作圖問題

張景中

同學(xué)們 對尺規(guī)作圖問題了解多嗎？

經(jīng)過多年的艱苦探索，數(shù)學(xué)家證明了所謂“三大作圖難題”實際上是三個“不可能用尺規(guī)完成的作圖題”。

舊的問題解決了，數(shù)學(xué)家又提出了改變作圖規(guī)則之后的作圖問題。

一個方向是放寬限制，比如：直尺上有了刻度，又能干些什么？又如：設(shè)計出能畫別的曲線的儀器，能把任意角三等分的儀器，使作圖法變得更加豐富而實用，

相反的方向是加強限制，比如：幾何里講的直尺理論上可以任意長，圓規(guī)的半徑也可以任意大，你可以從北京到上海連一條線段，也可以以蘭州為圓心，畫一條穿過南京的圓弧，可實際上，我們用的圓規(guī)和直尺都很小，小圓規(guī)和短直尺能不能干大圓規(guī)和長直尺所干的事呢？

經(jīng)過研究，答案是肯定的，長直尺和大圓規(guī)能干的事，短直尺和小圓規(guī)也能干，

當(dāng)然，小圓規(guī)畫不出大半徑的圓弧來，不過，數(shù)學(xué)家看的是關(guān)鍵之點，幾何作圖的關(guān)鍵之點是定點，凡是用大圓規(guī)和長直尺確定的某些點，用小圓規(guī)和短直尺也能把它確定出來，這就表明小圓規(guī)和短直尺并不遜色！

更有趣的是，1797年意大利數(shù)學(xué)家馬斯羅尼發(fā)現(xiàn)：只要用一把小圓規(guī)，就能完成一切由直尺和圓規(guī)聯(lián)合起來所能干的事，這個發(fā)現(xiàn)引起了數(shù)學(xué)家的很大興趣，后來又知道，丹麥人摩爾在1697年已發(fā)現(xiàn)了這回事，不過沒引起當(dāng)時數(shù)學(xué)家的注意罷了。

那么，只用一把直尺行不行呢？數(shù)學(xué)家很快證明了：只用一把直尺能作的圖，少得可憐，但是，只要在平面上預(yù)先畫好一個圓和它的圓心，便可以用直尺完成一切能由圓規(guī)和直尺完成的任務(wù)。

限制尺規(guī)作圖的故事，似乎是到此為止了，已經(jīng)限制到這種程度了，再加限制，還能干些什么呢？

意料之外的事發(fā)生了，沉寂了多年的尺規(guī)作圖的舞臺上，演出了精彩的一幕，

這一幕的主角是幾位中國人，揭幕人卻是一位著名的美國幾何學(xué)家，年逾七旬的老教授佩多，

佩多敏銳地看出，固定半徑的圓規(guī)的作圖問題，可能隱藏著有趣的奧秘，他把這種固定半徑的圓規(guī)形象地叫作“生銹圓規(guī)”。為了方便，不妨設(shè)這種“生銹圓規(guī)”只能畫半徑為1的圓。

佩多精心選擇了兩個問題，在加拿大的一份雜志上征求解答。

問題之一：已知兩點A、B，只用一把“生銹圓規(guī)”。能不能找出一點C，使AC=BC=AB？

問題之二：已知兩點A、B，只用一把“生銹圓規(guī)”，能不能找出線段AB的中點C？（要知道，線段AB是沒有畫出來的，因為沒有直尺?。?/p>

后來的事態(tài)發(fā)展表明，正是這兩個問題的解決，使“生銹圓規(guī)”作圖的園地繁花怒放。

責(zé)任編輯：胡云志