分式中的數學思想及方法

賈蕓蕓

數學思想是數學中的“軟件”，若能正確地把握它，并把它落實到學習和應用數學的活動中，就相當于找到了打開智慧之門的鑰匙，對開發(fā)智力，學會學習并形成正確的價值觀具有十分重要的作用. 分式一章中蘊藏了大量的數學思想方法，如數形結合思想、分類討論思想、化歸轉化思想、整體思想、類比思想、方程思想、辯證思想等；常用的方法有：分類法、類比法、待定系數法、消元法、配方法、換元法、圖像法、觀察法、驗證法、列表法、構造法、綜合法等. 下面就“分式”一章中所體現的數學思想方法作簡單回顧.

一、 類比思想

類比是指在不同的對象之間，根據它們某些方面的相似之處進行比較，通過聯想和預測推出在其他方面也可以相似，從而去建立猜想和發(fā)現規(guī)律的方法. 通過類比可以發(fā)現新舊知識的異同點，利用已有知識來研究新知識. 分式這一章中，類比思想一直貫穿始終，分式的概念，分式的基本性質，分式的通分、約分、最簡分式，分式加減、乘除、乘方運算及混合運算，都是直接通過與分數類比，通過實例，觀察異同點，總結歸納出來的. 分式方程的解法及應用也可以類比一元一次方程.

二、 轉化思想

轉化是一種重要的數學思想，應用非常廣泛. 轉化思想是將陌生的或不易解決的問題，設法通過某種手段轉化為我們熟悉的或已經解決的或易于解決的問題，從而使原問題獲得解決的一種思想方法. 這樣不但有利于培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，同時也降低了對新知識理解的難度，一舉多得.

本章很多地方都體現了轉化思想. 如異分母分式加減法轉化為同分母分式的加減法；分式除法轉化為分式乘法；分式方程轉化為整式方程.

1. 分式有無意義或分式值為零時的轉化

例1 （1）（2014·廣西賀州）分式有意義，則x的取值范圍是_______.

（2）（2014·畢節(jié)）若分式的值為零，則x的值為_______.

（3）（2013·欽州）當x=_______時，分式無意義.

【分析】這三道題是將有關分式問題轉化成方程的問題來解決. 第（1）題，如果分式有意義，則分母不為零，可先列方程x-1=0，解得x=1，所以當x≠1時分式有意義；第（2）題當分式的值為0時，則分子等于0且分母不等于0，解得x=-1. 所以當x=-1時的值為0；第（3）題，當分式無意義時，則分母為0，即x-2=0，解得x=2.

2. 異分母分式加減時的轉化

例2 （2014·廣西玉林）先化簡，再求值：-，其中x=-1.

【分析】異分母分式相加減時，通過通分轉化成同分母分式再進行加減.

解：原式=-==，當x=-1時，原式==.

3. 分式的除法的轉化

例3 （2014·江蘇揚州）化簡：-÷.

【分析】分式除以分式時，把除式的分子分母顛倒位置后，與被除式相乘，從而轉化為分式的乘法.

解：原式=-·=-=.

4. 分式方程的轉化

例4 （2014·山東聊城）解方程：+=-1.

【分析】解分式方程的基本思想是轉化，即把分式方程的分母去掉，使分式方程轉化成整式方程，就可用解整式方程的方法來求解，所以在學習過程中要樹立“轉化”的數學思想. 解分式方程一定要注意驗根. 分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解.

解：去分母得：-（x+2）2+16=4-x2 （這一步就是轉化思想的具體應用），

去括號得：-x2-4x-4+16=4-x2，

解得：x=2，

經檢驗x=2是增根，原方程無解.

三、 數學方法和數學建模思想

本章的數學方法有分解因式、通分、約分、去分母等等. 在運用數學知識解決實際問題時，首先要構建一個簡單的數學模型，然后通過數學模型去解決實際問題. 分式方程就是一個重要的模型. 經歷“實際問題——分式方程模型——求解——解釋解的合理性”的數學化過程，體會分式方程的建模思想，對培養(yǎng)利用方程模型解決實際問題具有重要意義.

例5 （2014·云南）“母親節(jié)”前夕，某商店根據市場調查，用3 000元購進第一批盒裝花，上市后很快售完，接著又用5 000元購進第二批這種盒裝花. 已知第二批所購花的盒數是第一批所購花盒數的2倍，且每盒花的進價比第一批的進價少5元. 求第一批盒裝花每盒的進價是多少元？

【分析】設第一批盒裝花的進價是x元/盒，則第一批進的數量是，第二批進的數量是，再根據等量關系“第二批進的數量=第一批進的數量×2”可得方程.

解：設第一批盒裝花的進價是x元/盒，則

2×=，解得x=30.

經檢驗，x=30是原方程的根.

答：第一批盒裝花每盒的進價是30元.

【點評】本題考查了分式方程的應用. 注意，分式方程需要驗根，這是易錯的地方.

四、 整體思想

整體思想就是對問題一一求解比較困難時，把注意力和著眼點放在要解決的問題的整體結構上，認真分析題意，從全局出發(fā)，通過研究問題的整體形式、整體結構或作整體處理，使問題得到簡潔巧妙解答的一種方法.

例6 （2014·江蘇泰州）先化簡，再求值：

1-÷-，其中x滿足x2-x-1=0.

【分析】化簡原式可以得到，要求的值，則要求出x的值，可現階段又沒有學過如何解這個方程，那怎么辦呢？聯想整體思想，看看條件，易得x2=x+1，即將x+1看作一個整體，代入求值即可.

解：原式=·-

=·-

=x-=.

∵x2-x-1=0，∴x2=x+1，則原式=1.

例7 （2014·山東濟寧）已知x+y=xy，求代數式+-（1-x）（1-y）的值.

【分析】考點：分式的化簡求值. 首先將所求代數式展開化簡，然后整體代入即可求值.

解：∵x+y=xy，

∴+-（1-x）（1-y）=-（1-x-y+xy）=-1+x+y-xy=1-1+0=0.

【點評】在思考數學問題時，不能只著眼于它的局部特征，而整體思想是把聯系緊密的幾個量作為一個整體來進行運算的數學思想，運用這種思想可以將復雜問題簡單化，達到簡捷解題、出奇制勝的效果. 一般地，運用整體思想的方法有整體代換、整體設元、整體變形、整體補形、整體配湊和整體構造等.

五、 分類討論思想

分類討論思想是在對一個復雜問題出現的情況進行全面分析思考的基礎上，將其轉化為幾個簡單的子問題，進而在既不重復也不遺漏的情況下處理和解決問題的思想方法.

例8 若分式的值為負數，試確定x的取值范圍.

【分析】分式的值為負數，即分式的分子2-x與分母1+x的符號相反.

解：∵<0，∴分子2-x與分母1+x的符號相反，即2-x>0，

1+x<0或2-x<0，

1+x>0.

解得x<2，

x<-1或x>2，

x>-1. ∴x<-1或x>2，

【分析】對于不確定因素的問題，我們需要分類進行討論，本題中不能直接確定分子分母的符號，我們就應該分類討論，分類討論時要不重復也不遺漏.

數學思想方法是形成數學能力、數學意識的橋梁，是靈活運用數學知識、技能的關鍵. 只有掌握數學思想方法，才能真正領悟到數學的真諦，解題才能得心應手.

跟蹤練習

1. （2014·江蘇泰州）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），則代數式+的值等于_____.

2. （2014·四川涼山）先化簡，再求值：÷a

+2-，其中a2+3a-1=0.

3. （2014·新疆）解分式方程：+=1.

參考答案

1. -3.

2. 解：原式=÷=·=，當a2+3a-1=0，即a2+3a=1時，原式=.

3. 解：方程兩邊都乘（x+3）（x-3），得3+x（x+3）=x2-9，3+x2+3x=x2-9，3x=-12，解得x=-4.

檢驗：把x=-4代入（x+3）（x-3）≠0，

∴x=-4是原分式方程的解.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）