程偉

為了了解中學(xué)生對(duì)化歸轉(zhuǎn)化思想的解題特點(diǎn)，特精心篩選試題并設(shè)計(jì)了試題卷，要求學(xué)生根據(jù)自己的思考進(jìn)行解答，時(shí)間不限，所有草稿均寫在調(diào)查卷.本文從選題緣由、調(diào)研目的、解題思路等多方面對(duì)調(diào)研結(jié)果做了細(xì)致的闡述，深入地了解了學(xué)生對(duì)化歸轉(zhuǎn)化思想的掌握程度和困難所在，并給出了解題教學(xué)中貫穿化歸轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)建議.

1.調(diào)研試題

問(wèn)題1：設(shè)函數(shù)f（x）=13x3-a+12x2+ax-a，a∈R.若方程f（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)根，求a的取值范圍.

思路 方式①：如圖，若方程f（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)根，則函數(shù)f（x）與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn).所以f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)必須一正一負(fù).即f（1）·f（a）<0，從而-16a3+12a2-a-a2-16<0，解得-131時(shí)，f（a）<0f（1）>0，求出此a范圍；當(dāng)a<1時(shí)，f（a）>0f（1）<0，求出此a范圍，合在一起得a范圍.

問(wèn)題2：函數(shù)f（x）=x2eax，其中a∈R.若過(guò)點(diǎn)A（1，0）能作f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

思路 如圖，若過(guò)點(diǎn)A（1，0）能作f（x）的三條切線，則必有不同的三個(gè)切點(diǎn)P，即可得到關(guān)于x0的方程有三個(gè)解.于是f′（x）=2xeax+ax2eax，設(shè)切點(diǎn)為P（x0，f（x0）），則切線l切：y-y0=（2x0+ax20）eax0（x-x0），因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)A（1，0），所以-x20eax0=（2x0+ax20）eax0（1-x0），化簡(jiǎn)得x0[ax20+（1-a）x0-2]=0，此方程應(yīng)有三個(gè)實(shí)數(shù)根，所以（1-a）2-8a>0，解得a<-46或a>46.

問(wèn)題3：假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30～7：30之間把報(bào)紙送到，你父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上7：00～8：00之間，問(wèn)你父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙（記為事件A）的概率是多少？

思路 記報(bào)紙送到時(shí)間為x，父親離家時(shí)間為y，則6.5≤x≤7.57≤y≤8，于是當(dāng)x≤y時(shí)事件A發(fā)生，由右圖可知，事件A發(fā)生的概率為P（A）=1-12·12·12=78.

2.選題緣由

選擇以上三題的目的在于了解學(xué)生對(duì)化歸轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用情況，以及學(xué)生是通過(guò)怎樣的分析發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化這一解題策略的，更具體地說(shuō)，具備什么樣的思維和知識(shí)才能合理有效地進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化，希望由此能得到一些教學(xué)上的思考和啟發(fā).這里問(wèn)題1～3的等價(jià)轉(zhuǎn)化過(guò)程如下：

問(wèn)題1：f（x）=0有三個(gè)實(shí)根f（x）與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn) f（1）·f（a）<0；

問(wèn)題2：f（x）有三條切線有三個(gè)切點(diǎn)關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程有三個(gè)根；

問(wèn)題3：概率問(wèn)題線性規(guī)劃問(wèn)題.

此三個(gè)問(wèn)題均體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想，問(wèn)題1主要想考查學(xué)生運(yùn)用零點(diǎn)存在定理結(jié)合數(shù)學(xué)圖形進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力；問(wèn)題2主要想考查學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題分析概括的能力，從而促進(jìn)化歸轉(zhuǎn)化；問(wèn)題3主要想考查學(xué)生在不同知識(shí)領(lǐng)域間的化歸轉(zhuǎn)化能力.

3.調(diào)研結(jié)果

（1）問(wèn)題1的解答效果很好，主要表現(xiàn)在學(xué)生的解題過(guò)程基本上呈現(xiàn)了有效的函數(shù)圖像，結(jié)合圖像分析后，有了兩種思路.有的學(xué)生將方程直接等價(jià)于極值得出函數(shù)值異號(hào)，另一種是根據(jù)取得極值的自變量a和1比較大小進(jìn)行分類處理.以上兩種處理方式都是化歸轉(zhuǎn)化，只是化歸的復(fù)雜程度不一樣，第一種化歸處理來(lái)得更直接，簡(jiǎn)單快捷，而第二種化歸稍復(fù)雜了些.這表明化歸轉(zhuǎn)化的好壞取決于高度的分析概括，而后形成模型，應(yīng)用時(shí)則直接轉(zhuǎn)化，此調(diào)研成果可對(duì)解題教學(xué)的設(shè)計(jì)起到指導(dǎo)作用.

（2）問(wèn)題2的解答效果不是很好，原因應(yīng)出于解題者對(duì)問(wèn)題的分析概括程度不夠，加之作三條切線的模型可能從未在解題者思維中形成模型，當(dāng)面臨新的問(wèn)題的時(shí)候，經(jīng)過(guò)分析處理沒(méi)有化歸的方向，使得問(wèn)題的解決效果便不是很好.

（3）問(wèn)題3的解答效果甚為糟糕，此題還是人教A版必修3課本例題，解決此題有兩個(gè)難點(diǎn)，一是準(zhǔn)確把握決定幾何概型基本事件的變量，二是要將概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題.線性規(guī)劃解決的是兩個(gè)變量之間的不等關(guān)系問(wèn)題，于是轉(zhuǎn)化的難點(diǎn)應(yīng)在于對(duì)變量的準(zhǔn)確分析，這在幾何概型中體現(xiàn)為對(duì)基本事件的準(zhǔn)確分析上.對(duì)幾何概型基本事件的準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)應(yīng)該是如下的基本過(guò)程，多次給出一個(gè)具體時(shí)間x和y進(jìn)行探究，在探究中發(fā)現(xiàn)決定基本事件的變量有兩個(gè)，于是問(wèn)題的基本事件是一對(duì)有序數(shù)組（x，y），當(dāng)x≤y時(shí)，事件A發(fā)生，列出相應(yīng)不等關(guān)系并得到事件A發(fā)生的不等關(guān)系，然后聯(lián)想到二元一次不等式組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，當(dāng)然這是建立在解題者具備線性規(guī)劃問(wèn)題意識(shí)的基礎(chǔ)上.

4.教學(xué)啟示

化歸轉(zhuǎn)化需具備兩個(gè)條件：①解題者具有高度的分析能力和概括能力；②解題者大腦中必須要有很多的問(wèn)題模型，用于問(wèn)題的化歸轉(zhuǎn)化.所以從教學(xué)的角度來(lái)講，我們不僅應(yīng)注重學(xué)生大腦中問(wèn)題模型的建立，也要注重學(xué)生分析問(wèn)題、概括問(wèn)題、探究問(wèn)題的思維能力的培養(yǎng).