朱國(guó)仙

三角形中有內(nèi)心、外心、重心、垂心這“四心”。下面以一道典型例題為載體，通過一題“三變”，對(duì)三角形的“四心”問題進(jìn)行舉例解析。

題目 已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的i個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（）。

A.外心

B.內(nèi)心

C.重心

D.垂心

解：先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)平面向量共線的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解。

如圖1所示，表示與同向的單位向量，設(shè)為示與同向的單位向量，設(shè)為。由向量的平行四邊形法則，知

因?yàn)?，所以，則共線。由于平分角，可知點(diǎn)P的軌跡一定通過三角形ABC的內(nèi)心，選B。

變式l：已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（）。

A.重心

B.外心

C.垂心

D.內(nèi)心

提示：從題設(shè)條件入手，利用平面向量的數(shù)量積進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化求解。

設(shè)BC的中點(diǎn)為D。

因?yàn)?，所以。又λ∈[0，+∞），上式兩邊同乘以向量，可得數(shù)量積，則，所以點(diǎn)P的軌跡一定在BC的中垂線上，即點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的外心，選B。

變式2：0是平面上一定點(diǎn).A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足[0，十∞），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（）.

A.外心

B.內(nèi)心

C.重心

D.垂心

提示：設(shè)Bc的中點(diǎn)為D，由，可利用平面向量共線的性質(zhì)求解。

因?yàn)?，所以，則與共線，也即A，D，P三點(diǎn)共線。由于AD是△ABC的中線.所以點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的重心，選C。

變式3：已知0是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（）。

A.重心

B.外心

C.垂心

D.內(nèi)心

提示：解答本題的關(guān)鍵是對(duì) AB

存 AB co—B十一o

i）進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化。

因?yàn)?又λ∈（O，+∞），將此式兩邊同乘以向量，可得數(shù)量積，所以，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定在BC的高線上，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的垂心，選C。