用微分求積法分析軸向移動(dòng)粘彈性梁的非平面非線性振動(dòng)*

王冬梅 張偉 李慕榮

（1.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124）（2.濟(jì)寧學(xué)院數(shù)學(xué)系，曲阜 273155）（3.濟(jì)寧金橋煤礦，濟(jì)寧 272200）

引言

軸向移動(dòng)粘彈性梁可以作為多種工程裝置的力學(xué)模型，比如動(dòng)力傳送帶、磁帶、帶鋸、空中纜車(chē)索道、高樓升降機(jī)纜道、單索架索道等.軸向移動(dòng)粘彈性梁的非線性動(dòng)力學(xué)性質(zhì)對(duì)工程裝置的穩(wěn)定性和可靠性有著重要的影響.因此分析軸向移動(dòng)粘彈性梁的非線性振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為對(duì)分析解決工程的實(shí)際問(wèn)題有著重要的意義.中外學(xué)者采用各種近似方法對(duì)此作了大量工作.2000年，?z［1］等用直接多尺度法研究了剛度較小、速度有微小擾動(dòng)情況下的軸向運(yùn)動(dòng)梁.2002年Marynoeski和Kapitaniak［2］采用 Galerkin方法，分析了 Kelvin和 Burgers兩種粘彈性模型下軸向運(yùn)動(dòng)梁的動(dòng)態(tài)特性.2005年和 2006年，楊曉東和陳立群［3-4］采用Galerkin方法對(duì)軸向移動(dòng)梁的動(dòng)力學(xué)特性比如共振穩(wěn)定性、分叉和混沌等做了大量的研究，取得了許多有意義的成果.2009年，丁虎和陳立群［5］分別用微分求積法和有限差分法對(duì)軸向移動(dòng)梁的兩種非線性橫向振動(dòng)模型進(jìn)行了分析比較.以上文獻(xiàn)都是對(duì)軸向移動(dòng)梁的橫向平面振動(dòng)進(jìn)行的研究，對(duì)其非平面非線性振動(dòng)的研究還很少.2010年，陳麗華等［6］用3階伽遼金截?cái)嘌芯苛溯S向移動(dòng)梁面內(nèi)和面外耦合的非線性振動(dòng)，討論了軸向加速度的振幅、頻率對(duì)其長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為分叉、混沌的影響.2013年，Ghayesh和 Amabili［7］利用 Galerkin方法研究了軸向移動(dòng)鐵木辛哥梁三維非線性平面振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為.

國(guó)內(nèi)外學(xué)者大都采用Galerkin方法研究軸向移動(dòng)梁的非線性動(dòng)力學(xué)特性，很少有學(xué)者用微分求積法對(duì)軸向移動(dòng)梁的非線性動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行分析.用微分求積法來(lái)分析軸向移動(dòng)梁非平面非線性振動(dòng)的研究還未見(jiàn)報(bào)道.微分求積法相比于Galerkin方法原理簡(jiǎn)單（不依賴(lài)變分原理），計(jì)算量小，對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)方程可以直接求解，減少了Galerkin方法尋找模態(tài)函數(shù)的麻煩.另外，Galerkin方法處理問(wèn)題時(shí)僅提取有限的低階振型作近似處理，Galerkin方程的形成，需要積分，當(dāng)階數(shù)較高時(shí)，非線性項(xiàng)的顯式表達(dá)式很難求出；而微分求積法則克服了這種局限性，本質(zhì)上考慮了所有振型的綜合貢獻(xiàn).

本文利用微分求積法對(duì)軸向移動(dòng)梁橫向非平面非線性振動(dòng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性（分叉、混沌、周期等）進(jìn)行分析.

1 控制方程組

陳麗華等人［6］利用哈密頓原理建立的軸向移動(dòng)粘彈性梁橫向非平面非線性振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)控制方程為如下非線性偏微分方程組：

邊界條件：

其中，ρ為密度，A是截面積，l是梁的長(zhǎng)度，v（x，t），w（x，t）分別表示軸向移動(dòng)梁面內(nèi)和面外橫向振動(dòng)的位移，η是粘彈系數(shù)，E是楊氏模量，Jy，Jz和Jyz是慣性力矩.假定在預(yù)緊力P0處有一小的擾動(dòng)P1sinωt，也就是說(shuō)緊力 P＝P0+P1sinωt；假定軸向運(yùn)動(dòng)的速度是簡(jiǎn)諧變化的，也就是c＝c0+c1sinωt.這種假設(shè)是有它的物理意義的.比如，當(dāng)我們用軸向移動(dòng)梁來(lái)模擬一對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)輪上的帶時(shí)，輪子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的擾動(dòng)，會(huì)引起帶軸向移動(dòng)速度的擾動(dòng).

2 微分求積法求解控制方程

微分求積法的基本原理是將函數(shù)在求解區(qū)域內(nèi)的每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值用域內(nèi)全部網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值的加權(quán)線性和近似表示.關(guān)于微分求積法的理論在文獻(xiàn)［9］中有詳細(xì)的論述，包括權(quán)系數(shù)的計(jì)算、節(jié)點(diǎn)的選取、邊界條件的處理等.

依照微分求積法原理，引入N個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)：

方程（1）中未知函數(shù)對(duì)空間變量的各階偏微分在各網(wǎng)格點(diǎn)處的值可以表示為

其中分別是微分求積法中一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)的權(quán)系數(shù)，其計(jì)算公式見(jiàn)文獻(xiàn)［8］，v，x（xi，t）v，xx（xi，t），v，xxxx（xi，t），w，x（xi，t），w，xx（xi，t），w，xxxx（xi，t）分別表示函數(shù) v（x，t），w（x，t）在各節(jié)點(diǎn)處關(guān)于空間變量x一階、二階、四階偏導(dǎo)數(shù)，˙v（xi，t），˙w（xi，t）分別表示函數(shù) v（x，t），w（x，t）在各節(jié)點(diǎn)處對(duì)時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù).因系統(tǒng)（1）的邊界條件是簡(jiǎn)支邊界條件，可用權(quán)系數(shù)矩陣修正法［8］處理該邊界條件.處理邊界條件后，將（4）代入控制方程（1）得，

其中 vj＝v（xj，t），wj＝w（xj，t），（j＝2，3，…，N-1）.方程（5）是以2×（N-2）個(gè)軸向移動(dòng)粘彈性梁面內(nèi)和面外振動(dòng)的位移（v2，v3，…，vN-1），（w2，w3，…，wN-1）為未知變量的非線性常微分方程組.給定初始條件和參數(shù)，求解常微分方程組（5）既得軸向移動(dòng)粘彈性梁橫向非平面非線性振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).

3 軸向移動(dòng)梁非平面振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

給定初始條件和參數(shù) v（x，0）＝0，vt（x，0）＝0.01，w（x，0）＝0，wt（x，0）＝0.01，ρ＝1000kg／m3，A＝1×10-4m2，l＝1.0m，Jy＝＝0，ω＝15HZ，E＝1.5×108N／m2，η＝4.0×105Ns／m2，P0＝P1＝100N，對(duì)常微分方程組（5）進(jìn)行求解，在數(shù)值結(jié)果的基礎(chǔ)上利用分叉圖、相圖、時(shí)間歷程圖對(duì)軸向移動(dòng)粘彈性梁橫向非平面非線性振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析.分別考慮了軸向運(yùn)動(dòng)定常速度、軸向運(yùn)動(dòng)速度變化幅值對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為的影響.

3.1 軸向運(yùn)動(dòng)定常速度的影響

取軸向運(yùn)動(dòng)速度變化幅值c1＝2.1m／s，作出面內(nèi)和面外振動(dòng)的位移v和w隨軸向運(yùn)動(dòng)定常速度c0在區(qū)間15，[]25 m／s上變化時(shí)的分叉圖如圖1.從分叉圖1我們可以看出在c0由15m／s變化到大約21.9 m／s時(shí)，面內(nèi)運(yùn)動(dòng)和面外運(yùn)動(dòng)都是混沌運(yùn)動(dòng).隨著c0的增加，出現(xiàn)了一個(gè)小的周期窗口，即面內(nèi)運(yùn)動(dòng)和面外運(yùn)動(dòng)都由混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng).大約增大到23.1m／s時(shí)，二者運(yùn)動(dòng)又都變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)了.當(dāng)c0繼續(xù)增大到24m／s時(shí)，二者運(yùn)動(dòng)又變?yōu)橹芷诘牧?

圖1 軸向運(yùn)動(dòng)定常速度的影響（a）位移v隨c0變化的分叉圖；（b）位移w隨c0變化的分叉圖Fig.1 Effect ofmean axial velocity（a）bifurcation diagrams for the displacement v via c0；（b）bifurcation diagrams for the displacement w via c0

3.2 軸向運(yùn)動(dòng)速度變化幅值的影響

圖2 軸向運(yùn)動(dòng)速度變化幅值的影響（a）位移v隨c1變化的分叉圖；（b）位移w隨 c1變化的分叉圖Fig.2 Effect of amplitude of axial velocity fluctuation（a）bifurcation diagrams for the displacement v via c1；（b）bifurcation diagrams for the displacement w via c1

取軸向運(yùn)動(dòng)定常速度c0＝20.5m／s，作出面內(nèi)和面外振動(dòng)的位移v和w隨軸向運(yùn)動(dòng)速度變化幅值 c1在區(qū)間 [0 .5，3.5] m／s上變化時(shí)的分叉圖如圖2.從分叉圖2我們可以看出在c1由0.5m／s變化到大約1.4m／s時(shí)，面內(nèi)運(yùn)動(dòng)呈2倍周期運(yùn)動(dòng)，面外運(yùn)動(dòng)呈單倍周期運(yùn)動(dòng).面內(nèi)運(yùn)動(dòng)由單倍周期運(yùn)動(dòng)變化為2倍周期運(yùn)動(dòng).隨著c1的增大，面內(nèi)運(yùn)動(dòng)和面外運(yùn)動(dòng)都由周期運(yùn)動(dòng)變化為混沌運(yùn)動(dòng).當(dāng)c1增大到1.5m／s時(shí)，混沌運(yùn)動(dòng)消失，面內(nèi)和面外運(yùn)動(dòng)變?yōu)槎啾吨芷谶\(yùn)動(dòng).很快，二者運(yùn)動(dòng)又進(jìn)入混沌狀態(tài)直到最后.

圖1和圖2都表明，在相同參數(shù)下，面內(nèi)運(yùn)動(dòng)和面外運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)始終保持一致，即二者同時(shí)進(jìn)入周期運(yùn)動(dòng)或混沌運(yùn)動(dòng).下面圖3～圖5是一些典型的周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)的相圖，時(shí)間歷程圖.其中（a）是以面外運(yùn)動(dòng)速度、面外運(yùn)動(dòng)位移以及面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移為橫、縱、豎坐標(biāo)的三維相圖，（b）和（c）分別是以面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的速度、位移，面外運(yùn)動(dòng)的速度、位移為橫縱坐標(biāo)的平面相圖.（d）和（e）分別表示面內(nèi)運(yùn)動(dòng)位移和面外運(yùn)動(dòng)位移隨時(shí)間變化的波形圖.從這些圖形中可以看出，在相同參數(shù)下，無(wú)論是從相圖，還是時(shí)間歷程圖所得的軸向移動(dòng)梁橫向非平面振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)是相同的.

圖3 c0＝20.5m／s，c1＝0.5525m／s時(shí)周期運(yùn)動(dòng)Fig.3 Periodic motion appears when c0＝20.5m／s，c1＝0.5525m／s

圖4 c0＝20.5m／s，c1＝1.3325m／s時(shí)周期運(yùn)動(dòng)Fig.4 Periodic motion appears when c0＝20.5m／s，c1＝1.3325m／s

圖5 c0＝16m／s，c1＝2.1m／s時(shí)混沌運(yùn)動(dòng)Fig.5 Chaotic motion appears when c0＝16m／s，c1＝2.1m／s

4 結(jié)論

用微分求積法對(duì)軸向移動(dòng)粘彈性梁面內(nèi)和面外振動(dòng)耦合的非平面非線性振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了分析.利用分叉圖分別研究了軸向運(yùn)動(dòng)定常速度和軸向運(yùn)動(dòng)速度變化幅值對(duì)軸向移動(dòng)梁非平面振動(dòng)的影響.為了具體地描繪由分叉圖得到的軸向移動(dòng)梁非平面振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，作出了一些典型的周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)的相圖和時(shí)間歷程圖.以上研究結(jié)果表明微分求積法能夠有效地用來(lái)分析軸向移動(dòng)梁高維非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

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