李佐紅

[摘要]三角函數(shù)的最值問題是函數(shù)最值問題的重要組成部分，它與三角函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、不等式等知識(shí)聯(lián)系在一起，有一定的綜合性.教師應(yīng)學(xué)會(huì)歸納總結(jié)三角函數(shù)最值問題的幾種類型與求解方法.

[關(guān)鍵詞]三角函數(shù)最值方法

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2015）020059

三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，其最值問題因注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)間的交叉、滲透，解法靈活多變，突出對(duì)思維的靈活性和嚴(yán)密性的考查，歷來都是高考中的常見題型.它往往與二次函數(shù)、三角函數(shù)的圖像、函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)聯(lián)系在一起，有著較強(qiáng)的綜合性.同求解其他函數(shù)的最值一樣，求解三角函數(shù)的最值問題一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性（如正、余弦的有界性等），另一方面還要注意將求解三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等）的最值問題.下面筆者介紹幾種常見的求三角函數(shù)最值的方法.

一、換元法

（1）形如y=asin2x+bsinx+c的最值問題，基本解法思路為：設(shè)t=sinx，原式化為二次函數(shù)y=at2+bt+c，可在區(qū)間[-1，1]上求y的最值.

（2）形如y=asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的最值問題，基本解法思路為：設(shè)t=sinx±cosx，原式化為二次函數(shù)y=a（t2-1）±2+bt+c，可在區(qū)間[-2，2]上求y的最值.（注：必須注意換元后新變量的取值范圍）

【例1】求函數(shù)y=-sin2x-2cosx+5的最值.

解析：本題可通過公式sin2x=1-cos2x，將函數(shù)表達(dá)式化為y=cos2x-2cosx+4，這是一個(gè)關(guān)于cosx的二次式，通過令cosx=t，得到y(tǒng)=t2-2t+4=（t-1）2+3.∵-1≤t≤1，∴當(dāng)t=1，即cosx=1時(shí)，ymin=3；t=-1時(shí)，即cosx=-1，ymax=7.

【例2】求函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值.

解析：∵（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx，

令sinx+cosx=t，

則sinxcosx=t2-12，∴y=t2-12+t，其中t∈[-2，2].

當(dāng)t=2時(shí)，sin（x+π4）=1，∴ymax=12+2.

二、輔助角法

形如y=asinx+bcosx+c的最值問題，基本解法思路為：引入輔助角φ，將原式化為y=a2+b2sin（x+φ）+c求解，其中，cosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2.

【例3】求函數(shù)f（x）=3cos2x+2sinxcosx-5sin2x+3的最值.

解析：此類問題為y=asin2x+bsinx·cosx+ccos2x的三角函數(shù)求最值問題，它可通過降次、化簡(jiǎn)整理為y=asinx+bcosx+c型求解.

f（x）=32（1+cos2x）+sin2x-52（1-cos2x）+3=sin2x+4cos2x+2=17sin（2x+φ）+2.

∴ymin=2-17，ymax=2+17.

三、利用三角函數(shù)的有界性

形如y=asinx+bccosx+d的最值問題.基本解法思路為：根據(jù)正、余弦函數(shù)的一個(gè)最基本的，也是最重要的特征——有界性，即可分析求最值.當(dāng)然，還可用不等式法或數(shù)形結(jié)合的方法求解.

【例4】求函數(shù)y=2-sinx2-cosx的值域.

解析：該題為y=asinx+bccosx+d型的三角函數(shù)求最值問題.原式可化為sinx-ycosx=2-2y，即sin（x-φ）=2-2y1+y2，∵|sin（x-φ）|≤1，∴-1≤2-2y1+y2≤1，解得4-73≤y≤4+73.

總之，求三角函數(shù)的最值時(shí)，均可以用代數(shù)中求最值的方法，以上幾種方法中，以配方法、輔助角法及利用三角函數(shù)的有界性解題最為常見.解決這類問題關(guān)鍵在于學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的靈活運(yùn)用及能抓住題目的關(guān)鍵和本質(zhì).

（責(zé)任編輯鐘偉芳）