常見不等式通用解法的一般步驟

唐勇

【摘要】 不等式的解法是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，幾乎覆蓋了高中數(shù)學(xué)所有的章節(jié). 常見的不等式包括一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式及帶絕對值的不等式，針對這幾類不等式，我們從中尋找出一種通用的解題方法，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到順利解決.

【關(guān)鍵詞】 一元二次不等式；一元高次不等式；分式不等式；帶絕對值的不等式；通用解法

解一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式和帶絕對值的不等式的一般步驟：

1. 變形（將不等式的最高次項(xiàng)系數(shù)變成正數(shù)；帶絕對值的不等式應(yīng)變形成|x| > a或|x| < a （a > 0）的標(biāo)準(zhǔn)形式）

2. 求根（解出不等式所對應(yīng)的方程的實(shí)數(shù)根）

3. 標(biāo)根（將實(shí)數(shù)根依次表示在數(shù)軸上）

4. 穿根（用一根曲線從右往左、自上而下分別穿過方程的每一個(gè)根，一個(gè)根穿一次）

5. 取區(qū)間（變形后的不等式如果是“>”，取數(shù)軸上半部分曲線所對應(yīng)的區(qū)間；如果是“<”，取數(shù)軸下半部分曲線所對應(yīng)的區(qū)間）

例1 解不等式-3x2 + 5x + 2 > 0.

解 先將不等式變形為：3x2 - 5x - 2 < 0.

該不等式所對應(yīng)的方程為：3x2 - 5x - 2 = 0，

解出方程的實(shí)數(shù)根：x1 = 2，x2 = -■.

所以不等式-3x2 + 5x + 2 > 0的解集為-■，2.

例2 解不等式■ ≤ 0.

解 將不等式變形為：■ ≥ 0.

該不等式所對應(yīng)的方程為：■ = 0，

解出方程的根：x1 = ■，x2 = -3，x3 = 4.

所以不等式■ ≤ 0的解集為：-3，■∪（4，+∞）.

例3 解帶絕對值的不等式3 > |2x + 7| - 10.

解 將不等式變形為：|2x + 7| < 13.

該不等式對應(yīng)的方程為：|2x + 7| = 13，

解得：x1 = 3，x2 = -10.

所以不等式3 > |2x + 7| - 10的解集為：（-10，3）.

例4 解帶絕對值的不等式|x2 + 4x - 1| > 4.

解 由于該不等式已經(jīng)是標(biāo)準(zhǔn)的帶絕對值的不等式，所以不用變形，直接解其對應(yīng)的方程，過程如下：

|x2 + 4x - 1| = 4 ？圯 x2 + 4x - 1 = 4x2 + 4x - 1 = -4？圯x2 + 4x - 5 = 0x2 + 4x + 3 = 0？圯

（x -1）（x + 5） = 0（x + 1）（x + 3） = 0

解得：x1 = 1，x2 = -5，x3 = -1，x4 = -3.

所以不等式|x2 + 4x - 1| > 4的解集為：（-∞，-5）∪（-3，-1）∪（1，+∞）.

例5 解不等式（x2 - 1）（x + 1）（x + 2） < 0.

解 不等式所對應(yīng)的方程為：

（x2 - 1）（x + 1）（x + 2） = 0，

解得：x1 = 1，x2 = -1，x3 = -1，x4 = -2.

所以（x2 - 1）（x + 1）（x + 2） < 0的解集為：（-2，-1）∪（-1，1）.

注 方程中相同的根叫作重根，如果是奇數(shù)個(gè)重根叫奇重根，偶數(shù)個(gè)重根叫偶重根，解不等式穿根時(shí)按“奇穿偶回”的原則.