王克政

[摘要]二元函數的最值問題歷來是高考的熱點和難點.以例解的形式研究一類二元函數最值問題的解法，給出若干思路及方法，可為解一般的二元函數最值問題奠定基礎，服務于解題數學研究.

[關鍵詞]二元函數最值解題方法數學研究

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2015）020054

最值問題是高中數學最常見的問題之一.最值問題類型繁多，解題方法多樣，特別是一元函數中，有很多問題都涉及最值問題，比如，函數的值域、范圍、恒成立等問題都是最值問題.二元函數的最值問題也不少見，只是在試題中很少使用“二元函數”這個名稱而已，比如，z=2x+y，c=ab，m=a2+b2，d=y-2x+1等都是二元函數.二元函數的最值問題經常涉及函數、不等式、線性規(guī)劃、向量、解析幾何等知識.筆者從教十幾年，積累了一些教學經驗，現(xiàn)對二元函數的最值問題總結如下.

一、轉化為一元函數求解

【例1】已知點（x，y）在橢圓x24+y23=1上，求f（x，y）=x2+43y+1的最大值.

解：由x24+y23=1，得x2=4-43y2.

所以f（x，y）=x2+43y+1=4-43y2+43y+1=-43y2+43y+5=-43（y-12）2+163.

因為-3≤y≤3，所以f（x，y）≤163.

點評：對于求二元函數的最值的問題，可以先將二元函數轉化為一元函數，如果是基本初等函數，可直接利用函數的圖像和性質解決；如果不是基本初等函數，而是一個比較復雜的函數，可以根據函數的性質，借助導數研究函數的單調性，從而確定函數的最值.

二、利用三角換元求解

【例2】若x2+y2=1，求3x+2y的最值.

解：由于x2+y2=1，令x=cosθ，y=sinθ，則z=3cosθ+2sinθ=13sin（θ+φ）.

所以13≤z≤13.

點評：三角換元實際上是消元的過程，是二元函數轉化為一元函數的另一種手段，它是利用x2+y2=1和cos2θ+sin2θ=1在結構上的相似，從而聯(lián)想起換元的，換

=（5+22）a2.

圖5【例4】如圖5，在△PAB中，PB=4，PA=2，以AB為邊作正方形ABCD，使得P、D兩點落在直線AB的兩側.

（1）當∠APB=45°時，求PD的長；

（2）當∠APB為多大時，PD最大，并求最大值.

解：（1）如圖5，把△PAD繞點A順時針旋轉90°，得到△EAB，連接PE，

∴∠EAP=90°，EA=PA=2，

∴∠EPA=45°，

∴EP=PA2+EA2=2+2=2.

∵∠APB=45°，∴∠EPB=∠APB+∠EPA=90°，

∴EB=PE2+PB2=22+42=25，

∴PD=EB=25.

圖6（2）如圖6，當∠APB=135°時，PD最大.把△PAD繞A點順時針旋轉90°，得到△EAB，連接PE，

∴∠EAP=90°，EA=PA=2，

∴∠EPA=45°，∴E、P、B在同一直線上.

∴EP=PA2+EA2=2+2=2，

∴PD=EB=EP+PB=2+4=6.

圖7【例5】如圖7，在正方形ABCD中，AB=2，P為對角線BD上的任意一點，連接AP、CP，求AP+CP+BP的最大值與最小值.

解：當P在D點時，AP+CP+BP的值最大，值為4+22.

將△APB繞點B逆時針旋轉60°，得△A′P′B.

∴△APB≌△A′P′B，BP=BP′.

∵∠PBP′=60°，

∴△BP′B是等邊三角形，

∴P′P=BP，AP+CP+BP=A′P′+P′P+PC，

∴當A′、P′、P、C在同一直線上時，A′P′+P′P+PC最小.

∵A′E=1，BE=3，∴EC=2+3，

∴AP′+P′P+PC的最小值為12+（2+3）2=8+43.

（責任編輯鐘偉芳）