廣義線性模型及其在車險定價中的應(yīng)用

摘 要：文章簡單分析了傳統(tǒng)非壽險精算方法存在的缺陷，引入了非壽險精算的經(jīng)典模型——廣義線性模型，并通過R語言對實例進(jìn)行了分析，并給出廣義線性模型在車險定價中的一般步驟。

關(guān)鍵詞：非壽險；廣義線性模型；車險定價

廣義線性模型（Generalized Linear Models，簡稱GLM）是1972年由Nelder和Wedderburn提出的，通過對經(jīng)典線性回歸模型進(jìn)行了進(jìn)一步的推廣，建立了統(tǒng)一的理論和計算框架，推進(jìn)了回歸模型在統(tǒng)計學(xué)中的發(fā)展。繼20世紀(jì)80年代Nelder和MaCullagh將GLM引入到精算學(xué)后，20世紀(jì)90年代，英國的精算師首次將廣義線性模型引入到非壽險定價中，這大大解決了傳統(tǒng)的非壽險定價方法--單項分析法所面臨的局限性，直至現(xiàn)在汽車保險和商業(yè)保險等非壽險仍舊使用這一方法。近年來，GLM在理論和應(yīng)用方面都得到了快速的發(fā)展，包括在拓展模型，模型的診斷以及參數(shù)估計方法等方面的研究都不斷趨近于成熟，適用與GLM的計算機(jī)軟件也日益增多，包含GLM專用程序GLIM（Genneralized Linear Interactive Modelling），SAS統(tǒng)計軟件（Genmod模塊），統(tǒng)計軟件R中相應(yīng)的程序包也可以完成GLM常見模型的估計和假設(shè)檢驗問題。在中國車險定價中，得益于保監(jiān)會在2010年出臺的《關(guān)于在深圳開展商業(yè)車險定價機(jī)制改革試點的通知》，為廣義線性模型在車險定價方面提供了制度上的保障。

1 傳統(tǒng)的非壽險定價方法

1.1 單項分析法（One-Way Analysis）

單項分析法是指每次僅計算一個費率因子對其保險產(chǎn)品價格的影響。由于忽略各個費率因子之間的相互關(guān)系，容易導(dǎo)致定價結(jié)果的嚴(yán)重扭曲，只有當(dāng)各個費率因子之間是相互獨立的，這種方法所得到的結(jié)論才是穩(wěn)定可靠的。例如，在汽車保險定價中，對車齡進(jìn)行單項分析，結(jié)果表明汽車時間越長，保險成本越高。但是導(dǎo)致這一現(xiàn)象的很大原因可能是女性駕駛員駕駛舊車，這才導(dǎo)致了舊車的保險成本較高。而根據(jù)車齡和駕駛員性別的單項分析結(jié)果來厘定車險費率，將會重復(fù)使用駕駛員性別對車險費率的影響，導(dǎo)致對女性駕駛員收取過高的保險費。在競爭日益激烈的非壽險市場下，單項分析這一傳統(tǒng)方法明顯過于簡單。

1.2 最小偏差法（Minimum Bias Method）

最小偏差法是19世紀(jì)60年代發(fā)展的一種分類費率厘定的方法，可同時確定兩個或兩個以上分類變量的相對費率。這一方法需要通過方程組建立損失數(shù)據(jù)和各個費率因子之間的關(guān)系，通過迭代的方法求解未知參數(shù)的最優(yōu)解。在僅有兩個費率因子的情況下，

其中eij為費率單元（i，j）的風(fēng)險單位數(shù)，mij為權(quán)數(shù)，？琢i，？茁i分別為相應(yīng)費率因子在不同水平的相對費率，yij為觀測值。相比于單項分析法，最小偏差法雖然解決了因忽略各費率因子之間的相互關(guān)系所可能導(dǎo)致的定價結(jié)果扭曲，但是僅有兩個費率因子的情況下，迭代都是十分復(fù)雜的，更何況實際情況下不止兩個費率因子，所以這一方法依然無法形成一個完整的統(tǒng)計框架。

2 廣義線性模型（GLM）基本理論

廣義線性模型可以解決以上兩種傳統(tǒng)方法存在的問題，同時考慮多個費率因子，并處理整個指數(shù)族分布。廣義線性模型基于傳統(tǒng)的線性回歸模型的一系列假設(shè)之上，放寬對這些假設(shè)的要求，廣義線性模型的假設(shè)一般由三部分組成：隨機(jī)成分、系統(tǒng)成分和連結(jié)函數(shù)。

2.1 隨機(jī)成分

隨機(jī)成分是指因變量Y或誤差項的概率分布。y1，y2，…，yn是因變量Y的相互獨立樣本，服從指數(shù)分布族的其中一種分布，指數(shù)分布族包含正態(tài)分布、泊松分布、伽馬分布、逆高斯分布等分布。指數(shù)分布族的概率密度為：

2.3 連結(jié)函數(shù)

連結(jié)函數(shù)是人們在一般線性模型中常常忽略的部分，在一般線性模型中連結(jié)函數(shù)是單位連結(jié)函數(shù)，而廣義線性模型的連結(jié)函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)并可微的，將變量Y的期望與系統(tǒng)成分連接起來，此時E（Y）=g-1（？濁），這里g是一個單調(diào)可微的函數(shù)。

文章主要通過R軟件的相關(guān)函數(shù)，完成廣義線性模型的相關(guān)統(tǒng)計分析，鑒于篇幅有限，相關(guān)程序代碼就不一一列出，只給出模型檢驗的最終結(jié)果。

3 廣義線性模型的實證分析

3.1 數(shù)據(jù)說明及模型構(gòu)建

廣義線性模型對數(shù)據(jù)量的要求較大，這是要保證較多風(fēng)險類別對結(jié)果影響的可信度，所以廣義線性模型一般使用原始數(shù)據(jù)，文章采用某保險公司公開的機(jī)動車第三方責(zé)任險數(shù)據(jù)，可從網(wǎng)站（www.statsci.org）上直接下載。樣本數(shù)據(jù)共有7個變量，我們考慮4個影響索賠額的費率因子：

（1）年均里程數(shù)kilometres，共分5個水平：K1，K2，K3，K4，K5；（2）行車區(qū)域zones，共分7個水平：Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，Z7；（3）無賠款折扣等級bonus，共分7個水平：B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7；（4）車型make，共分9個水平：M1，M2，M3，M4，M5，M6，M7，M8，M9。

此樣本共有5×7×7×9=2205個風(fēng)險類別，除去23個風(fēng)險暴露數(shù)（沒有被保險人）為0的，剩下2182個風(fēng)險類別。

我們首先對索賠次數(shù)和索賠額進(jìn)行了傳統(tǒng)的多元線性回歸，結(jié)果發(fā)現(xiàn)索賠次數(shù)和索賠強(qiáng)度的擬合結(jié)果出現(xiàn)了負(fù)值，這顯然是不合理的。

下面建立廣義線性模型，

這里Yijkl和mijkl分別表示單元（i，j，k，l）的索賠強(qiáng)度和索賠次數(shù)，i，j，k，l分別代表上述4個費率因子的各個水平，即i=1，2，…，5，j=1，2，…，7，k=1，2，…，7，l=1，2，…，9。

由于索賠次數(shù)的建模方式與索賠強(qiáng)度一致，此處就不再重復(fù)表達(dá)。由索賠頻率=索賠次數(shù)/風(fēng)險暴露數(shù)，可以得到索賠頻率的結(jié)果，則純保費為索賠頻率的期望與索賠強(qiáng)度期望的乘積。

3.2 對模型進(jìn)行實證分析

（1）索賠次數(shù)

在估計索賠次數(shù)時，常用泊松分布和負(fù)二項分布假設(shè)下，用對數(shù)連結(jié)函數(shù)建立廣義線性模型，這是為了保證各個費率因子之間是乘積關(guān)系。下面運用R軟件的glm（）語句對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合（表1），從表中可以看到負(fù)二項分布的離差小，對數(shù)似然值大，AIC值小，表明負(fù)二項分布的擬合優(yōu)度較好。

（2）索賠強(qiáng)度

在估計索賠強(qiáng)度時，常用伽馬分布和逆高斯分布假設(shè)下，用對數(shù)連結(jié)函數(shù)建立廣義線性模型。下面運用R軟件的glm（）語句對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合（表3），從表中可以看出伽馬分布的離差小，對數(shù)似然值和AIC與逆高斯分布的AIC值相差不大，可知伽馬分布假設(shè)下的模型擬合效果相對較好。

3.3 結(jié)束語

根據(jù)模型的擬合效果，我們選擇負(fù)二項分布GLM對索賠次數(shù)進(jìn)行分析，選擇伽馬分布GLM對索賠強(qiáng)度進(jìn)行分析。在實證分析中我們發(fā)現(xiàn)，有些費率等級擬合效果并不顯著，可考慮將進(jìn)行等級的合并，精算師在實際運用廣義線性模型進(jìn)行費率厘定時，應(yīng)充分考慮建模本身的風(fēng)險，模型參數(shù)的風(fēng)險以及隨機(jī)誤差的風(fēng)險等。目前，隨著廣義線性模型不斷程度的加深應(yīng)用，多種統(tǒng)計軟件也日益完善成熟，鑒于R軟件不斷更新，包含GLM以及GLM的許多拓展模型如：GAM，GAMLSS等，也可以在R中找到相關(guān)函數(shù)，可通過www.jstatsoft.org找到最新研究成果。

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作者簡介：張?zhí)焓妫?991-），女，滿族，遼寧省興城市，遼寧師范大學(xué)，碩士，應(yīng)用統(tǒng)計。