活動與探究：平行四邊形中心對稱性的應(yīng)用

徐怡

平行四邊形（含矩形、菱形、正方形）是“中心對稱圖形”，平行四邊形（含矩形、菱形、正方形）的中心對稱性在學(xué)習與生活中有著廣泛的應(yīng)用，下面我們一起來探究平行四邊形（含矩形、菱形、正方形）的中心對稱性的簡單應(yīng)用.

活動1：如圖，?ABCD.

探究：

（1）畫一條直線，把?ABCD分成兩個形狀相同、面積相等的三角形.

這樣的直線能畫出_______條.

【分析】連接AC或BD即可.

（2）畫一條直線，把?ABCD分成形狀相同、面積相等的兩部分；

①這樣的直線能畫出_______條.

②這些直線都經(jīng)過_______的交點，即?ABCD的_______.

【分析】嘗試過對角線AC、BD的交點O畫直線.

（3）結(jié)論：過平行四邊形對稱中心的任意一條直線都能把平行四邊形分成形狀相同、面積相等的兩部分.

活動2：（1）如圖，在矩形ABCD中，AD>AB，O是對角線的交點，過點O的一條直線分別交BC、AD于點M、N.

求證：梯形ABMN的面積=梯形CDNM的面積.

【分析】證明：連接BD，在矩形ABCD中，

∵O是對角線的交點，

∴點O是矩形ABCD的對稱中心，

∴OB=OD，OM=ON，∠BOM=∠DON，

∴△BOM≌△DON，∴BM=DN.

又∵AD=BC，∴AN=CM.

又∵AB=CD，

∴梯形ABMN的面積===梯形CDNM的面積.

即：梯形ABMN的面積=梯形CDNM的面積.

（2）利用上述結(jié)論，請你完成下面操作：

如圖①，是一塊“L”型土地，現(xiàn)要將其平均分配給兩家農(nóng)戶栽種農(nóng)作物，應(yīng)該怎樣分配？畫出分配后的圖形.

圖① 圖②

【分析】思考“L”型圖形和矩形之間的聯(lián)系，將圖形進行適當?shù)摹案睢薄把a”，將“L”型圖形轉(zhuǎn)化成兩個矩形，分別確定其對稱中心O、P，將兩個對稱中心連接起來即可（如圖②）.

活動3：正方形土地ABCD，要在其上面修筑兩條筆直的小路（小路寬度不計），使小路把這塊土地分成形狀相同且面積相等的四部分，請你設(shè)計三種不同的修筑方案.

【分析】根據(jù)正方形的軸對稱性和中心對稱性，不難找出下面三種不同方案：

方案①中：對角線AC、BD將正方形ABCD分成形狀相同且面積相等的四個三角形：△AOB、△BOC、△COD、△DOA.

方案②中：直線EG、FH經(jīng)過對稱中心O且互相垂直.小正方形AEOH、BEOF、CGOF、DGOH形狀相同、面積相等.

方案③中：直線EG、FH經(jīng)過對稱中心O且AE=BF=CG=DH. 四邊形AEOH、BEOF、CGOF、DGOH形狀相同、面積相等.

在平行四邊形（含矩形、菱形、正方形）的學(xué)習過程中，要熟練掌握平行四邊形（含矩形、菱形、正方形）的性質(zhì)，充分利用其中心對稱性是解決這類問題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區(qū)外國語學(xué)校）