張燕華

1.問題提出

直線l過點(diǎn)P（2，1），且分別交x軸、y軸的正半軸于點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)|PA|·|PB|取最小值時(shí)，求直線l的方程.

方法1 由題意可知，直線斜率存在且k<0，設(shè)l：y-1=k（x-2）（k<0），則A（2-1k，0），B（0，1-2k），∴|PA|·|PB|=1k2+1·4+4k2=2k2+1k2+2≥22+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)k2=1k2即k=-1時(shí)等號(hào)成立.所以直線l：x+y-3=0.此時(shí)OA=OB.

方法2 設(shè)直線的參數(shù)方程為x=2+tcosα

y=1+tsinα（t為參數(shù)，α為傾斜角，α∈（π2，π）），代入坐標(biāo)軸方程xy=0，（1+tsinα）·（2+tcosα）=0，

化簡(jiǎn)得：t2sinα·cosα+（2sinα+cosα）t+2=0.

設(shè)直線l上的點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別為t1，t2，

則|PA|·|PB|=|t1|·t2=2sinα·cosα=4sin2α≥4，此時(shí)α=3π4，即OA=OB.

2.問題歸結(jié)

分析 當(dāng)|PA|·|PB|取最小值時(shí)有OA=OB，這是一種偶然巧合還是一種必然的結(jié)果呢？答案是肯定的.因此有：

定理1 直線l過點(diǎn)P（x0，y0）（x0>0，y0>0），且分別交x軸、y軸的正半軸于點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)|PA|·|PB|取最小值時(shí)，有OA=OB.

定理1的證明與上述“問題提出”的證明相同，感興趣的讀者可試證一下.

3.問題推廣

定理2 已知∠M為定角，A，B分別在∠M的兩邊上，AB經(jīng)過定點(diǎn)P（P在∠AMB內(nèi)），當(dāng)|PA|·|PB|取最小值時(shí)，MA=MB.

證明 如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)∠M=β，則直線MB：y=x·tanβ.

設(shè)直線AB的參數(shù)方程為x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t為參數(shù)，α為傾斜角）.

設(shè)點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別為t1，t2，分別代入y=x·tanβ與y=0，得：t1=y0-x0·tanβtanβ·cosα-sinα，t2=-y0sinα.

則|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=y0-x0·tanβtanβ·cosα-sinα·y0sinα.

令u=（tanβ·cosα-sinα）·sinα=12（tanβsin2α+cos2α）-12

=12cosβ（sinβsin2α+cosβcos2α）-12=12cosβ·cos（β-2α）-12.

又因?yàn)?<β<α<π，

所以-2π<β-2α<0.

所以β-2α=-π，即α=π+β2.

此時(shí)∠MAB=∠MBA=π2-β2，即MA=MB.

4.問題變形

定理3 已知AB=a（a為定值），端點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，則當(dāng)OA=OB時(shí)，△OAB面積最大.

證明 設(shè)OA=x，OB=y，則x2+y2=a2.

又S=12x·y≤12·x2+y22=a24，當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時(shí)取得最大值.

定理4 已知∠M為定角，A，B分別在∠M的兩邊上，AB=a（a為定值），當(dāng)MA=MB時(shí)，△MAB面積最大.

證明 設(shè)∠M=α，MA=x，MB=y，則a2=x2+y2-2xycosα≥2xy-2xycosα，

∴xy≤a22（1-cosα），

S=12x·y≤12·a22（1-cosα）=a24（1-cosα），

當(dāng)且僅當(dāng)MA=MB時(shí)取得最大值.