滿懷信心 步步為營

許挺 王志進(jìn)

同學(xué)們，臨近期中考試了，根據(jù)前面考試的經(jīng)驗，你會發(fā)現(xiàn)試卷最后總有一兩道綜合性強(qiáng)、難度大的題目.如何解決這類壓軸題呢？許老師和王老師有話跟我們說.

解答壓軸題首先既要滿懷信心，又要抱著平和的心態(tài)，達(dá)到得而不喜失而不憂的境界；其次，要層層推進(jìn)，能得多少分就拿多少分.壓軸題一般會設(shè)置三四個問題，這些問題之間是層層遞進(jìn)的關(guān)系，前兩個問題一般是比較簡單的，基本上是送分的，大部分同學(xué)只要得到這部分的分?jǐn)?shù)基本上就達(dá)到目的了，但是前兩個問題一定要解答正確，否則后面的問題很難解答正確！

下面，我們就以一道期中考試壓軸題為例，體會一下解答壓軸題的思路.

一、初步感知

有一張印有平面直角坐標(biāo)系的爬行墊，小寶從點(diǎn)A（0，2）出發(fā)爬到點(diǎn)E處取玩具，路線如圖1，AB∥DE，且B（1，2），C（3，-1），D（4，1），E（5，a）.

（1）a=_____.

（2）連接BD，則△BCD的面積=_____.

（3）若∠BCD=60。，求∠ABC+∠CDE的值，并寫出理由.

（4）EF∥y軸，G是直線EF上一點(diǎn)，當(dāng)△BCG與△BCD面積相等時，求點(diǎn)G的坐標(biāo)，

請同學(xué)們獨(dú)立思考，仔細(xì)審題，展開聯(lián)想，尋找解題思路.

二、模仿學(xué)習(xí)

通過審題，我們發(fā)現(xiàn)這個壓軸題的前三個問題比較簡單，基本上屬于送分題.

第一個問題考查的是與X軸平行的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，結(jié)合圖1可以直接求得答案，a=1.

對于第二個問題，先用鉛筆畫圖，發(fā)現(xiàn)△BCD是一個不能直接確定底和高的三角形，我們可以想到利用“割補(bǔ)法”求其面積，為了防止其余無關(guān)直線的干擾，我們在草稿紙上把僅與第二個問題有關(guān)的圖形“抽”出來，如圖2.過點(diǎn)B作BK垂直于X軸，過點(diǎn)D作DL垂直于X軸，過點(diǎn)C作y軸的垂線分別交BK、DL于K、L兩點(diǎn)，這樣四邊形BDLK就是一個直角梯形.

因為BK=2-（-1）=3，KC=3-1=2，CL=4-3=1，DL=1 -（-1）=2，KL=4-1=3，所以S△BCD=（BK+DL）·KL/2-BK·KC/2-DL·CL/2=（3+2）×3/2-3×2/2-2×1/2=3.5.

第三個問題很常見，因為∠ABC與∠CDE不是“三線八角”中的兩個角，因此需要添輔助線來轉(zhuǎn)換.AB與DE已經(jīng)平行，如果再加一條平行線就可以作為“橋梁”，解決此題，

如圖3，過點(diǎn)C作HT∥AB，故∠BCH+∠B=180。.

因為AB//DE，故HT//DE.∠D+∠DCT=180。，∠B+∠D=360。-（∠BCH+∠DCT）.

因為∠BCD=60?！螧CH+∠DCT+∠BCD=180。，故∠BCH+∠DCT=120。.∠B+∠D=360。-（∠BCH+∠DCT）=360。-120∠=240。.

可能還有的同學(xué)會添加如圖4、圖5、圖6的輔助線，仍然可以求解。

第四個問題，當(dāng)我們閱讀“△BCG與△BCD面積相等”時，發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有一條公共邊BC，其中D是定點(diǎn)，G是待求點(diǎn)，所以我們想到了“同底等高”的思路，我們嘗試在EF上找一個點(diǎn)G，畫出△BCG.

我們把點(diǎn)G沿直線EF自上而下移動，畫出動態(tài)△BCC的幾幅圖，如圖7至圖11，比較△BCC的高h(yuǎn)1和△BCD的高h(yuǎn)2的大小，我們會發(fā)現(xiàn)從上到下，h1、h2的大小比較經(jīng)歷了h1>h2，h1=h2，h1h2這樣的五個過程，所以本題的答案應(yīng)該有兩個！觀察h1=h2的圖8和圖10，在圖8中，若連接DG可發(fā)現(xiàn)DG∥BC，在圖10中，設(shè)點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)為D，若連接D'G，可發(fā)現(xiàn)D'G∥BC.

如圖8，設(shè)C（5，y）.

因為S△BCD=S△BCG，仿照第二個問題的解題思路可得S△BCG=4（3+y+1）/2-3×2/2-2（y+1）/2=3.5.

解得y=-0.5.故點(diǎn)G的坐標(biāo)為（5，-0.5）.

如圖10，設(shè)G（5，y），作BM⊥EF于點(diǎn)M，CK⊥BM于點(diǎn)K，CH⊥EF于點(diǎn)H，連接CM（圖略），則BM=5-1=4，MG=2-y，CK=2-（-1）=3，CH =5 -3 =2.故S△BCG=S△BGM-S△BCM-S△CGM=BM·MG/2-BM·CK/2-MG·CH/2，因為S△BCD=S△BCG，

故BM·MG/2-BM·CK/2-MG·CH=3.5。

故4（ 2-y）/2-4×3/2-2（2-y）/2=3.5.

解得y=-7.5.故點(diǎn)G（5，-7.5）.

綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（5，-0.5）或（5，-75）.

三、梳理升華

我們以較大的篇幅詳細(xì)展示了壓軸題的思路，由此我們發(fā)現(xiàn)：

1.從心態(tài)上講，對于壓軸題能得幾分得幾分，但是不能隨便放棄.

2.從解答技術(shù)上講，我們要了解問題之間的關(guān)系，一般情況下問題之間是遞進(jìn)的關(guān)系，即后面的問題用到前面的結(jié)論，前問錯后問必錯，所以前問的解答一定要仔細(xì)，力求準(zhǔn)確.如果問題之間沒有關(guān)聯(lián)，那么我們會解決哪個問題就解決哪個問題.

3.從命題技術(shù)上看，壓軸題一般是把幾個基本問題放在一定的背景下，通過一定的知識串聯(lián)而成，而且其解答方法常常來自于課本或者我們做過的習(xí)題.如本題第一個問題是平面直角坐標(biāo)系中很簡單的小題，第二個問題在課后的習(xí)題中就能找到它的影子，第三個問題我們在學(xué)習(xí)直線的平行與相交時常常見到，而第四個問題利用的是“同底等高”的思路.只不過這些小題穿上“平面直角坐標(biāo)系”的外衣，湊在一起，綜合性強(qiáng)了，難度可能就大了，就變成一個壓軸題了，所以我們的步步為營的策略正好能夠破解壓軸題.

4.當(dāng)然，解答壓軸題還有些小技巧，在求解過程中，我們把嘗試與直覺互相配合，要敢于多動手畫畫寫寫，靈感常常產(chǎn)生在嘗試中，同時又要善于把研究對象從繁雜的圖形中“抽”出來，體會其中的化歸思想.在這個過程中草稿紙和鉛筆等輔助工具的使用功不可沒.

練一練

1.如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），C（b，2），且滿足（a+2）2+b-2=0，過點(diǎn)C作CB⊥x軸于點(diǎn)B.

（1）求三角形ABC的面積.

（2）若過點(diǎn)B作BD∥AC交y軸于點(diǎn)D，且AE、DE分別平分∠CAB、∠ODB，求∠AED的大小.

（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得三角形ABC和三角形ACP的面積相等？若存在，清求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案：1.（1）S△ABC=4.（2）∠AED=45。.（3）（0，-1）或（0，3）.