,按下列要求完成尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡,不寫(xiě)作法).圖11)在邊AC上找一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到邊AB,BC的距離相等;2)在邊BC上找一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)Q到點(diǎn)A,B的距離相等.此題考查的是蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》(八年級(jí)上冊(cè))中“軸對(duì)稱(chēng)圖形”一章的內(nèi)容,其設(shè)計(jì)目的在于考查學(xué)生能否運(yùn)用角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理,在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上利用尺規(guī)繪制出目標(biāo)圖形,屬于基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力的考查.此題滿分4分,具體評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如表1所示.經(jīng)檢測(cè),此題的難度為0.

時(shí)參考.一、已知尺規(guī)作圖，解決有關(guān)問(wèn)題 解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的尺規(guī)作圖的步驟，準(zhǔn)確判定尺規(guī)作圖的類(lèi)型.例1 （2022·湖北·鄂州）如圖1，直線l1[?]l2，點(diǎn)C，A分別在l1，l2上，以點(diǎn)C為圓心、CA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交l1于點(diǎn)B，連接AB. 若∠BCA = 150°，則∠1的度數(shù)為（ ）.A. 10° ? ? B. 15° C. 20° ? ? ? D. 30° 分析：由題意可得AC = BC，則∠CAB = ∠CBA. 由∠BCA =

的這堂直播課，以尺規(guī)作圖的歷史引入，通過(guò)對(duì)五種基本尺規(guī)作圖之一的“作一條線段的垂直平分線”進(jìn)行深入剖析，引發(fā)“為什么要這樣作圖”的思考，總結(jié)出尺規(guī)作圖的流程“草圖—分析—操作—驗(yàn)證”，引導(dǎo)同學(xué)們根據(jù)作圖痕跡辨別作圖類(lèi)型，根據(jù)題干要求進(jìn)行作圖分析、逆向推理，從而把復(fù)雜尺規(guī)作圖問(wèn)題分解為若干基本作圖問(wèn)題.作一個(gè)角等于已知角，是根據(jù)“SSS”證兩個(gè)三角形全等的方法而得的；過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，是根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”而得的. 下面從這兩個(gè)基本作

）提出理解和掌握尺規(guī)作圖的基本原理和方法，倡導(dǎo)基于圖形的性質(zhì)或關(guān)系作圖，優(yōu)化了對(duì)尺規(guī)作圖的要求.尺規(guī)作圖作為初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）中是集中呈現(xiàn)的，主要包括“能用尺規(guī)作圖完成基本作圖”“會(huì)利用基本作圖作三角形”“會(huì)利用基本作圖完成與圓有關(guān)的作圖”“了解作圖的道理”；而在《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中是分散安排的，與基本圖形的基本性質(zhì)密切相關(guān)，承載了豐富的思想內(nèi)涵.應(yīng)如何體現(xiàn)

”，更加強(qiáng)調(diào)通過(guò)尺規(guī)作圖等幾何作圖活動(dòng)過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)幾何概念的直觀建立。隨著新課標(biāo)的修訂，各個(gè)版本的教材也將隨之進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整與優(yōu)化，但無(wú)論怎樣變化，把握尺規(guī)作圖相關(guān)內(nèi)容的相互聯(lián)系和內(nèi)在邏輯，以及明確尺規(guī)作圖在建立幾何直觀、發(fā)展核心素養(yǎng)方面的意義和價(jià)值應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教師的專(zhuān)業(yè)要求。一、直觀與幾何直觀《辭海》的釋義：直觀即感性認(rèn)識(shí)，其特點(diǎn)是生動(dòng)性、具體性和直接性?！吨袊?guó)大百科全書(shū)》“哲學(xué)卷”的釋義：直觀是通過(guò)對(duì)客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí)。西方哲學(xué)家通常認(rèn)為

14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

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14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

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14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

006)1 前言尺規(guī)作圖，即有限次使用直尺和圓規(guī)，解決平面幾何的作圖問(wèn)題[1]．它是將想象中的幾何概念變成看得見(jiàn)的幾何的重要手段，幫助學(xué)生直觀理解幾何概念及其關(guān)系，形成初步的幾何直覺(jué)．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下文簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》)將尺規(guī)作圖置于基本幾何概念(點(diǎn)線面角、相交線平行線、垂線、三角形、四邊形、圓等)之后[2]．盡管《課標(biāo)》并未規(guī)定教科書(shū)中知識(shí)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序，但實(shí)際的教科書(shū)編寫(xiě)還是受到《課標(biāo)》中尺規(guī)作圖后置的影響，初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中有關(guān)

006)1 前言尺規(guī)作圖，即有限次使用直尺和圓規(guī)，解決平面幾何的作圖問(wèn)題[1]．它是將想象中的幾何概念變成看得見(jiàn)的幾何的重要手段，幫助學(xué)生直觀理解幾何概念及其關(guān)系，形成初步的幾何直覺(jué)．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下文簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》)將尺規(guī)作圖置于基本幾何概念(點(diǎn)線面角、相交線平行線、垂線、三角形、四邊形、圓等)之后[2]．盡管《課標(biāo)》并未規(guī)定教科書(shū)中知識(shí)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序，但實(shí)際的教科書(shū)編寫(xiě)還是受到《課標(biāo)》中尺規(guī)作圖后置的影響，初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中有關(guān)

006)1 前言尺規(guī)作圖，即有限次使用直尺和圓規(guī)，解決平面幾何的作圖問(wèn)題[1]．它是將想象中的幾何概念變成看得見(jiàn)的幾何的重要手段，幫助學(xué)生直觀理解幾何概念及其關(guān)系，形成初步的幾何直覺(jué)．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下文簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》)將尺規(guī)作圖置于基本幾何概念(點(diǎn)線面角、相交線平行線、垂線、三角形、四邊形、圓等)之后[2]．盡管《課標(biāo)》并未規(guī)定教科書(shū)中知識(shí)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序，但實(shí)際的教科書(shū)編寫(xiě)還是受到《課標(biāo)》中尺規(guī)作圖后置的影響，初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中有關(guān)

006)1 前言尺規(guī)作圖，即有限次使用直尺和圓規(guī)，解決平面幾何的作圖問(wèn)題[1]．它是將想象中的幾何概念變成看得見(jiàn)的幾何的重要手段，幫助學(xué)生直觀理解幾何概念及其關(guān)系，形成初步的幾何直覺(jué)．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下文簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》)將尺規(guī)作圖置于基本幾何概念(點(diǎn)線面角、相交線平行線、垂線、三角形、四邊形、圓等)之后[2]．盡管《課標(biāo)》并未規(guī)定教科書(shū)中知識(shí)內(nèi)容的呈現(xiàn)順序，但實(shí)際的教科書(shū)編寫(xiě)還是受到《課標(biāo)》中尺規(guī)作圖后置的影響，初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中有關(guān)

14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

角和為540°，尺規(guī)作圖是指用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖，尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題：只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來(lái)解決不同的平面幾何作圖題.對(duì)于尺規(guī)構(gòu)圖來(lái)說(shuō)，正五邊形算是比較復(fù)雜的了.《幾何原本》中是這樣作正五邊形的：先作一個(gè)等腰三角形，使其腰和底邊之比為黃金比例，可以證明這個(gè)等腰三角形的頂角是36度，繼而在此基礎(chǔ)上作出正五邊形（如圖1）.而在《圓之吻——有趣的尺規(guī)作圖》（莫海亮著）一書(shū)中，作者給出了正五邊形的二十四個(gè)尺規(guī)作圖方法，后面還有若

14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

14432)1 尺規(guī)作圖問(wèn)題概述所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問(wèn)題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過(guò)“證偽”說(shuō)明了三大作圖問(wèn)題的不可能性，問(wèn)題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問(wèn)題研究的步伐還在延續(xù)．2 尺規(guī)作圖問(wèn)題的特征尺規(guī)作圖問(wèn)題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作

”，更加強(qiáng)調(diào)通過(guò)尺規(guī)作圖等幾何作圖活動(dòng)過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)幾何概念的直觀建立。隨著新課標(biāo)的修訂，各個(gè)版本的教材也將隨之進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整與優(yōu)化，但無(wú)論怎樣變化，把握尺規(guī)作圖相關(guān)內(nèi)容的相互聯(lián)系和內(nèi)在邏輯，以及明確尺規(guī)作圖在建立幾何直觀、發(fā)展核心素養(yǎng)方面的意義和價(jià)值應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教師的專(zhuān)業(yè)要求。一、直觀與幾何直觀《辭?！返尼屃x：直觀即感性認(rèn)識(shí)，其特點(diǎn)是生動(dòng)性、具體性和直接性?！吨袊?guó)大百科全書(shū)》 “哲學(xué)卷”的釋義：直觀是通過(guò)對(duì)客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí)。西方哲學(xué)家通常認(rèn)

21版討論稿）對(duì)尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)要求有所提高. 將三角形、全等三角形、軸對(duì)稱(chēng)與尺規(guī)作圖聯(lián)姻的試題成為2021年中考新熱點(diǎn). [真題呈現(xiàn)]例1 （2021·吉林·長(zhǎng)春）在△ABC中，∠BAC = 90°，AB ≠ AC. 用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形. 作法不正確的是（ ）.解析：選項(xiàng)A中，AD是△ABC的角平分線，無(wú)法證得△ADC是等腰三角形;選項(xiàng)B中，CA = CD，則△ADC是等腰三角形;選項(xiàng)C中，DA = CD

211500)尺規(guī)作圖不僅是一種畫(huà)圖操作，更是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)探究的一種過(guò)程以及知法明理的追溯．對(duì)于尺規(guī)作圖題，有意滲透逆推的方法，用目標(biāo)圖展開(kāi)探索，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀先預(yù)測(cè)，通過(guò)邏輯分析，再進(jìn)行畫(huà)圖操作．通過(guò)作圖幫助學(xué)生打通各個(gè)知識(shí)板塊之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展邏輯思維能力．從各地中考的現(xiàn)實(shí)情況來(lái)看，尺規(guī)作圖的要求已經(jīng)悄然發(fā)生變化，不再是對(duì)作圖技法操作單一的考查，而是把作圖與計(jì)算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動(dòng)鏈接，實(shí)現(xiàn)思維實(shí)驗(yàn)與動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的合拍，邏輯推理與合情推

錐曲線切線的諸多尺規(guī)作圖方法，讀之讓人受益匪淺，但方法過(guò)于繁瑣，適用性不強(qiáng)，本文試圖尋找一種作圓錐曲線切線的簡(jiǎn)單尺規(guī)作圖辦法.高中數(shù)學(xué)教材上有兩道非常相似的課后習(xí)題：“圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)（外）一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑（直線）OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？”兩道習(xí)題的第二個(gè)不同之處可統(tǒng)一成“直線OP”，對(duì)軌跡的產(chǎn)生沒(méi)有影響.最主要的差異是：“A是圓O內(nèi)或外的一個(gè)定點(diǎn)”，當(dāng)A是圓O內(nèi)的

402160)尺規(guī)作圖指用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖，起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題。只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來(lái)解決不同的平面幾何作圖題。在人教版七年級(jí)下冊(cè)第五章相交線與平行線第二節(jié)中，得到了一個(gè)基本事實(shí)，即平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。可是教材中已把這部分的尺規(guī)作圖簡(jiǎn)化了，部分教師是用三步法畫(huà)平行線，一放，二移，三畫(huà)。但這個(gè)平行公理的尺規(guī)作圖又該怎么畫(huà)呢？有沒(méi)有巧妙的方法呢？下面作者聚焦了幾種以幾何原型為參照的平行公理的

為了了解中考對(duì)“尺規(guī)作圖”的考查情況。本次調(diào)查采用點(diǎn)面結(jié)合的調(diào)查方式。既對(duì)全國(guó)進(jìn)行面上的數(shù)量統(tǒng)計(jì)。又以江蘇省為例對(duì)省內(nèi)各大市進(jìn)行點(diǎn)上的調(diào)查。同時(shí)。本次分析采用定量與定性相結(jié)合的分析方法。從考題數(shù)量來(lái)看，2016年僅有22題，占比極低;2017年題量較2016年相比翻了一番;2017-2019年尺規(guī)作圖題在全國(guó)中考所占比重呈逐年上升趨勢(shì)。其中2018年和2019年相對(duì)穩(wěn)定。表2是江蘇省近三年十三大市在尺規(guī)作圖方面考查的情況。從表2可知。江蘇省各市對(duì)尺規(guī)作圖題

的題目涉及基本的尺規(guī)作圖，每看到作圖出錯(cuò)的試卷都引發(fā)筆者思考：這個(gè)學(xué)生是怎么作的圖？為什么他這樣做？近幾年，廣東省中考試卷中每年都有涉及到尺規(guī)作圖的題，盡管都是分值為2～3分的基本作圖，但是作為唯一一個(gè)可以考查學(xué)生的動(dòng)手能力的知識(shí)點(diǎn)，尺規(guī)作圖在數(shù)學(xué)教學(xué)中、在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上，絕不僅僅是“2～3分”的地位.接下來(lái)，筆者試圖從中考答卷上尋找學(xué)生可能出現(xiàn)的實(shí)質(zhì)問(wèn)題，并通過(guò)明晰尺規(guī)作圖的要求，結(jié)合實(shí)例對(duì)尺規(guī)作圖的教學(xué)提出自己的建議.一、試題再現(xiàn)與答題分析1.

：本文從初中幾何尺規(guī)作圖的角度去再挖掘它“形”的一面，使學(xué)生從“形”到“數(shù)”的角度全面認(rèn)識(shí)“阿波羅尼斯圓”。關(guān)鍵詞：阿波羅尼斯圓;尺規(guī);作圖參考文獻(xiàn)：[1]周永興.從江蘇08年的高考13題的解法看“阿波羅尼斯圓”的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（5）.[2]賀基軍.三角形與其內(nèi)接三角形相似的條件[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（10）.作者簡(jiǎn)介：孔祥明，江蘇省南京市，南京市金陵匯淳學(xué)校。

度的直尺和圓規(guī)（尺規(guī)作圖）作出幾種正多邊形.大家知道復(fù)雜的尺規(guī)作圖都是由一些基本作圖構(gòu)成的，我們先一起探討正四邊形（正方形）的尺規(guī)作圖的方法.正方形該如何尺規(guī)作圖呢？如圖1所示，畫(huà)圓O，作半徑OA，以A為圓心，OA為半徑畫(huà)圓，交于B，C兩點(diǎn)，連結(jié)OA與BC交于點(diǎn)D，以D為圓心，OD為半徑畫(huà)圓交BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則四邊形OFAE為正方形，證明也較容易.從上面的過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)正方形的尺規(guī)作圖還是比較容易的，但有關(guān)正五邊形的尺規(guī)作圖人們經(jīng)歷了一.段探索過(guò)程.下面我

度的直尺和圓規(guī)（尺規(guī)作圖）作出幾種正多邊形.大家知道復(fù)雜的尺規(guī)作圖都是由一些基本作圖構(gòu)成的，我們先一起探討正四邊形（正方形）的尺規(guī)作圖的方法.正方形該如何尺規(guī)作圖呢？如圖1所示，畫(huà)圓○，作半徑OA，以A為同心，OA為半徑畫(huà)圓，交于B，C兩點(diǎn)，連結(jié)OA與BC交于點(diǎn)D，以D為圓心，OD為半徑畫(huà)圓交BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則四邊形OFAE為正方形，證明也較容易，從上面的過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)正方形的尺規(guī)作圖還是比較容易的，但有關(guān)正五邊形的尺規(guī)作圖人們經(jīng)歷了一段探索過(guò)程.下面我們

度的直尺和圓規(guī)（尺規(guī)作圖）作出幾種正多邊形．大家知道復(fù)雜的尺規(guī)作圖都是由一些基本作圖構(gòu)成的，我們先一起探討正四邊形（正方形）的尺規(guī)作圖的方法．圖1正方形該如何尺規(guī)作圖呢？如圖1所示，畫(huà)圓O，作半徑OA，以A為圓心，OA為半徑畫(huà)圓，交于B，C兩點(diǎn)，連結(jié)OA與BC交于點(diǎn)D，以D為圓心，OD為半徑畫(huà)圓交BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則四邊形OFAE為正方形，證明也較容易．從上面的過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)正方形的尺規(guī)作圖還是比較容易的，但有關(guān)正五邊形的尺規(guī)作圖人們經(jīng)歷了一段探索過(guò)程．下面

筆者的“任意角的尺規(guī)等分”已發(fā)表在國(guó)際國(guó)內(nèi)有名的期刊《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》的2018第3期上，該文的發(fā)表意味著尺規(guī)作圖領(lǐng)域又有了新的進(jìn)展，這與早期審閱過(guò)此稿的數(shù)學(xué)前輩的期待相一致.現(xiàn)在我們手里頭有了這新進(jìn)展下的成果作為武器，想要破解以上課題就成了非常容易的事：1.做出行將被n等分的已知圓及其半徑大于（或小于）已知圓的同心圓.并取該同心圓周的 1 6 當(dāng)作輔助弧.2.按“任意角的尺規(guī)等分”中的步驟，一步一步地將輔助弧分成n等分，并標(biāo)明其中兩個(gè)連續(xù)等分點(diǎn)的位置.3

實(shí)驗(yàn)中學(xué) 謝俊峰尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題。歷史上最先明確提出尺規(guī)限制的是希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家伊諾皮迪斯。由于對(duì)尺規(guī)作圖的限制，使得一些貌似簡(jiǎn)單的幾何作圖問(wèn)題無(wú)法解決。最著名的是古希臘最有影響力的四大數(shù)學(xué)學(xué)派之一——巧辨學(xué)派提出的三大著名尺規(guī)作圖問(wèn)題：倍立方問(wèn)題、化圓為方問(wèn)題、三等分角，當(dāng)然，這三個(gè)問(wèn)題都已被證明不可能用尺規(guī)作圖來(lái)解決。尺規(guī)作圖中有許多有趣的問(wèn)題，其中作正多邊形就是其中一種。大家認(rèn)為這是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但在操作中我們知道，正四邊形、正

謝俊峰尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題。歷史上最先明確提出尺規(guī)限制的是希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家伊諾皮迪斯。由于對(duì)尺規(guī)作圖的限制，使得一些貌似簡(jiǎn)單的幾何作圖問(wèn)題無(wú)法解決。最著名的是古希臘最有影響力的四大數(shù)學(xué)學(xué)派之——巧辨學(xué)派提出的三大著名尺規(guī)作圖問(wèn)題：倍立方問(wèn)題、化圓為方問(wèn)題、三等分角，當(dāng)然，這三個(gè)問(wèn)題都已被證明不可能用尺規(guī)作圖來(lái)解決。尺規(guī)作圖中有許多有趣的問(wèn)題，其中作正多邊形就是其中一種。大家認(rèn)為這是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但在操作中我們知道，正四邊形、正五邊形、正六

構(gòu)造簡(jiǎn)單無(wú)理數(shù)的尺規(guī)作圖，能用尺規(guī)作圖找到線段的黃金分割點(diǎn)，了解尺規(guī)作圖在設(shè)計(jì)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。在過(guò)程與方法方面，通過(guò)在尺規(guī)作圖的過(guò)程中，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)用手能力和邏輯分析能力，培養(yǎng)設(shè)計(jì)美感。在情感與態(tài)度目標(biāo)方面：使學(xué)生在積極參與探索、交流、分析、實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)在于尺規(guī)作圖找線段的黃金分割點(diǎn)，圖形的設(shè)計(jì)。而教學(xué)難點(diǎn)在于尺規(guī)作圖找線段的黃金分割點(diǎn)。本節(jié)課的設(shè)置選擇了“發(fā)現(xiàn)-探究-創(chuàng)新”的教學(xué)模式，以問(wèn)題串

[摘 要] 結(jié)合尺規(guī)作圖的幾何綜合題是初中的重點(diǎn)題型，是以操作探究的形式，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力為命題出發(fā)點(diǎn). 對(duì)于該類(lèi)題型需要充分理解題干的信息，然后利用尺規(guī)準(zhǔn)確作圖，同時(shí)關(guān)注該過(guò)程的幾何性質(zhì)，并將其轉(zhuǎn)化為后續(xù)的解題條件.[關(guān)鍵詞] 操作；尺規(guī)；幾何；性質(zhì)；提?。凰枷胍詫W(xué)生熟悉的四邊形或三角形為背景，結(jié)合實(shí)踐操作的幾何綜合題在近幾年中考和結(jié)業(yè)考試中出現(xiàn)的頻次很多，該題型起點(diǎn)低、操作性強(qiáng)，具有層次性和多樣性，對(duì)于學(xué)生的動(dòng)手操作和層次分析具有很好的考查作用，也是對(duì)

學(xué)中，人們不能用尺規(guī)作圖的方法畫(huà)出一個(gè)1°的角來(lái)，這似乎成了常理，但如果能用非尋常的手段來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，則很多與此有關(guān)的問(wèn)題都將迎刃而解.本文敘述了整數(shù)度角的尺規(guī)作圖，過(guò)去在平面上無(wú)法解決的尺規(guī)作圖問(wèn)題，也許大都可以從多一個(gè)維度的探索里得到解決.【關(guān)鍵詞】整數(shù)度角；尺規(guī)；作圖在平面幾何學(xué)中，人們不能用尺規(guī)作圖的方法畫(huà)出一個(gè)1°的角來(lái)，這似乎成了常理，但如果能用非尋常的手段來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，則很多與此有關(guān)的問(wèn)題都將迎刃而解，因此，對(duì)這個(gè)方向的探索有一定意義.為

中學(xué) 單凈璇深究尺規(guī)作圖，“牽出”全等三角形 ——全等三角形（第1課時(shí)）教學(xué)與思考☉江蘇蘇州市高新區(qū)第一中學(xué) 單凈璇全等三角形起始課是很多教研活動(dòng)中的熱點(diǎn)課題，因?yàn)檫@個(gè)課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容只需要關(guān)聯(lián)少量的三角形概念和內(nèi)角和，相對(duì)獨(dú)立，不受教學(xué)進(jìn)度太大影響，成為各級(jí)教研活動(dòng)經(jīng)常選用的比賽課時(shí).然而這個(gè)課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容在各級(jí)教材上多是較為簡(jiǎn)單的全等圖形、全等三角形的概念，簡(jiǎn)單識(shí)別全等三角形后找找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角等訓(xùn)練，對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這節(jié)課有些消耗時(shí)間，硬把學(xué)生留在原地

6001)師范生尺規(guī)作圖素養(yǎng)調(diào)查研究*李 寶(四川民族學(xué)院 數(shù)學(xué)系，四川 康定 626001)尺規(guī)作圖技能是每位中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備的重要師范技能．本研究以調(diào)查研究的方式，分析師范生尺規(guī)作圖素養(yǎng)存在的問(wèn)題及產(chǎn)生問(wèn)題的原因，就提高師范生的尺規(guī)作圖素養(yǎng)提出合理化建議．師范生；尺規(guī)作圖；素養(yǎng)；師范技能尺規(guī)作圖是“全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(試驗(yàn)稿)”(下文簡(jiǎn)稱(chēng)“課標(biāo)2001”)和“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)”(下文簡(jiǎn)稱(chēng)“課標(biāo)2011”)要求學(xué)生掌握的“基

體不能有限次使用尺規(guī)作出。1895年克萊因給出三大問(wèn)題有限次使用尺規(guī)作圖不可能的簡(jiǎn)單而清晰的證明。阿基米德在幾何學(xué)上的造詣是很深的，從他的著作里可以看到他對(duì)三等分角問(wèn)題的研究，他先采用在直尺上標(biāo)注一個(gè)點(diǎn)的方法，然后把一個(gè)角三等分。顯然，這一方法取消了直尺上無(wú)刻度的限制。此外，喜庇亞斯借助于割圓曲線、尼科曼得斯借助于蚌線、巴普士借助于雙曲線、帕斯卡借助于蚶線解決了三等分角的問(wèn)題。但所有這些曲線都不能僅用尺規(guī)來(lái)完成。綜上所述，尺規(guī)作圖三等分任意角尚無(wú)先例。本人