李敏　張威

【摘要】本文給出積分第一中值定理的兩個(gè)新的證明方法，并改進(jìn)積分第一中值定理中ξ屬于閉區(qū)間[a，b]結(jié)論，得到至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b）使得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

【關(guān)鍵詞】變上限函數(shù)； 拉格朗日中值定理； 積分第一中值定理

1.引言、定義與引理

積分第一中值定理是一元函數(shù)積分學(xué)中的重要定理之一. 本文應(yīng)用變上限函數(shù)、拉格朗日中值定理和反證法給出積分第一中值定理的兩個(gè)新的證明方法，在這兩個(gè)證明方法中，對于定理的條件不做任何改動(dòng)，但是在定理的結(jié)論上對原定理做出了改進(jìn)，得到至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b）使得

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

定義[1] 設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上可積，記函數(shù)F（x）=∫xaf（t）dt，x∈[a，b]，并稱其為變上限函數(shù).

引理[1]（積分第一中值定理） 若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈[a，b]，使得

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

2.主要結(jié)論與證明

定理1 若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

證法一 應(yīng)用變上函數(shù)、拉格朗日中值定理證明定理.

證 變上限函數(shù)F（x）=∫xaf（t）dt在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，從而函數(shù)F（x）在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此，至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得F′（ξ）=F（b）-F（a）b-a.

再根據(jù)微積分學(xué)基本定理和牛頓—萊布尼茨公式，則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得

f（ξ）=F′（ξ）=1b-a∫baf（x）dx，

即

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

證法二 應(yīng)用反證法證明定理.

證 假設(shè)任意t∈（a，b）都使得

f（t）≠1b-a∫baf（x）dx=A.

則必成立下列三種情況之一：

情況（1）：

若f（t）>1b-a∫baf（x）dx=A，t∈（a，b），

則有不等式

∫baf（t）dt>∫baAdt=A（b-a）=∫baf（x）dx，

顯然上述不等式矛盾.

情況（2）：

若f（t）<1b-a∫baf（x）dx=A，t∈（a，b），

則有不等式

∫baf（t）dt<∫baAdt=A（b-a）=∫baf（x）dx，

顯然上述不等式矛盾.

情況（3） 若存在t1，t2∈（a，b）（不妨設(shè)t1

f（t1）<1b-a∫baf（x）dx

因?yàn)閒（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，自然在[t1，t2]上連續(xù)，于是根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值性定理至少存在一點(diǎn)ξ∈t1，t2（a，b），使得

f（ξ）=1b-a∫baf（x）dx，

這與假設(shè)矛盾.

綜上所述至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

結(jié)論證畢.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 數(shù)學(xué)分析[M]. 北京： 高等教育出版社，2001.

[2]劉玉璉，傅沛仁. 數(shù)學(xué)分析講義[M]. 北京： 高等教育出版社，1996.