蔡勇全

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|（x-1）（x-5）<0}，B={x|log2x≤2}，則A∩B=（）.

A.{x|0

C.{x|1

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z和2i2-i表示的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，則復(fù)數(shù)z=（ ）.

A.25+45iB.25-45i

C.-25+45i

D.-25-45i

3.下列說法正確的是（ ）.

A.“f（0）=0”是“函數(shù)f（x）是奇函數(shù)”的充要條件

B.若p：x0∈R，x20-x0-1>0，則┐p：x∈R，x2-x-1<0

C.若p∧q為假命題，則p，q均為假命題

D.“若α=π6，則sinα=12”的否命題是“若

α≠π6，則sinα≠12”

4.在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制作成如圖1所示的人體脂肪含量與年齡關(guān)系的散點(diǎn)圖.根據(jù)該圖，下列結(jié)論正確的是（ ）.

圖1

A.人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%

B.人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%

C.人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%

D.人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%

圖2

5.如圖2所示，A，B兩點(diǎn)分別在河的兩岸，測量人員在點(diǎn)A所在的河岸邊另選定一點(diǎn)C，測得AC=50米，∠ACB=45°，∠CAB=105°，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為（ ）.

A.503米B.253米C.252米D.502米

6.在用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）.

A.24B.36C.48D.72

7.若x，y滿足約束條件x+y≥1，x-y≥-1，2x-y≤2，目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)（1，0）處取得最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）.

A.（-4，2）

B.（-4，1）

C.（-∞，-4）∪（2，+∞）

D.（-∞，-4）∪（1，+∞）

圖3

8.已知實(shí)數(shù)x∈[1，10]，執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，則輸出x的值不小于55的概率為（ ）.

A.19B.29

C.49D.59

9.設(shè)P是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，△PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2相切于點(diǎn)M，則F1M·MF2=（ ）.

A.a2B.b2C.a2+b2D.12b2

10.已知函數(shù)f（x）=ex+mex+1，若對a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）為某一個(gè)

三角形的邊長，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）.

A.[12，1]B.[0，1]

C.[1，2]D.[12，2]

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.

11.（x-1x）6的展開式的中間一項(xiàng)是 .

12.在Rt△ABC中，C=π2， B=π6，CA=1，則|2AC-AB|= .

13.如圖4所示的網(wǎng)格是邊長為1的小正方形，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則該多面體的體積為 .

圖4

14.已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2x上，則該三角形的面積是 .

15.設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[π]=3，[-2.3]=-3.給出下列命題：

①對任意實(shí)數(shù)x，都有x-1<[x]≤x；

②對任意實(shí)數(shù)x，y，都有[x+y]≤[x]+[y]；

③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90；

④若函數(shù)f（x）=[x·[x]]，當(dāng)x∈[0，n）（n∈N*）時(shí)，令f（x）的值域?yàn)锳，記集合A的元素個(gè)數(shù)為an，則an+49n的最小值為192.

其中所有真命題的序號是 .

三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分12分）設(shè)平面向量m=（cos2x2，3sinx），n=（2，1），函數(shù)f（x）=m·n.

（Ⅰ）當(dāng)x∈[-π3，π2]時(shí)，求函數(shù)f（x）的取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)f（α）=135，且-2π3<α<π6時(shí)，求sin（2α+π3）的值.

17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=32an+n-3.

（Ⅰ）求證：數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）令cn=log3（a1-1）+log3（a2-1）+…+log3（an-1），對任意n∈N*，是否存在正整數(shù)m，使1c1+1c2+…+1cn≥m3都成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

18.（本小題滿分12分）某學(xué)校為了選拔學(xué)生參加“XX市中學(xué)生知識競賽”，先在本校進(jìn)行選拔測試（滿分150分），若該校有100名學(xué)生參加選拔測試，并根據(jù)選拔測試成績作出如圖5所示的頻率分布直方圖.

圖5

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估算這100名學(xué)生參加選拔測試的平均成績；

（Ⅱ）若通過學(xué)校選拔測試的學(xué)生將代表學(xué)校參加市知識競賽，知識競賽分為初賽和復(fù)賽，初賽中每人最多有5次答題機(jī)會，累計(jì)答對3題或答錯(cuò)3題即終止，答對3題者方可參加復(fù)賽.假設(shè)參賽者甲答對每一個(gè)題的概率都是23，求甲在初賽中答題個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.（本小題滿分12分）如圖6所示，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=12CD，M是線段AE上的動點(diǎn).

圖6圖7（Ⅰ）試確定點(diǎn)M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.

20.（本小題滿分13分）如圖7所示，已知圓E：（x+3）2+y2=16，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是圓E上任意一點(diǎn).線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于點(diǎn)Q.

（Ⅰ）求動點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；

（Ⅱ）已知A，B，C是軌跡Γ的三個(gè)動點(diǎn)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，且|CA|=|CB|，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f（x）=ex-ax-1（a∈R）.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）-xlnx在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)？若存在，請指出有幾個(gè)零點(diǎn)；若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）若g（x）=ln（ex-1）-lnx，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，不等

式f（g（x））

參考答案

一、CADBDBACBD

二、11.-2012.213.16

14.12315.①④

三、解答題

16. 解（Ⅰ） f（x）=（cos2x2，3sinx）·（2，1）=2cos2x2+3sinx=cosx+3sinx+1=2sin（x+π6）+1.當(dāng)x∈[-π3，π2]時(shí)，x+π6∈[-π6，2π3]，則有-12≤sin（x+π6）≤1，0≤2sin（x+π6）+1≤3，所以f（x）的取值范圍為[0，3].

（Ⅱ）由f（α）=2sin（α+π6）+1=135，得sin（α+π6）=45，因?yàn)?2π3<α<π6，所以-π2<α+π6<π3，得cos（α+π6）=35，因此有sin（2α+π3）=sin[2（α+π6）]=2sin（α+π6）cos（α+π6）=2×45×35=2425.

17. 解（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=32a1-2，解得a1=4，當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=32an+n-3得Sn-1=32an-1+n-4，兩式相減，得Sn-Sn-1=32an-32an-1+1，即an=3an-1-2（n≥2），則an-1=3（an-1-1），故數(shù)列{an-1}是以a1-1=3為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知an-1=3n，cn=log3（a1-1）+log3（a2-1）+…+log3（an-1）=1+2+…+n=n（n+1）2，所以1cn=2n（n+1）=2（1n-1n+1），則有1c1+1c2+…+1cn=2[（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）]=2（1-1n+1），由1c1+1c2+…+1cn≥m3對任意n∈N*都成立，得2（1-1n+1）≥m3，即m≤6（1-1n+1）對任意n∈N*都成立，又m∈N*，所以m的值為1，2，3.

18. 解（Ⅰ）設(shè)平均成績的估計(jì)值為X，則有X=（20×0.001+40×0.004+60×0.009+80×0.020+100×0.012+120×0.003+140×0.001）×20=80.4.

（Ⅱ）記甲在初賽中的答題個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ的可能值為3，4，5，且P（ξ=3）=（23）3+（1-23）3=13，

P（ξ=4）=C23×（23）2×（1-23）×23+C13×23×（1-23）2×（1-23）=1027，

P（ξ=5）=C24×（23）2×（1-23）2×23+C24×（1-23）2×（23）2

×（1-23）=827（或者P（ξ=5）=1-13-1027=827）.則ξ的分布列為

ξ345

P131027827

所以ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=3×13+4×1027+5×827=10727.

圖8

19. 解（Ⅰ）當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)，AC∥平面DMF.證明如下：

連接CE，交DF于N，連接MN，如圖8所示，由于M、N分別是AE、CE的中點(diǎn)，所以MN∥AC，由于MN平面DMF，又AC平面DMF，所以AC∥平面DMF.

圖9

（Ⅱ）方法一如圖9所示，過點(diǎn)D作平面DMF與平面ABCD的交線l，由于AC∥平面DMF，可知AC∥l，過點(diǎn)M作MG⊥AD于G，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD ，則平面ADE⊥平面ABCD，所以MG⊥平面ABCD，過G作GH⊥l于H，連接MH，則直線l⊥平面MGH ，所以l⊥MH，故∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角.設(shè)AB=2，則DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1×25=

25，MG=12DE=1，則MH=（25）2+12=35，所以cos∠MHG=GHMH=25÷35=23，即所求銳二面角的余弦值為23.

圖10

方法二因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE兩兩垂直，分別以DA，DC，DE 的方向?yàn)閤，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖10所示.設(shè)AB=2，則M（1，0，1），F(xiàn)（0，4，2），DM=（1，0，1），DF=（0，4，2），設(shè)平面MDF的法向量為n1=（x，y，z），則n1·DM=0，n1·DF=0，即x+z=0且4y+2z=0，令y=1，得平面MDF的一個(gè)法向量n1=（2，1，-2），取平面ABCD的法向量n2=（0，0，1），由

n1·n2=

|n1||n2|cos可以得到cos=23.

20. 解（Ⅰ）連接QF，根據(jù)題意，|QP|=

|QF|，則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|=23，故動點(diǎn)Q的軌跡Γ是以E、F為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓.設(shè)其方程

為x2a2+y2b2=1（a>b>0），可知a=2，c=a2-b2=3，則b=1，所以點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為x24+y2=1.

（Ⅱ）存在最小值.

（?。┊?dāng)AB為長軸（或短軸）時(shí)，可知點(diǎn)C就是橢圓上的上圖11、下頂點(diǎn)（或左、右頂點(diǎn)），則S△ABC=

12×|OC|×|AB|=ab=2.

（ⅱ）方法一當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，如圖11，設(shè)斜率為k，則直線AB的方程為y=kx，設(shè)點(diǎn)A（xA，yA）聯(lián)立方

程組x24+y2=1，y=kx消去y得x2A=41+4k2，y2A=4k21+4k2.

由|CA|=|CB|，知△ABC是等腰三角形，O為AB的中點(diǎn)，則OC⊥AB，可知直線OC的方程為y=-1kx，同理可得點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足x2C=4k2k2+4，y2C=4k2+4，則|OA|2=41+4k2+4k21+4k2=4（1+k2）1+4k2，|OC|2=4k2k2+4+4k2+4=4（1+k2）k2+4.S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=4（1+k2）1+4k2×4（1+k2）k2+4=4（1+k2）（1+4k2）（k2+4）.

由于（1+4k2）（k2+4）≤（1+4k2）+（k2+4）2≤5（1+k2）2，所以S△ABC=2S△OAC≥4（1+k2）5（1+k2）2=85

，當(dāng)且僅當(dāng)1+4k2=k2+4，即k2=1時(shí)取等號.

綜合（?。?、（ⅱ）可知，當(dāng)k2=1時(shí)，△ABC的面積取得最小

值85，此時(shí)x2C=4k2k2+4=45，y2C=4k2+4=45，即xC=±255，yC=±255，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（255，255），（255，-255），（-255，255），

（-255，-255）.

方法二前同（?。?，對于（ⅱ），記t=1+k2，則t≥1，所以0<1t≤1，故S△ABC=

4t2（4t-3）（t+3）=41-9t2+9t+4=41-9（1t-12）2+254，當(dāng)1t=12，即k2=1時(shí)， -9（1t-12）2+254有最大值

254，此時(shí)S△ABC取得最小值85.

綜合（?。ⅲáⅲ┛芍?，當(dāng)k2=1時(shí)，△ABC的面積取得最小

值85，此時(shí)x2C=4k2k2+4=45，y2C=4k2+4=45，即xC=±255，yC=±255，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（255，255），（255，-255），（-255，255），（-255，-255）.

方法三設(shè)A（x0，y0），C（x1，y1），因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以B（-x0，-y0），|AB|=2x20+y20，由|CA|=|CB|，知△ABC是等腰三角形，O為AB的中點(diǎn)，則OC⊥AB，kAB=

y0x0，kOC=y1x1.因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以x214+y21=1，又因?yàn)閥0x0·y1x1=-1，故聯(lián)立這兩個(gè)式子解得x21=4y204x20+y20，y21=4x204x20+y20，所以|OC|=2x20+y204x20+y20，S△ABC=12|OC|·|AB|=

2（x20+y20）4x20+y20，又x204+y20=1，即x20=4-4y20，所以S△ABC=8-6y2016-15y20，記t=16-15y20，t∈[1，4]， y20=1615-t215，

則S△ABC=85t+2t5≥285t×2t5=85，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即y0=±255

時(shí)等號成立，因此y0=±255時(shí)，S△ABC取得最小值85，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（255，255），（255，-255），（-255，255），（-255，-255）.

21. 解（Ⅰ）由f（x）=ex-ax-1可得f ′（x）=ex-a.當(dāng)a≤0時(shí)，對任意x∈R，有f ′（x）>0，所以函數(shù)f （x）在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，由f ′（x）>0可得x>lna，由f ′（x）<0可得x

綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)減區(qū)間

為（-∞，lna）.

（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）-xlnx的定義域?yàn)椋?，+∞），由F（x）=0，得a=ex-1x-lnx（x>0），

令h（x）=ex-1x-lnx（x>0），則h′（x）=（ex-1）（x-1）x2，由于x>0，ex-1>0，可知當(dāng)x>1時(shí)，h′（x）>0；當(dāng)00，有f（x）>f（lna）=0，即ex-1>xex-1x>1.隨著x>0的增長，y=ex-1的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=x的增長速度，而y=lnx的增長速度則會越來越慢，當(dāng)x>0且無限接近于0，h（x）趨向于正無窮大.當(dāng)a>e-1時(shí)，函數(shù)F（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)a=e-1時(shí)，函數(shù)F（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a

（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)x>0時(shí)，ex-1>x，故對任意x>0，g（x）>0.先用分析法證明這樣一個(gè)事實(shí)：對任意x>0，

g（x）0，g（x）0，ex-1x

意x>0，xex-ex+1>0，構(gòu)造函數(shù)H（x）=xex-ex+1（x>0），則H′（x）=xex>0，故函數(shù)H（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以H（x）>H（0）=0，則對任意x>0，xex-ex+1>0成立.當(dāng)a≤1時(shí)，由（Ⅰ）知，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則f（g（x））1時(shí)，由（Ⅰ）知，f（x）在區(qū)間（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，lna）上單調(diào)遞減，故當(dāng)0f（x），則不滿足題意.綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1].

（收稿日期：2014-08-22）