張景中
同學(xué)們 對尺規(guī)作圖問題了解多嗎?
經(jīng)過多年的艱苦探索,數(shù)學(xué)家證明了所謂“三大作圖難題”實際上是三個“不可能用尺規(guī)完成的作圖題”。
舊的問題解決了,數(shù)學(xué)家又提出了改變作圖規(guī)則之后的作圖問題。
一個方向是放寬限制,比如:直尺上有了刻度,又能干些什么?又如:設(shè)計出能畫別的曲線的儀器,能把任意角三等分的儀器,使作圖法變得更加豐富而實用,
相反的方向是加強限制,比如:幾何里講的直尺理論上可以任意長,圓規(guī)的半徑也可以任意大,你可以從北京到上海連一條線段,也可以以蘭州為圓心,畫一條穿過南京的圓弧,可實際上,我們用的圓規(guī)和直尺都很小,小圓規(guī)和短直尺能不能干大圓規(guī)和長直尺所干的事呢?
經(jīng)過研究,答案是肯定的,長直尺和大圓規(guī)能干的事,短直尺和小圓規(guī)也能干,
當(dāng)然,小圓規(guī)畫不出大半徑的圓弧來,不過,數(shù)學(xué)家看的是關(guān)鍵之點,幾何作圖的關(guān)鍵之點是定點,凡是用大圓規(guī)和長直尺確定的某些點,用小圓規(guī)和短直尺也能把它確定出來,這就表明小圓規(guī)和短直尺并不遜色!
更有趣的是,1797年意大利數(shù)學(xué)家馬斯羅尼發(fā)現(xiàn):只要用一把小圓規(guī),就能完成一切由直尺和圓規(guī)聯(lián)合起來所能干的事,這個發(fā)現(xiàn)引起了數(shù)學(xué)家的很大興趣,后來又知道,丹麥人摩爾在1697年已發(fā)現(xiàn)了這回事,不過沒引起當(dāng)時數(shù)學(xué)家的注意罷了。
那么,只用一把直尺行不行呢?數(shù)學(xué)家很快證明了:只用一把直尺能作的圖,少得可憐,但是,只要在平面上預(yù)先畫好一個圓和它的圓心,便可以用直尺完成一切能由圓規(guī)和直尺完成的任務(wù)。
限制尺規(guī)作圖的故事,似乎是到此為止了,已經(jīng)限制到這種程度了,再加限制,還能干些什么呢?
意料之外的事發(fā)生了,沉寂了多年的尺規(guī)作圖的舞臺上,演出了精彩的一幕,
這一幕的主角是幾位中國人,揭幕人卻是一位著名的美國幾何學(xué)家,年逾七旬的老教授佩多,
佩多敏銳地看出,固定半徑的圓規(guī)的作圖問題,可能隱藏著有趣的奧秘,他把這種固定半徑的圓規(guī)形象地叫作“生銹圓規(guī)”。為了方便,不妨設(shè)這種“生銹圓規(guī)”只能畫半徑為1的圓。
佩多精心選擇了兩個問題,在加拿大的一份雜志上征求解答。
問題之一:已知兩點A、B,只用一把“生銹圓規(guī)”。能不能找出一點C,使AC=BC=AB?
問題之二:已知兩點A、B,只用一把“生銹圓規(guī)”,能不能找出線段AB的中點C?(要知道,線段AB是沒有畫出來的,因為沒有直尺?。?/p>
后來的事態(tài)發(fā)展表明,正是這兩個問題的解決,使“生銹圓規(guī)”作圖的園地繁花怒放。
責(zé)任編輯:胡云志
中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版2015年11期