鄭 丹，黃才政

(重慶交通大學(xué) 河海學(xué)院，重慶 400074)

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考慮砌體本構(gòu)關(guān)系的石拱橋極限承載力研究

鄭 丹，黃才政

(重慶交通大學(xué) 河海學(xué)院，重慶 400074)

考慮砌體材料受壓破壞本構(gòu)關(guān)系，通過分析截面偏心受壓的彎矩軸力關(guān)系，得出了拱橋破壞過程中截面偏心距的限制條件；通過非線性優(yōu)化的機(jī)構(gòu)分析法得出了石拱橋的極限承載力，并在此基礎(chǔ)上討論了砌體抗壓強(qiáng)度對石拱橋的極限承載力的影響。結(jié)果表明：砌體材料的抗壓強(qiáng)度較低時，石拱橋承載能力對材料強(qiáng)度較為敏感，且隨著石拱橋跨徑的增大，敏感性進(jìn)一步增大。

橋梁工程；石拱橋；砌體；偏心受壓；非線性優(yōu)化

0 引 言

由于具有取材方便、造價低廉、超載能力強(qiáng)等眾多的優(yōu)點(diǎn)，石拱橋廣泛應(yīng)用于我國公路建設(shè)中，特別在西南地區(qū)的中小型橋梁中占比極大。在對現(xiàn)有公路升級改造時，經(jīng)常需要對現(xiàn)存的大量石拱橋進(jìn)行綜合性能評估，以判斷其使用壽命或進(jìn)一步通過加固改造發(fā)揮其潛力[1]。但由于理論上尚存欠缺，在一些石拱橋設(shè)計(jì)、安全性評價方面僅是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷[2]。因此，如何采取科學(xué)、合理的理論和方法評估石拱橋的極限承載力就顯得尤為重要。

對于拱橋的極限承載力的研究，傳統(tǒng)的機(jī)構(gòu)分析方法[3]假定砌體材料抗壓強(qiáng)度無窮大并且無抗拉能力，當(dāng)拱內(nèi)產(chǎn)生足夠多的塑性鉸使其變成機(jī)動體系時，結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞。錢令希[4]將線性劃法應(yīng)用到石拱橋中，以拱圈最小厚度為目標(biāo)函數(shù), 提出了用拱圈實(shí)際厚度和最小厚度之比的拱厚安全度；陳榮剛等[5]以石拱圈極限偏心距的不超過4/9倍的拱圈厚度的經(jīng)驗(yàn)公式為約束條件，應(yīng)用極限平衡理論建立了石拱橋極限承載能力分析的模型。但這些研究均假設(shè)砌體的抗壓強(qiáng)度為無限大，這顯然不符合實(shí)際情況。實(shí)驗(yàn)表明石拱橋在破壞過程中，主拱圈會出現(xiàn)豎向裂紋，這表明確實(shí)存在砌體材料被壓碎的現(xiàn)象[6]；因此必須考慮砌體材料的受壓變形直至破壞的過程，才能正確評估石拱橋的極限承載能力。F.W.Smith等[7]考慮了砌體材料的有限強(qiáng)度，但得出的結(jié)論為定性分析，沒有定量計(jì)算砌體材料強(qiáng)度對拱橋承載力的影響；A.Orduna等[8]考慮砌塊間的變形協(xié)調(diào)，采用離散元的方法計(jì)算了砌體材料強(qiáng)度對拱橋極限承載力的影響，但沒有分析砌體強(qiáng)度影響拱橋承載力的物理機(jī)理。

筆者考慮砌體材料在受壓破壞過程中的本構(gòu)關(guān)系，分析偏心受壓截面的彎矩和軸力關(guān)系，從而得出拱橋截面偏心距在拱橋破壞過程中的限制條件，然后通過非線性優(yōu)化方法得出了石拱橋的極限承載力。并在此基礎(chǔ)上討論了砌體抗壓強(qiáng)度對拱橋的極限承載力的影響。

1 砌體偏心受壓截面分析

圖1為砌體的典型受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。圖1中：ε0為砌體峰值應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變，根據(jù)試驗(yàn)和研究結(jié)論，砌體等準(zhǔn)脆性材料內(nèi)部存在很多微裂縫，在加載過程中，其力學(xué)性能主要由其內(nèi)部微裂紋的損傷演化控制，從而體現(xiàn)出非線性的特征?？梢钥紤]將砌體受壓破壞的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系上升段用二次拋物線表示[9]：

(1)

式中：σ為應(yīng)力；σmax為最大應(yīng)力；ε為應(yīng)變。

圖1 砌體受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig.1 Relationship of masonry compression stress-strain

在分析砌體偏心受壓極限承載力時，假設(shè)截面變形符合平截面假定，即砌體內(nèi)應(yīng)變沿截面高度呈線性分布；并假設(shè)全截面受壓時，砌體不會被壓壞。(部分截面受壓時才可能被壓壞)。當(dāng)截面偏心受壓時，正截面遠(yuǎn)離偏心荷載的一側(cè)由受壓變?yōu)槭芾顺龉ぷ?假定砌體材料不承受拉應(yīng)力)，截面出現(xiàn)橫向裂縫，壓應(yīng)變呈直線分布，如圖2。

圖2 砌體偏心受壓示意Fig.2 Eccentrically loaded masonry

隨著裂縫深度的不斷增加，截面受壓面積不斷減小，當(dāng)靠近偏心荷載的截面邊緣達(dá)到最大應(yīng)變ε0時，截面進(jìn)入極限狀態(tài)。設(shè)截面受壓區(qū)高度為Y，以截面中性軸為坐標(biāo)原點(diǎn)，由平截面假定：

(2)

因忽略砌體材料的抗拉強(qiáng)度，并利用截面平衡條件，可以得到軸力N和對O點(diǎn)的彎矩M：

(3)

式中：b為主拱圈寬度。

聯(lián)立式(1)～式(3)，可求得極限狀態(tài)下偏心受壓砌體截面的軸力和彎矩分別為：

(4)

(5)

關(guān)于截面中心的彎矩為：

(6)

式中：h為主拱圈厚度。

將M用N表示，得

(7)

由式(4)、式(6)、式(7)可以得到中心彎矩Mc和軸力N的關(guān)系為：

(8)

因此當(dāng)砌體偏心受壓到達(dá)極限承載能力時，截面偏心距與軸力的關(guān)系為：

(9)

可以看出，當(dāng)截面受力達(dá)到極限狀態(tài)時，截面的偏心距和截面軸力大小直接相關(guān)，軸力越大，偏心距越小；反之亦然。

將式(4)帶入式(9)，可以得出截面偏心距和受壓區(qū)高度的關(guān)系為：

(10)

截面極限狀態(tài)下偏心距與受壓區(qū)高度關(guān)系如圖3。由圖3可看出，式(10)的計(jì)算值和已有砌體偏心受壓時的實(shí)測受壓區(qū)高度吻合得很好，這說明該模型較好地反映了砌體偏心受壓的特征。

圖3 截面極限狀態(tài)下偏心距與受壓區(qū)高度關(guān)系Fig.3 Relationship of eccentricity and effective height under the limited state of cross-section

2 石拱橋極限承載力研究

機(jī)構(gòu)法是一種極限狀態(tài)塑性分析法。分析拱橋承載力時，假定拱的破壞形態(tài)是4或5鉸機(jī)構(gòu)(對稱加載)。機(jī)構(gòu)法的思想是認(rèn)為拱橋在承受外力荷載下，在不超過單個截面的承載能力時，由于拱橋是超靜定結(jié)構(gòu)，拱橋可以調(diào)節(jié)自身各截面內(nèi)力使結(jié)構(gòu)達(dá)到其最大承載能力。取左端拱腳反力的三元素為參數(shù)，主拱圈各個截面的平衡方程則可以寫為：

Vn=∑(Pi+Wi)cosφn-V0cos(φ0-φn)-

H0sin(φ0-φn)

(11)

Hn=H0cos(φ0-φn)-∑(Pi+Wi)sinφn-

V0sin(φ0-φn)

(12)

Mn=-An-KBn+M0-H0(yncosφ0-xnsinφ0)+

V0(xncosφ0+ynsinφ0)

(13)

式中：An=∑Wi(Xn-Xwi)為恒載項(xiàng)；Bn=∑Pi(Xn-Xpi)為活載項(xiàng)；K為荷載系數(shù)；φ0和φn分別為拱角截面和拱橋計(jì)算截面與豎直方向的夾角，如圖4。

圖4 拱橋截面計(jì)算圖示Fig.4 Calculation schematic of masonry arch section

由于拱橋材料本身有著一定的承載能力，截面極限狀態(tài)時的軸力和彎矩應(yīng)滿足式(8)。拱橋承受荷載直至破壞的過程中，各個截面可以自動調(diào)整軸力和彎矩的關(guān)系使其承載能力最大。但無論如何調(diào)整，都不能超過拱橋材料自身的承載能力。由圖1可以看出，應(yīng)力隨著應(yīng)變的增加而增加，當(dāng)受壓截面處于極限狀態(tài)時，一定軸力所能帶來的彎矩是最大的。即石拱橋截面在受壓直至破壞的過程中，其軸力和彎矩關(guān)系至多只能達(dá)到式(8)的狀態(tài)，因此對于石拱橋的所有截面而言：

(14)

以往的分析認(rèn)為，截面承載面積不會無限接近于0，壓力線不能到達(dá)拱圈邊界，即截面的偏心距應(yīng)該小于h/2；通過式(14)可以看出，考慮砌體強(qiáng)度因素之后，偏心距的變化范圍變得更小。

由上述分析可知，石拱橋的極限承載能力計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為一個非線性優(yōu)化問題；該問題以拱腳支反力(軸力、剪力和彎矩)為設(shè)計(jì)變量，以式(11)～式(14)為優(yōu)化限制條件，以活載系數(shù)K的最大值為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。該問題可以通過非線性優(yōu)化軟件Lingo實(shí)現(xiàn)。

3 計(jì)算結(jié)果及討論

3.1 極限位置推力線計(jì)算結(jié)果

考慮一個簡單算例，拱橋拱軸線為圓弧，跨徑60 m，矢跨比1/6，主拱圈厚度1.2 m，橋面寬10 m。砌體密度2 000 kg/m3，活載F為間距為2 m的集中力，均為100 kN，砌體的抗壓強(qiáng)度為5 MPa?？梢岳梦闹蟹治龇椒ㄇ蟪龌钶dF沿主拱圈移動時拱橋的極限承載力。

利用優(yōu)化方法可以求出各個工況下的最大荷載系數(shù)K及對應(yīng)各個截面的內(nèi)力，進(jìn)而可以求出在石拱橋破壞時各個截面的偏心距。圖5表示當(dāng)活載分別作用于1/8，1/4，3/8主拱圈和拱頂時，各個截面的偏心距大小。

圖5 砌體破壞偏心距Fig.5 Eccentricity of masonry failure

圖6 石拱橋四鉸或五鉸示意破壞Fig.6 Failure of masonry arch sections (four or five hinges)

通過以上計(jì)算可以得出以下結(jié)論：

1)在拱橋承受外荷載直至破壞的過程中，拱橋的某些截面開裂，受力面積減小；并且這些截面發(fā)生受壓塑性變形，在這些截面形成塑性“鉸”，當(dāng)鉸的數(shù)目超過3個時，拱橋形成機(jī)構(gòu)從而破壞。拱橋的破壞可以看成四鉸或五鉸破壞(對稱加載)。

2)考慮砌體材料承載能力后，在達(dá)到石拱橋極限狀態(tài)時，60 m石拱橋的偏心距只有主拱圈高度的4/11(如圖6)，與傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)法的結(jié)論1/2或者4/9主拱圈高度相差較大。因此對于大跨徑石拱橋，如果采用傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)法的結(jié)論來判斷石拱橋某截面是否形成“鉸”，會過高的估計(jì)其變形和承載能力。

3)塑性鉸出現(xiàn)的位置并不是僅僅是1/4主拱圈、拱頂和拱腳，而是和荷載的作用位置有關(guān)。

3.2 砌體抗壓強(qiáng)度影響

為分析討論砌體抗壓強(qiáng)度對石拱橋極限承載能力的影響，筆者計(jì)算了不同活載作用位置下拱橋的極限承載能力，然后與傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)法(砌體抗壓強(qiáng)度為無窮大)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如圖7。

圖7 壓力作用位置和拱橋極限承載力關(guān)系Fig.7 Relationship of load position and masonry arch limit strength

當(dāng)考慮砌體材料有限承載能力后，石拱橋的極限承載能力比傳統(tǒng)方法有所降低，因此傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)法會過高的估計(jì)石拱橋的承載能力。

同時從圖8中可看出，在考慮砌體材料承載能力后，理論計(jì)算結(jié)果表明，最不利荷載位置并不是傳統(tǒng)方法認(rèn)為的1/4主拱圈處，而是更靠近拱頂截面。

圖8 砌體抗壓強(qiáng)度和拱橋極限承載力關(guān)系Fig.8 Relationship of material strength and masonry arch limit strength

為分析計(jì)算砌體抗壓強(qiáng)度對不同跨徑石拱橋極限承載力的影響，計(jì)算矢跨比為1/6，跨徑分別為60，30，20 m的石拱橋，其主拱圈厚度分別為1.2，0.6，0.3 m，寬度均為10 m，活載均作用于1/4跨處，距離為2 m的100 kN集中力。

從圖8可以看出，砌體抗壓強(qiáng)度越小，石拱橋的承載能力越低。這是因?yàn)閷Σ煌箟簭?qiáng)度的砌體，由于截面極限狀態(tài)下軸力和彎矩關(guān)系不同，因此截面偏心距的限制條件有所差別；砌體強(qiáng)度越小，極限狀態(tài)下承受同等軸力的截面受壓區(qū)高度就越大，偏心距就越小，石拱橋極限承載能力就越低。并且對于跨徑較大的石拱橋而言，由于其自重產(chǎn)生的恒載較大，自身軸力也較大，由式(8)和式(14)可知，拱橋截面偏心距的變化范圍較小，這時砌體抗壓強(qiáng)度的影響更大。

4 結(jié) 論

考慮砌體受壓的本構(gòu)關(guān)系，分析了砌體偏心受壓截面內(nèi)力之間的聯(lián)系，得出了砌石拱橋截面偏心距與受壓區(qū)高度的關(guān)系以及偏心距的限制條件。在此基礎(chǔ)上，利用非線性優(yōu)化的機(jī)構(gòu)分析法計(jì)算了石拱橋的極限承載力；并討論了砌體抗壓強(qiáng)度對石拱橋極限承載力的影響。利用筆者的分析方法，可以得出以下結(jié)論：

1)與以往文獻(xiàn)提及的方法相比，筆者考慮了砌體材料的本構(gòu)關(guān)系，更能反映石拱橋的受力特征及破壞機(jī)理。

2)砌體材料的抗壓強(qiáng)度對其承載能力有一定的影響，若材料抗壓強(qiáng)度較低，石拱橋的承載能力會顯著降低；大跨徑拱橋程度更加明顯。對于長期服役的石拱橋而言，砌體材料性能的劣化會加速拱橋結(jié)構(gòu)性能的破壞。

3)需要指出的是，筆者在研究中僅考慮了主拱圈的承載能力，而未計(jì)算拱上結(jié)構(gòu)和填土對石拱橋承載力的影響，準(zhǔn)確地分析材料對拱橋結(jié)構(gòu)的影響規(guī)律還需進(jìn)一步研究。

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Limit Strength of Masonry Arch Bridge Considering the Constitution of Masonry

Zheng Dan, Huang Caizheng

(School of River & Ocean Engineering, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, China)

The relationship of moment and axial load of eccentrically loaded masonry section were analyzed, considering constitution of masonry material under compression till failure. The limit strength of masonry arch was achieved by nonlinear optimization mechanism analysis. The influence of masonry strength on limit strength of masonry arch was also discussed. The results show that when the compressive strength of masonry materials is low, bridge bearing capacity on the material strength is relatively sensitive, and with the bridge span increasing, the sensitivity is further increased.

bridge engineering; masonry arch bridge; masonry; eccentrically compress; nonlinear optimization

10.3969/j.issn.1674-0696.2015.05.03

2014-09-28；

2014-11-23

交通運(yùn)輸部應(yīng)用基礎(chǔ)項(xiàng)目(2012319814210)；重慶市科委項(xiàng)目(cstc2012jjA1026)

鄭 丹(1979—)，男，重慶人，教授，博士，主要從事混凝土材料性能方面的研究。E-mail：zhengdan@cquc.edu.cn。

U441+.5;TU365

A

1674-0696(2015)05-014-04