周其潔

平面向量中的數(shù)學(xué)思想方法是解決平面向量問(wèn)題的主要思想方法。下面舉例說(shuō)明，供大家參考。

一、化歸思想

側(cè)1 若α，β∈0，π），求滿足cosα+cosβ-cos（α+β）=3/2的α，β值。

解：原等式化為（1-cosβ）cosα+sinβsinα=構(gòu)造向量α=（1-cosβ，sinβ），b=（cosα，sina）。

由，可得

由，可得，即，所以，即得。同理可得。故。

評(píng)析：向量的引入大大拓寬了本題的解題思路，利用向量這個(gè)工具解題，可以簡(jiǎn)捷、規(guī)范地處理三角函數(shù)中的許多問(wèn)題。

二、函數(shù)與方程思想

例2 已知向量a，b不共線，，若A，B，D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值。

解：因?yàn)槎鴄與b不共線，所以。

又A，B，D三點(diǎn)共線，所以共線。由兩個(gè)向量共線，可知存在實(shí)數(shù)A，使得，即2a+kb=λa-4λb。

因?yàn)橄蛄縜與b不共線，所以由平面向量基本定理可得

評(píng)析：利用兩個(gè)向量共線的條件與平面向量基本定理解題，其實(shí)質(zhì)是解二元一次方程組問(wèn)題。

三、分類(lèi)討論思想

側(cè)≥ 試確定由向量所作的△ABC，它的一個(gè)角為直角時(shí)的k值。

解：①當(dāng)A為直角時(shí)，由，得2×。②當(dāng)B為直角時(shí)，，由，得2×，即。③當(dāng)C為直角時(shí)，由，即

綜上可知，或或

評(píng)析：解此題時(shí)有些同學(xué)容易考慮不周，以偏概全，只解一種情況（即A為直角時(shí)），應(yīng)引起大家注意。

四、數(shù)形結(jié)合思想

例4 求，的值。

解：如圖1所示，將邊長(zhǎng)為1的正七邊形ABCDEFG放入直角坐標(biāo)系中，則AB=（1，O），

由，可得

評(píng)析：向量具有幾何和代數(shù)的雙重身份，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)。本題用平面向量的幾何意義求三角函數(shù)的值，其解題思路直觀，解法簡(jiǎn)捷。