從一中考試題學(xué)習(xí)中位線的應(yīng)用

劉建輝

在幾何解題過程中，中位線是一條非常有效的輔助線. 而在日常的教學(xué)中，曾多次利用中位線解決過一些問題. 假若在一些幾何問題的解決中，能夠聯(lián)想到中位線并且利用好中位線，往往可以起到事半功倍的效果. 同時(shí)由于中位線這一輔助線在很多時(shí)候又難以想到，則更顯彌足珍貴. 因而覺得在中考備考的綜合復(fù)習(xí)時(shí)，有必要和學(xué)生共同探究這一輔助線的應(yīng)用，借此提高學(xué)生自我總結(jié)能力，達(dá)到掌握一定的數(shù)學(xué)方法，同時(shí)提高自身的解題能力的目的.

在每年中考試題中不乏一些好題，它體現(xiàn)了某一種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，我們可以應(yīng)用這些真題指導(dǎo)我們的復(fù)習(xí)備考，也可以提高學(xué)生的參與意識(shí)，在此，2009年河北省中考第24題給我們提供了一個(gè)很好的范例.

一、真題欣賞

在圖1至圖3中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)，四邊形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中點(diǎn)是M.

（1）如圖1，點(diǎn)E在AC的延長線上，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：FM = AH，F(xiàn)M⊥MH.

（2）將圖1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖2，求證：△FMH是等腰直角三角形.

（3）將圖2中的CE縮短到圖3的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？（不必說明理由）

二、 解題分析

要完成這個(gè)問題的解答，我們應(yīng)采用什么方法？觀察題目條件，發(fā)現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)，聯(lián)想中點(diǎn)輔助線的幾種作法：（1）中線或過中點(diǎn)的線段延長加倍；（2）連接中點(diǎn)，形成中位線. 引導(dǎo)學(xué)生能夠想到利用中位線去解答問題.

解：（1）比較簡單，省略.

（2）如圖4，連接MB，MD，設(shè)FM與BC交于P點(diǎn). ∵ B，D，M分別是AC，CE，AE的中點(diǎn)，

∴ MD∥BC且MD = BC = BF，MB∥CD且MB = CD = DH.

∵ AC = CE，∴四邊形BCDM是菱形.

∴ ∠CBM = ∠CDM.

∵ ∠FBP = ∠HDC，∴ ∠FBM = ∠MDH.

∵ △FBM ≌ △MDH，

∴ FM = MH，∠MFB = ∠HMD.

∵ ∠FMH = ∠FMD - ∠HMD = ∠APM - ∠MFB = ∠FBP = 90°，

∴ △FMH是等腰直角三角形 .

（3）原題并未對(duì)這一問題要求證明，非常遺憾，有種“買櫝還珠”的感覺. 其實(shí)，這一問更能體現(xiàn)中位線在構(gòu)造全等 三角形時(shí)的神奇作用. 因而在實(shí)際教學(xué)過程中要求學(xué)生求解，以此加強(qiáng)學(xué)生對(duì)中位線的認(rèn)識(shí).

如圖5，連接MB，MD，設(shè)FM與BC交于P點(diǎn).

∵ B，D，M分別是AC，CE，AE的中點(diǎn)，

∴ MD∥BC且MD = BC = BF，MB∥CD且MB = CD = DH.

∵ AC ≠ CE，∴ 四邊形BCDM是平行四邊形.

∴ ∠CBM = ∠CDM.

∵ ∠FBP = ∠HDC，∴ ∠FBM = ∠MDH.

∵ △FBM ≌ △MDH，∴ FM = MH，∠AFB = ∠HMD.

∵ ∠FMH = ∠FMD - ∠HMD = ∠APM - ∠MFB = ∠FBP = 90°，

∴ △FMH是等腰直角三角形 .

比較第（2）問和第（3）問，在第（2）問中四邊形BCDM是菱形，△FBM和△MDH都是等腰三角形，無須考慮邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而在第（3）問中，四邊形BCDM是平行四邊形，△FBM和△MDH不是等腰三角形，需考慮邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 這正體現(xiàn)了中位線的價(jià)值.

三、方法提煉

在這個(gè)中考題的解答中，我們很好地利用了中位線，從而使問題順利解決. 那么，需要我們思考在什么條件下需要“中位線”？“中位線”的作用和價(jià)值是什么？當(dāng)問題中出現(xiàn)具有公共端點(diǎn)的線段的一個(gè)中點(diǎn)或多個(gè)中點(diǎn)時(shí)，或者是需要構(gòu)造全等三角形時(shí)，我們可以考慮構(gòu)造中位線，完成線段位置和大小的轉(zhuǎn)移.

構(gòu)造中位線有兩大作用：（1）中位線完成線段的位置轉(zhuǎn)移并能構(gòu)造線段之間新的相等關(guān)系，為構(gòu)造全等三角形做好準(zhǔn)備；（2）中位線構(gòu)造了平行關(guān)系，建立了新的角的相等關(guān)系，為構(gòu)造全等三角形做好準(zhǔn)備.

四、后 記

根據(jù)建構(gòu)主義觀點(diǎn)，“學(xué)習(xí)不是由教師把知識(shí)簡單地傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)的過程. 學(xué)生不是簡單被動(dòng)地接收信息，而是主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的意義，這種建構(gòu)是無法由他人來代替的. ”在這里，教師和學(xué)生一起經(jīng)歷了方法的形成、方法的應(yīng)用，教師和學(xué)生一起完成了這種方法的構(gòu)建，而非教師一味地灌輸. 經(jīng)常有教師講，這道題我講過，這道題的方法我講過，但學(xué)生就是不會(huì). 原因何在？那就是我們沒有和學(xué)生一起經(jīng)歷方法的形成過程. 借此也希望為即將到來的中考綜合復(fù)習(xí)起到一個(gè)拋磚引玉的作用，讓我們的學(xué)生能夠真正地去總結(jié)數(shù)學(xué)方法，并把自己總結(jié)的方法應(yīng)用到考試中去，取得優(yōu)異的成績.