劉曉程 王建明 王 武

（福州大學電氣工程與自動化學院，福州 350108）

隨著經(jīng)濟的發(fā)展，以鋰電池為能源載體的儲能元件逐漸應(yīng)用在人類生活的方方面面，從手機到筆記本電腦到混合動力汽車和電動汽車，鋰電池受到越來越多的關(guān)注與研究[1]。為了對鋰電池進行有效的能量管理，充分利用電能，延長鋰電池壽命，提高系統(tǒng)的安全性和可靠性，就必須對鋰電池進行建模、特性分析與參數(shù)估計。傳統(tǒng)的基于模型驅(qū)動的鋰電池模型有等效電路模型、電化學模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和有限元模型等[2]，吸引了諸多專家學者進行研究。文獻[3]中主要針對鋰電池阻抗易受電荷狀態(tài)、充放電、電解液均勻性等影響的問題，結(jié)合全電阻光譜學的應(yīng)用建立了鋰電池模型。文獻[4]中主要針對鋰電池等效電路模型的參數(shù)估計問題，對鋰電池的有限帶寬特性進行了介紹與分析并建立了相應(yīng)的模型，提出了一種基于序列二次規(guī)劃算法的模型參數(shù)估計方法。文獻[5]中主要針對基于模型的鋰電池參數(shù)在線實時估計問題中由于頻率響應(yīng)的限制而導致估計精度下降的問題，提出了基于兩個時間尺度的參數(shù)估計方法，分別識別鋰電池不同速度的動態(tài)反應(yīng)過程，與傳統(tǒng)單時間尺度的方法相比其頻率響應(yīng)更接近真實值。

但是，鋰電池內(nèi)部化學反應(yīng)無法直接進行測量、反應(yīng)過程復雜且易受外界環(huán)境影響，具有較強的非線性特性以及測量過程中存在噪聲，因此上述基于模型驅(qū)動的機理建模方法存在一定偏差，無法準確建模。針對這一問題，本文根據(jù)數(shù)據(jù)驅(qū)動（Data-Driven）的思想，提出了一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的鋰電池隨機動態(tài)系統(tǒng)建模。相對于傳統(tǒng)的基于模型的建模方式，數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法僅需要研究系統(tǒng)的在線或者離線數(shù)據(jù)，通過相應(yīng)的算法僅依靠實驗數(shù)據(jù)便可以建立相應(yīng)的系統(tǒng)模型。文獻[6]中提出了將數(shù)據(jù)驅(qū)動方法如自回歸求和移動平均模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于預測中，并取得了很好的效果。文獻[7]中提出了將數(shù)據(jù)驅(qū)動模型和物理模型結(jié)合的方法，并指明不僅要對鋰電池的使用壽命進行準確的預測，而且還要對預測中的不確定性進行定量的分析，其首次將高斯過程回歸（Gaussian Processes Regression，GPR）模型用于鋰電池的預測，但由于效果不佳和相對復雜，只是簡單提到，沒有繼續(xù)深入探討和研究。上述文獻主要解決依靠數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法進行鋰電池狀態(tài)信息預測的問題，其鋰電池模型仍以機理模型為主，并不是完全根據(jù)所得數(shù)據(jù)通過系統(tǒng)辨識得到鋰電池的模型參數(shù)。

為了克服傳統(tǒng)基于模型驅(qū)動的機理建模的局限性，本文通過鋰電池放電過程的時間序列數(shù)據(jù)采用EM 算法建立鋰電池的隨機動態(tài)模型。利用本文所提算法建立的模型能夠有效的契合實驗數(shù)據(jù)，能夠保證建模誤差穩(wěn)定有界。

1 基于EM 算法的鋰電池隨機動態(tài)系統(tǒng)建模

1.1 鋰電池隨機動態(tài)系統(tǒng)模型

假設(shè)鋰電池隨機動態(tài)系統(tǒng)模型為帶高斯白噪聲的線性時變離散狀態(tài)空間方程，且描述如下：

式中，狀態(tài)變量x(k)為n×1 維向量，觀測變量y(k)為n×1 維向量，ω(k)和v(k)分別為零均值的高斯白噪聲過程噪聲序列與測量噪聲序列，A為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，C為觀測矩陣。

且ω(k)和v(k)協(xié)方差陣為

其中Q，R為均方差陣，δk1為Kronecker 函數(shù)。

在提出下文算法之前，定義系統(tǒng)所有待估參數(shù)為如下向量：

1.2 EM 算法簡介與推導

EM（最大期望，Expectation Maximization）算法在時間序列模型當中的應(yīng)用最早由Shumway 和Stoffer[8]于1982年提出，是計算一組參數(shù)的極大似然估計的通用迭代方法。實踐證明：利用EM 算法進行參數(shù)估計在不同的信號處理應(yīng)用上均能進行有效的計算[9-10]。

EM 算法在每一次迭代過程中被分成兩步，其中包含一個E 步（期望步，Expectation Step）和一個M 步（極大似然步，Maximum Likelihood Step）。E 步通過觀測數(shù)據(jù)和當前估計參數(shù)，估計完全數(shù)據(jù)對數(shù)似然函數(shù)，M 步通過極大化對數(shù)似然函數(shù)求得一組新的參數(shù)估計，所得新的參數(shù)估計值用于下一輪E 步的計算，如此循環(huán)迭代實現(xiàn)算法。

通過給定的觀測向量Y和當前參數(shù)估計值，本文定義完整數(shù)據(jù)的對數(shù)概率密度函數(shù)的條件期望如下：

且

式中，C為獨立于θ的常數(shù)。

新的參數(shù)估計如下：

式中，l為迭代次數(shù)。

通過極大化J(θ,θ(l))能夠獲得新的參數(shù)估計θ(l+1)，即分別對ai，Wi-1和Vi-1求偏導可得新的估計參數(shù)為[11]

在給出Kalman 算法之前本文給出如下定義：

且

1）向前遞歸（濾波）：取k=1,2,…,m時間更新：

狀態(tài)更新：

2）向后遞歸（平滑）：取k=m,m-1,…,1

且

2 實驗結(jié)果與分析

2.1 實驗結(jié)果

本文采用鋰電池的一次放電過程數(shù)據(jù)進行鋰電池隨機動態(tài)模型的構(gòu)建與參數(shù)估計，數(shù)據(jù)來源于美國愛達荷州國家實驗室對第二代18650 型號的鋰電池進行的生命循環(huán)測試，測試在不同的溫度、荷電狀態(tài)以及壓力條件下鋰電池充放電過程中的電壓電流等數(shù)據(jù)[13]。

通過本文所提出的算法對鋰電池放電過程結(jié)合鋰電池電壓、電流、溫度進行動態(tài)建模，可獲得鋰電池模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A：

鋰電池模型過程噪聲協(xié)方差陣W為

鋰電池模型測量噪聲協(xié)方差陣V為

綜上所說，通過本文所提算法能夠有效的獲得鋰電池的隨機動態(tài)模型參數(shù)。

鋰電池實際放電過程中測量的電壓和電流曲線和通過本文算法建立的隨機動態(tài)模型下的鋰電池電壓和電流參數(shù)估計曲線如圖1、圖2所示，兩者之間的誤差曲線如圖3和圖4所示。

圖1 電壓測量值與模型估計值對比

圖2 電流測量值與模型估計值對比

圖3 電壓測量值與模型估計值誤差

圖4 電流測量值與模型估計值誤差

從圖中可以看出基于EM 算法建立的鋰電池模型能夠很好的估計鋰電池的狀態(tài)值且誤差小。

2.2 模型質(zhì)量分析

從本文所選取的三組實驗數(shù)據(jù)可得，鋰電池的隨機動態(tài)模型的估計協(xié)方差W很小，意味著所建的模型能夠很好的契合實驗數(shù)據(jù)。測量協(xié)方差陣V代表測量信號值的質(zhì)量。

為了驗證本文所提模型的穩(wěn)定性和魯棒性，需要計算模型狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的特征根，其特征根如下：

顯然，所有的特征根都在單位圓內(nèi)，因此本文所建的模型具有良好的穩(wěn)定性和魯棒性。

3 結(jié)論

本文基于鋰電池放電過程的時間序列數(shù)據(jù)利用EM 算法實現(xiàn)了鋰電池隨機動態(tài)模型的構(gòu)建。通過引入EM 算法，模型參數(shù)與電池的狀態(tài)能夠被同時識別。通過引入三組鋰電池放電過程時間序列數(shù)據(jù)證明了本文所提算法的有效性。本文還提出了一些性能指標證明所推導的模型能夠較好的契合實驗數(shù)據(jù)。本文基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的思想建立了鋰電池的隨機動態(tài)系統(tǒng)模型，通過所建立的模型能夠較好的估計電池的狀態(tài)參數(shù)，為鋰電池的建模方式提供了另一種參考。

[1] Saha B,Goebel K.Modeling Li-ion battery capacity depletion in a particle filtering framework[C] Proceedings of the annual conference of the prognostics and health management society.2009: 1-10.

[2] Rao R,Vrudhula S,Rakhmatov D N.Battery modeling for energy aware system design[J].Computer,2003,36(12): 77-87.

[3] Budde-Meiwes H,Kowal J,Sauer D U,et al.Influence of measurement procedure on quality of impedance spectra on lead-acid batteries[J].Journal of Power Sources,2011,196(23): 10415-10423.

[4] Li J,Mazzola M,Gafford J,et al.A new parameter estimation algorithm for an electrical analogue battery model[C] Applied Power Electronics Conference and Exposition (APEC),2012 Twenty-Seventh Annual IEEE.IEEE,2012: 427-433.

[5] Hu Y,Wang Y Y.Two Time-Scaled Battery Model Identification With Application to Battery State Estimation[J]

[6] Kozlowski J D.Electrochemical cell prognostics using online impedance measurements and model-based data fusion techniques[C].Aerospace Conference,2003.Proceedings.2003 IEEE.IEEE,2003,7: 3257-3270.

[7] Goebel K,Saha B,Saxena A,et al.Prognostics in battery health management[J].IEEE instrumentation ＆ measurement magazine,2008,11(4): 33.

[8] Shumway R H,Stoffer D S.An approach to time series smoothing and forecasting using the EM algorithm[J].Journal of time series analysis,1982,3(4): 253-264.

[9] Weinstein E,Oppenheim A V,Feder M,et al.Iterative and sequential algorithms for multisensor signal enhancement[J].Signal Processing,IEEE Transactions on,1994,42(4): 846-859.

[10] Ziskind I,Hertz D.Maximum-likelihood localization of narrow-band autoregressive sources via the EM algorithm[J].Signal Processing,IEEE Transactions on,1993,41(8): 2719-2724.

[11] Wang Z,Yang F,Ho D W C,et al.Stochastic dynamic modeling of short gene expression time-series data[J].NanoBioscience,IEEE Transactions on,2008,7(1): 44-55.

[12] Ghahramani Z,Hinton G E.Parameter estimation for linear dynamical systems[R].Technical Report CRG- TR-96-2,University of Totronto,Dept.of Computer Science,1996.

[13] Saha B,Goebel K,Battery Data Set.http://ti.arc.nasa.gov/ project/prognostic-data-repository.