劉俊紅, 鄭素文, 李立峰, 金 琦

(裝甲兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部，北京 100072)

一類(lèi)非線性脈沖拋物型系統(tǒng)在Robin邊值條件下的振動(dòng)性

劉俊紅, 鄭素文, 李立峰, 金 琦

(裝甲兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部，北京 100072)

討論了一類(lèi)含脈沖的非線性拋物型方程組非零解的振動(dòng)性，利用Green定理及Jensen不等式，得出了該系統(tǒng)在Robin邊界條件下非零解振動(dòng)的若干準(zhǔn)則。

非線性；脈沖；拋物型系統(tǒng)；振動(dòng)性

近十幾年來(lái)，非線性脈沖控制偏微分系統(tǒng)問(wèn)題受到了學(xué)者的廣泛關(guān)注，其中振動(dòng)性也隨之成為研究的熱點(diǎn)之一。傅希林等[1]、Deng等[2]分別研究了相關(guān)脈沖拋物系統(tǒng)在2類(lèi)邊界條件下解的振動(dòng)準(zhǔn)則。另外，Drumi等[3]研究了一類(lèi)脈沖拋物方程解的振動(dòng)準(zhǔn)則，文獻(xiàn)[4-5]作者研究了脈沖時(shí)滯拋物方程解的振動(dòng)條件，得出了相關(guān)結(jié)論。

本文在文獻(xiàn)[1-2]的基礎(chǔ)上，開(kāi)展2方面的研究工作:1) 將系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，并對(duì)其非線性項(xiàng)放寬了條件，改進(jìn)的系統(tǒng)為

(1)

2) 研究該系統(tǒng)在Robin邊值條件

(2)

1 基本假設(shè)

對(duì)于上述邊值問(wèn)題，本文作如下假設(shè)。

I(tk,x,-u(tk,x))=-I(tk,x,u(tk,x)),k=1,2,…;且∫ΩI(tk,x,u(tk,x))dx≤αk∫Ωu(tk,x)dx,k=1,2,…,其中αk>0,為常數(shù)。

定義1: 若下列條件成立,則稱(chēng)u(t,x)為邊值問(wèn)題(1)、(2)的解。

1)u(t,x)關(guān)于t一階可微，關(guān)于x二階可微，t≠tk,k∈I∞，I∞={1,2,…}；

2)u(t,x)在t=tk(k∈I∞)處為關(guān)于t的第1類(lèi)間斷點(diǎn)的光滑連續(xù)函數(shù)，且H3成立；

3)u(t,x)在區(qū)域G內(nèi)滿足式(1)、(2)。

定義2: 設(shè)u(t,x)為邊值問(wèn)題(1)、(2)的1個(gè)非零解，若存在T>0,使得當(dāng)(t,x)∈[T,+∞)×Ω時(shí)，u(t,x)恒正或恒負(fù)，則稱(chēng)u(t,x)在區(qū)域G內(nèi)是非振動(dòng)的；否則，是振動(dòng)的。

2 主要結(jié)論

引理1[6]: 假設(shè)λ1為特征值問(wèn)題

(3)

的最小特征值，Φ1(x)為對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)，且β(x)∈C(?Ω,(0,+∞)),則λ1>0,Φ1(x)>0。令

F1(t)=∫?Ωφ1(t,s)Φ1(s)ds,

定理1: 假設(shè)條件H1,…,H4成立，若脈沖微分不等式

(4)

和

(5)

無(wú)最終正解，則邊值問(wèn)題(1)、(2)的所有非零解在區(qū)域G內(nèi)是振動(dòng)的。

證明： 應(yīng)用反證法進(jìn)行證明。設(shè)u(t,x)為邊值問(wèn)題(1)、(2)的1個(gè)非零解，且存在T>0,使得當(dāng)(t,x)∈[T,+∞)×Ω時(shí)，u(t,x)不變號(hào)，不妨設(shè)u(t,x)>0。

當(dāng)t≠tk時(shí)，在式(1)兩端乘以式(3)的特征函數(shù)Φ1(x)，并對(duì)x在Ω上進(jìn)行積分，則

(6)

利用Green定理，結(jié)合式(2)、(3)，有

∫ΩΦ1(x)Δu(t,x)dx=

∫?Ωφ1(t,s)Φ1(s)ds-λ1∫ΩΦ1(x)u(t,x)dx=

F1(t)-λ1∫ΩΦ1(x)u(t,x)dx,t≠tk,t≥T。

(7)

利用Jensen不等式，結(jié)合假設(shè)H2，有

t≠tk,t≥T。

結(jié)合假設(shè)H4，進(jìn)一步有

(8)

結(jié)合式(6)-(8)，有

∫ΩΦ1(x)u(t,x)dx-a0(t)∫ΩΦ1(x)dx×

(9)

令

(10)

可得

t≠tk,t≥T。

(11)

Φ1(x)dx≤αk∫Ωu(tk,x)Φ1(x)dx,k=1,2,…。

于是有

(12)

由式(11)、(12)可知：V1(t)是脈沖微分不等式(4)的1個(gè)最終正解，這與定理1的條件相矛盾。所以，u(t,x)在區(qū)域G內(nèi)是振動(dòng)的。

是式(5)的一個(gè)最終正解，這與定理1的條件相矛盾。所以，u(t,x)在區(qū)域G內(nèi)是振動(dòng)的。

證畢。

定理2: 假設(shè)H1,…,H4成立，且

(13)

若對(duì)于充分大的T>0,有

(14)

和

(15)

成立，則邊值問(wèn)題(1)、(2)的所有非零解在區(qū)域G內(nèi)是振動(dòng)的。

證明： 由定理1可知,只需證明脈沖微分不等式(4)、(5)無(wú)最終正解即可。

令V1(t)為脈沖微分不等式(4)的一個(gè)最終正解，則存在T>0,使得當(dāng)t≥T時(shí)，V1(t)>0,且f(V1(t))>0。于是,

由引理2可得

L1(s)ds,t≥T。

(16)

進(jìn)一步可得

L1(s)ds,t≥T。

(17)

令t→+∞,并考慮式(14)，可得

(18)

利用式(15)也可以推出脈沖微分不等式(5)無(wú)最終正解。

證畢。

[1] 傅希林, 閆寶強(qiáng), 劉衍勝, 脈沖微分系統(tǒng)引論[M].北京:科學(xué)出版社,2005,273-278.

[2] Deng L H, Tan Y M, Yu Y H.Osillation Criteria of Solutions for a Class of Impulsive Parabolic Differential Equation [J]. India J Pure Appl Math,2002, 33(7):1147-1153.

[3] Drumi B， Emil M.Oscillation of the Solutions of Impulsive Parabolic Equations[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,1996,69(2):207-214.

[4] Fu X L, LieJune S. Oscillation Criteria for Impulsive Parabolic Boundary Value Problem with Delay[J]. Applied Mathematics and Computation,2004,153(2):587-599.

[5] Han M A, Li W N. Oscillation of Solutions for Certain Impulsive Vector Parabolic Differential Equations with Delays[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,326(1):363-371.

[6] 葉其孝,李正元.反應(yīng)擴(kuò)散方程引論[M].北京:科學(xué)出版社,1990:194-195.

[7] Pirapikaran R. Diff Equs Applied by R Aftabizabeh [M]. Ohio State: Ohio University Press, 1989: 296-308.

(責(zé)任編輯: 王生鳳)

Oscillation Criteria for a Class of Nonlinear Impulsive Parabolic System under Robin Boundary Condition

LIU Jun-hong, ZHENG Su-wen, LI Li-feng, JIN Qi

(Department of Fundamental Courses, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)

In this paper, the authors discuss oscillation of non-zero solutions for a class of nonlinear impulsive parabolic system. Several oscillation criteria are obtained under Robin boundary condition by using the Green formula and Jensen inequality.

nonlinear; impulse; parabolic system; oscillation

1672-1497(2015)03-0108-03

2014-12-23

劉俊紅(1976-)，男，講師，博士。

O175.26

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2015.03.022