王亞紅　段世英

【摘要】數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，其嚴(yán)謹(jǐn)很大程度上依賴于數(shù)學(xué)符號.數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號描述，使問題趨于簡潔易懂.在大學(xué)數(shù)學(xué)的研究和學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)符號大量出現(xiàn)，如果對數(shù)學(xué)符號理解不夠深入，會導(dǎo)致一些錯誤的出現(xiàn).本文針對積分符號中被積函數(shù)f（x）與dx之間是否是一些教師所理解的因子關(guān)系進(jìn)行分析和研究.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)符號；積分符號；因子關(guān)系

一、積分符號的創(chuàng)立及作用

1675年，萊布尼茲在手稿中首次用“omn”表示求和，從而出現(xiàn)了第一組符號化微積分表達(dá)式：omn·1=y，omn·y1=omn·omn1·1[]a，接著萊布尼茲用∫取替“omn”并在研究微積分的過程中提出許多新符號，如微分符號dx，d2x，d3x，……微商符號dy[]dx等.萊布尼茲堅信好的符號可以節(jié)省思維過程，使思路和書寫更加美觀、有效.并且這些符號具有“反映事物內(nèi)在本質(zhì)，減輕想象的任務(wù)”等特點，所以在18世紀(jì)英國人因優(yōu)越感而拒絕使用萊布尼茲的符號時，已經(jīng)采用萊布尼茲微積分符號的歐洲大陸數(shù)學(xué)水平飛速提高.

二、關(guān)于積分符號的討論

（一）不定積分定義中的積分符號

結(jié)合同濟(jì)大學(xué)第六版《高等數(shù)學(xué)》關(guān)于原函數(shù)和不定積分的定義，有：

如果dF（x）[]dx=f（x），則f（x）在區(qū)間I的不定積分∫f（x）dx=F（x）+C（1）

這里dx只是在強(qiáng)調(diào)x是積分變量，沒有因子意義.僅由定義可得到不定積分性質(zhì)：d∫f（x）dx[]dx=f（x），∫f′（x）dx=f（x）+C.由此二式，有d∫f（x）dx=f（x）dx.注意這個式子左邊dx沒有因子意義，右邊dx是因子意義.同時還有∫df（x）=f（x）+C，當(dāng)然df（x）也沒有因子意義的.此外有

∫f（φ（x））dφ（x）=F（φ（x））+C（2）

這里dφ（x）也不是因子意義，在強(qiáng)調(diào)φ（x）是積分變量.那么∫f（φ（x））φ′（x）dx=？即問f（φ（x））φ′（x）的原函數(shù)是什么呢？因為

F（φ（x））′x=F′（φ（x））φ′（x）=f（φ（x））φ′（x）說明F（φ（x））就是f（φ（x））φ′（x）的一個原函數(shù).即

∫f（φ（x））φ′（x）dx=F（φ（x））+C（3）

比較（2）（3）式，得到一個有意義確實成立的等式：

∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）（4）

這里dφ（x），dx都不是因子意義.這就是不定積分的第一換元法（湊微分法）.對（4）式，若視“符號”dφ（x）是函數(shù)的微分，那么可以按微分理解：

φ′（x）dx=dφ（x）（5）

大家都知道（5）式是一個微分.但當(dāng)從（4）這樣的推理下給出，那可就是一個“形式相等的意義”.數(shù)學(xué)公式本來就是要得到一個容易理解、接受的式子.所以在不定積分運(yùn)算中，當(dāng)我們把上述不是因子的符號都理解為因子，那么一切都變得是我們熟悉的了！

如果當(dāng)初不定積分記為∫xf（x）=F（x）+C，那么相應(yīng)的（4）式得記為

∫xf（φ（x））φ′（x）=∫φ（x）f（φ（x）），這實在是眼花繚亂！

一旦人們這樣的“形式理解”不定積分的符號，計算時就容易了.第二換元法、分部積分都是在這樣的理解下完成的.

（二）定積分定義中的積分符號

定積分、不定積分符號只有“點滴”差別，但卻是不同的兩個概念.

定積分這樣說：設(shè)f（x）在[a，b]上有界，對[a，b]的任意分劃Δ，如果極限limλ→0∑n[]i=1f（ξi）Δxi存在，稱該極限為定積分，記∫baf（x）dx.（6）

這里的dx只是在強(qiáng)調(diào)x是積分變量，沒有因子意義.雖然有

∫baf（x）dx≈∑n[]i=1f（ξi）Δxi（7）

近似是一個相對的詞，如果由Δxi是因子就說dx是因子那肯定是不對的.大家都知道，符號∫是英文sum的首字母拉長，有求和的意思（定積分意義的確是不均勻求和），那和dx是否是因子也沒關(guān)系.

定積分換元法中要求f（u）連續(xù)u=φ（x）有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，才保證了∫baf（x）φ′（x）dx，∫BAf（u）du的存在.從而兩個被積函數(shù)有相同的原函數(shù)，所以

∫baf（x）φ′（x）dx=∫BAf（u）du形式寫為

∫baf（φ（x））dφ（x）（8）

這就是定積分的換元法.（8）中第三項只是第二項的形式記號，更不會談dφ（x）是否是因子了，萊布尼茲積分號真是妙不可言！

【參考文獻(xiàn)】

[1]托和勒理.數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)的形成與認(rèn)識功能[J].東北師范大學(xué)學(xué)報自然科學(xué)版，1995（2）.

[2]肖為勝.關(guān)于積分符號的注記[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2009，25（3）.