趙玉龍

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步抽象和概括，屬于對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)的范疇，而數(shù)學(xué)方法則是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的手段，具有“行為規(guī)則”的意義和一定的可操作性，同一個(gè)數(shù)學(xué)成果，當(dāng)用它去解決別的問(wèn)題時(shí)，就稱之為方法;當(dāng)論及它在數(shù)學(xué)體系中的價(jià)值和意義時(shí)，則稱之為思想。因此，人們把它們統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。

一、符號(hào)思想

符號(hào)思想是用符號(hào)化的語(yǔ)言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號(hào)）來(lái)描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這就是符號(hào)思想。符號(hào)思想是將所有的數(shù)據(jù)實(shí)例集為一體，把復(fù)雜的語(yǔ)言文字?jǐn)⑹鲇煤?jiǎn)潔明了的字母公式表示出來(lái)，便于記憶，便于運(yùn)用。把客觀存在的事物和現(xiàn)象及它們相互之間的關(guān)系抽象概括為數(shù)學(xué)符號(hào)和公式，有一個(gè)從具體到表象再抽象符號(hào)化的過(guò)程。

用符號(hào)來(lái)體現(xiàn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言是世界性語(yǔ)言，是一個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合反映。在數(shù)學(xué)中各種量的關(guān)系，量的變化以及量與量之間進(jìn)行推導(dǎo)和演算，都是用小小的字母表示數(shù)，以符號(hào)的濃縮形式來(lái)表達(dá)大量的信息，如乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c;數(shù)學(xué)廣角中用圖形來(lái)表示各種事物等。

二、化歸思想

化歸思想是數(shù)學(xué)中最普遍使用的一種思想方法，其基本思想是：把甲問(wèn)題的求解，化歸為乙問(wèn)題的求解，然后通過(guò)乙問(wèn)題的解反向去獲得甲問(wèn)題的解。一般是指不可逆向的“變換”。它的基本形式有：化難為易，化生為熟，化繁為簡(jiǎn)，化整為零，化曲為直等。如求組合圖形的面積時(shí)，先把組合圖形割補(bǔ)成學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單圖形，然后計(jì)算出各部分面積的和或差，均能使學(xué)生體會(huì)化歸法的本質(zhì);學(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)，先將圓的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成一條線段，再推導(dǎo)出它的周長(zhǎng)，這就是化曲為直。

三、分解思想

分解思想就是先把原問(wèn)題分解為若干便于解決的子問(wèn)題，分解出若干便于求解的范圍，分解出若干便于層層推進(jìn)的解題步驟，然后逐個(gè)加以解決并達(dá)到最后順利解決原問(wèn)題的目的的一種思想方法。如在五年級(jí)《解決問(wèn)題的策略》教學(xué)中“倒退著想”的解題策略就體現(xiàn)了這種思想。

四、轉(zhuǎn)換思想

轉(zhuǎn)換思想是一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要策略，是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，這里的變換是可逆的雙向變換。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，轉(zhuǎn)換是一種非常有用的策略。對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，既可轉(zhuǎn)換已知條件，也可轉(zhuǎn)換問(wèn)題的結(jié)論。轉(zhuǎn)換可以是等價(jià)的，也可以是不等價(jià)的。用轉(zhuǎn)換思想來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)換僅是第一步，第二步要對(duì)轉(zhuǎn)換后的問(wèn)題進(jìn)行求解，第三步要將轉(zhuǎn)換后問(wèn)題的解答反演成問(wèn)題的解答。如果采用等價(jià)關(guān)系作轉(zhuǎn)換，可直接求出解而省略反演這一步。

如計(jì)算：2.8÷113÷17÷0.7，直接計(jì)算比較麻煩，而分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算比小數(shù)方便，故可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為：28/10×3/4×7/1×10/7，這樣，利用約分就能很快獲得本題的解。

五、分類思想

分類思想方法不是數(shù)學(xué)獨(dú)有的方法，數(shù)學(xué)的分類思想方法體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的分類及其分類的標(biāo)準(zhǔn)。如自然數(shù)的分類，若按能否被2整除分奇數(shù)和偶數(shù);按因數(shù)的個(gè)數(shù)分素?cái)?shù)和合數(shù)。又如三角形可以按邊分，也可以按角分。不同的分類標(biāo)準(zhǔn)就會(huì)有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的概念。對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的正確、合理的分類取決于分類標(biāo)準(zhǔn)的正確、合理性，數(shù)學(xué)知識(shí)的分類有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的梳理和建構(gòu)。

六、歸納思想

數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，典型地用于確定一個(gè)表達(dá)式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個(gè)其他的形式在一個(gè)無(wú)窮序列是成立的。有一種用于數(shù)理邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)廣義的形式的觀點(diǎn)指出能被求出值的表達(dá)式是等價(jià)表達(dá)式，這就是著名的結(jié)構(gòu)歸納法。

七、類比思想

數(shù)學(xué)上的類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去的思想，它能夠解決一些表面上看似復(fù)雜困難的問(wèn)題。類比思想不僅使數(shù)學(xué)知識(shí)容易理解，而且使公式的記憶變得順?biāo)浦鄣米匀缓秃?jiǎn)潔，從而可以激發(fā)起學(xué)生的創(chuàng)造力，正如數(shù)學(xué)家波利亞所說(shuō)：“我們應(yīng)該討論一般化和特殊化和類比的這些過(guò)程本身，它們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉。

八、假設(shè)思想

假設(shè)思想是一種常用的推測(cè)性的數(shù)學(xué)思考方法.利用這種思想可以解一些填空題、判斷題和應(yīng)用題.有些題目數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，難以建立數(shù)量之間的聯(lián)系，或數(shù)量關(guān)系抽象，無(wú)從下手.可先對(duì)題目中的已知條件或問(wèn)題作出某種假設(shè)，然后按照題中的已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量出現(xiàn)的矛盾，最后找到正確答案的一種思想方法。假設(shè)思想是一種有意義的想象思維，掌握之后可以使得要解決的問(wèn)題更形象、具體，從而豐富解題思路。如：在求雞兔同籠的問(wèn)題，可以假設(shè)全部是雞;或者全部是兔。

九、比較思想

人類對(duì)一切事物的認(rèn)識(shí)，都是建筑在比較的基礎(chǔ)上，或同中辨異，或異中求同。俄國(guó)教育家烏申斯基說(shuō)過(guò)：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)?！毙W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，也同樣需要通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)材料的比較，理解新知的本質(zhì)意義，掌握知識(shí)間的聯(lián)系和區(qū)別。

在教學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生比較題中已知和未知數(shù)量變化前后的情況，可以幫助學(xué)生較快地找到解題的途徑，是用算術(shù)方法簡(jiǎn)單還是用列方程的方法簡(jiǎn)單，學(xué)生通過(guò)比較后可以選擇合適的方法。

十、極限思想

事物是從量變到質(zhì)變，極限方法的實(shí)質(zhì)正是通過(guò)量變的無(wú)限過(guò)程達(dá)到質(zhì)變。

教學(xué)“圓的面積和周長(zhǎng)”中，“化圓為方”“化曲為直”的極限分割思路，在觀察有限分割的基礎(chǔ)上想象它們的極限狀態(tài)，這樣不僅使學(xué)生掌握公式，還能從曲與直的矛盾轉(zhuǎn)化中萌發(fā)了無(wú)限逼近的極限思想。

現(xiàn)行小學(xué)教材中有許多處注意了極限思想的滲透：在“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”這些概念教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生體會(huì)自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)有無(wú)限多個(gè)，讓學(xué)生初步體會(huì)“無(wú)限”思想。在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容，在教學(xué) 1÷3=0.333…是一循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字是寫不完的，是無(wú)限的。

在直線、射線、平行線的教學(xué)時(shí)，可讓學(xué)生體會(huì)線的兩端是可以無(wú)限延長(zhǎng)的。