的數(shù)學(xué)建模及研究進(jìn)展.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2012，10（3）：263～267（Li Y，Liu ZR.Advances andmathematicmodeling ofmammalian circadian clock.Journal of Dynamics and Control，2012，10（3）：263～267（in Chinese））

39 Novak B，Tyson J J.Design principles of biochemical oscillators.Nature ReviewsMolecular Cell Biology，2008，9：981～991

40 Tsai T Y，Choi Y S，Ma W，et al.Robust，tunable biological oscillations from interlinked positive and negative feedback loops.Science，2008，321：126～129

41 Vasalou C，Henson M A.A multiscale model to investigate circadian rhythmicity of pacemaker neurons in the suprachiasmatic nucleus. PLOS Computational Biology，2010，6：e1000706

42 Tigges M，Marquez-Lago T T，Stelling J，etal.A tunable syntheticmammalian oscillator.Nature，2009，457：309～312