張海峰，張禮偉，王興嶺，李 琳，仲 巖

（天津航海儀器研究所，天津 300131）

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)極區(qū)導(dǎo)航算法優(yōu)化設(shè)計及誤差特性分析

張海峰，張禮偉，王興嶺，李 琳，仲 巖

（天津航海儀器研究所，天津 300131）

采用格網(wǎng)坐標(biāo)系下的力學(xué)編排方案能夠有效解決常規(guī)慣導(dǎo)系統(tǒng)力學(xué)編排方案在極區(qū)航向誤差急劇發(fā)散且無法實現(xiàn)定位定向的難題。格網(wǎng)坐標(biāo)系力學(xué)編排方案可以直接獲得格網(wǎng)航向，以及地心地固坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)，且輸出航向精度及定位精度不隨緯度的增高而變差。通過深入研究格網(wǎng)坐標(biāo)系力學(xué)編排方案的誤差傳播規(guī)律，詳細(xì)分析了高緯度下格網(wǎng)航向保持高精度輸出的數(shù)學(xué)機理。針對格網(wǎng)坐標(biāo)系力學(xué)編排方案在極點附近存在計算奇異值的問題，提出了一種通過格網(wǎng)坐標(biāo)系和地球坐標(biāo)系間的位置方向余弦矩陣更新解算替代由地心地固位置坐標(biāo)求解經(jīng)緯度三角函數(shù)值的優(yōu)化算法，實現(xiàn)了真正意義上的格網(wǎng)坐標(biāo)系力學(xué)編排方案在極區(qū)的“無死角”導(dǎo)航能力。仿真分析了載體沿經(jīng)線穿越極點運動時的算法性能，并與固定指北力學(xué)編排方案進行了比較，結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)導(dǎo)航方案，格網(wǎng)系下輸出的航向誤差不隨緯度升高而發(fā)散，導(dǎo)航精度與低緯度區(qū)域?qū)Ш侥芰ο喈?dāng)。

極區(qū)導(dǎo)航；格網(wǎng)坐標(biāo)系；誤差特性；算法優(yōu)化

隨著航空、航海事業(yè)的蓬勃發(fā)展以及國際政治經(jīng)濟的不斷變化，對海軍作戰(zhàn)艦艇的全球作戰(zhàn)能力提出了更高的要求。由于極區(qū)地理經(jīng)線快速收斂，導(dǎo)致傳統(tǒng)地理導(dǎo)航坐標(biāo)系失效。雖然自由和游移方位慣導(dǎo)可在極區(qū)完成姿態(tài)方向余弦矩陣和位置方向余弦矩陣的解算，但從矩陣中提取航向信息和經(jīng)度信息時存在奇異值。采用格網(wǎng)線取代傳統(tǒng)的地理經(jīng)緯線對地表重新劃分是解決該問題的有效手段之一。

以載體所在點處平行于格林尼治子午面的平面作為格網(wǎng)平面，以載體所在點的水平面作為切平面，格網(wǎng)平面與切平面的交線定義為格網(wǎng)北向，格網(wǎng)北向同真北方向的夾角為格網(wǎng)夾角σ，格網(wǎng)天向同地理天向重合，格網(wǎng)東向在切平面內(nèi)與格網(wǎng)北向垂直構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系，此即為格網(wǎng)坐標(biāo)系,如圖1所示。以平行于格林尼治子午線方向作為航向參考可避免緯度升高經(jīng)線收斂造成的定向基準(zhǔn)難題，因此，在格網(wǎng)系下編排慣導(dǎo)力學(xué)方程可以有效解決常規(guī)力學(xué)編排方案所面臨的極區(qū)溢出問題。

圖1 格網(wǎng)坐標(biāo)系及地心地固坐標(biāo)系Fig.1 Grid navigation coordinate and ECEF coordinate

1 格網(wǎng)系力學(xué)編排方程

對于捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)，格網(wǎng)導(dǎo)航力學(xué)編排的姿態(tài)方向余弦矩陣、速度和位置微分方程可表述如下：

式(2)～(5)中，σ為格網(wǎng)角，vGE和vGN為格網(wǎng)系內(nèi)的東速和北速，RM和RN分別為子午圈和卯酉圈曲率半徑。

從式(1)～(5)可知，微分方程中相關(guān)物理量的計算需要經(jīng)緯度的三角函數(shù)值，該值可以由地心地固坐標(biāo)系內(nèi)的位置坐標(biāo)（x, y, z）與經(jīng)緯度（L, λ）的三角函數(shù)關(guān)系求得。但在無限靠近極點的過程中x, y→0，使得經(jīng)度的三角函數(shù)值出現(xiàn)奇異值，導(dǎo)致導(dǎo)航解算出現(xiàn)錯誤。

2 格網(wǎng)系導(dǎo)航算法優(yōu)化

根據(jù)方向余弦矩陣微分方程可知：

將式(13)代入式(11)，可得：

對式(3)微分，可得：

將式(15)代入式(8)，經(jīng)過整理可得：

至此，綜合式(14)和式(16)可得到 ωeGG的各分量表達式為

式(17)可以簡化為

至此，綜合式(1)(6)和(18)，可得極區(qū)導(dǎo)航算法的完備微分方程：

3 誤差特性分析

格網(wǎng)系下平臺誤差角誤差模型為

式中：

式中， Λ（˙）表示求導(dǎo)函數(shù)。由式(22)可以看出，格網(wǎng)系內(nèi)的誤差角中不含有隨緯度升高計算溢出項tanL。因此，在高緯度地區(qū)進行格網(wǎng)系內(nèi)導(dǎo)航解算，相比于地理系解算，可以獲得更高的精度。經(jīng)過推導(dǎo)可知，格網(wǎng)角σ滿足如下關(guān)系式：

對式(23)求一階導(dǎo)數(shù)：

又因為

由式(26)可知，隨著緯度的升高，經(jīng)度誤差迅速發(fā)散，因此，格網(wǎng)角誤差δσ亦隨之發(fā)散。

地理系航向誤差為

因此可知，隨著緯度升高，在地理系內(nèi)航向誤差會發(fā)散，而在格網(wǎng)系內(nèi)航向誤差不發(fā)散，發(fā)散項為格網(wǎng)角誤差。這樣，在格網(wǎng)系內(nèi)求解航向，相當(dāng)于將地理系內(nèi)的航向誤差發(fā)散分量剝離出去，因此可以得到更高的輸出精度。

4 仿真結(jié)果及分析

為驗證本文設(shè)計的極區(qū)導(dǎo)航算法的正確性，假設(shè)載體沿著某條經(jīng)線向極點運動，并跨越極點。設(shè)初始位置為[85°N，0°E（W），0 m]，載體速度為20 kn，運動時間為24 h。慣性器件參數(shù)為：三個陀螺常值漂移0.002 (°)/h，三個加速度計零偏穩(wěn)定性為50 μg。

圖2～圖5為本文優(yōu)化的極區(qū)格網(wǎng)算法的姿態(tài)誤差、速度誤差與位置誤差圖。圖6和圖7為常規(guī)導(dǎo)航算法的姿態(tài)誤差與位置誤差圖線。由圖2～圖5可以看出，優(yōu)化的格網(wǎng)導(dǎo)航算法在跨越極點的過程中導(dǎo)航解算無奇異值，且24 h航向誤差約為3′，定位精度約為1.2 n mile，導(dǎo)航精度與低緯度導(dǎo)航精度相當(dāng)，完全能夠滿足使用需求。

根據(jù)格網(wǎng)系下力學(xué)編排誤差方程可得航向誤差受zε激勵的時域解析式為

圖2 極區(qū)格網(wǎng)優(yōu)化算法的姿態(tài)誤差Fig.2 Attitude error of grid optimization algorithm in polar region

圖3 極區(qū)格網(wǎng)優(yōu)化算法的速度誤差Fig.3 Velocity error of grid optimization algorithm in polar region

圖4 極區(qū)格網(wǎng)優(yōu)化算法的位置分量誤差Fig.4 Position error of grid optimization algorithm in polar region

圖5 極區(qū)格網(wǎng)優(yōu)化算法的24 h定位誤差Fig.5 24 h positioning error of grid optimization algorithm in polar region

圖6 極區(qū)常規(guī)導(dǎo)航算法的姿態(tài)誤差Fig.6 Attitude error of conventional navigation algorithm in polar region

圖7 極區(qū)常規(guī)導(dǎo)航算法的位置誤差Fig.7 Position error of grid optimization algorithm in polar region

由式(28)可知，航向誤差存在隨時間發(fā)散項，經(jīng)計算其系數(shù)值約為1.021左右，方位陀螺漂移為0.002 (°)/h的24 h航向誤差為2.94′，與仿真結(jié)果相當(dāng)。

由圖6和圖7可以看出，常規(guī)導(dǎo)航算法在緯度升高的過程中，航向誤差與經(jīng)度誤差逐漸發(fā)散放大，當(dāng)靠近極點的過程中出現(xiàn)奇異值。這是由于航向與經(jīng)度解算過程中與tanL有關(guān)，當(dāng)緯度升高時該正切值急劇增大，使得航向誤差與經(jīng)度誤差被放大，使導(dǎo)航解算無法繼續(xù)。

5 結(jié) 論

格網(wǎng)導(dǎo)航算法通過重新建立參考坐標(biāo)系，克服了極區(qū)經(jīng)線收斂引起的慣導(dǎo)系統(tǒng)定位定向難題。但在格網(wǎng)系下進行導(dǎo)航解算時，由地心地固位置坐標(biāo)求取經(jīng)緯度的三角函數(shù)值的過程中，當(dāng)無限靠近極點時會出現(xiàn)奇異值，使得導(dǎo)航解算出現(xiàn)異常。

為解決此問題，設(shè)計了由格網(wǎng)坐標(biāo)系與地球坐標(biāo)系間的位置方向余弦矩陣更新迭代解算替代由ECEF位置求解經(jīng)緯度三角函數(shù)值的優(yōu)化算法，從而避免了在極點處出現(xiàn)解算奇異值的問題。從格網(wǎng)系下的航向誤差方程出發(fā)，闡釋了極區(qū)格網(wǎng)算法航向精度不隨緯度升高而下降的數(shù)學(xué)機理。通過動態(tài)仿真試驗表明，該算法在高緯度地區(qū)解算精度與低緯度地區(qū)相當(dāng)，且解算過程穩(wěn)定可靠，并無奇異，能夠滿足極區(qū)導(dǎo)航需求，具有重要的理論意義。

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Optimization design and error analysis of strapdown inertial navigation system mechanization in polar region

ZHANG Hai-feng, ZHANG Li-wei, WANG Xing-ling, LI Lin, ZHONG Yan
(Tianjin Navigation Instrument Research Institute, Tianjin 300131, China)

Grid inertial navigation mechanization could effectively solve the problems of heading and positioning errors’ increase in high latitudes. They could directly get the grid heading as well as the position in the earth-centered earth-fixed coordinates (ECEF) without degrading the accuracy with the increasing of latitude. Based on the analysis on the error model of the grid navigation mechanization, the mathematical mechanism why grid heading keeps high-accuracy output at high latitude is analyzed. In view that navigation calculation had singular value at the polar point, an optimized mechanization is presented, which uses position direction cosine matrix (DCM) updating instead of the ECEF to calculate the trigonometric function value of latitude and longitude. Simulation analyzes the performance when the carrier crosses the polar along the longitude line, and the results show that, compared with the traditional navigation mechanization, the heading error in the grid frame doesn’t diverge when the latitude increases, and the navigation accuracy is equivalent to that of low-latitude navigation.

polar navigation; grid frame; error characteristics; mechanization optimization

U666.1

：A

2015-09-15；

：2015-11-27

裝備預(yù)研基金重點項目（9140A09031514CB37031）

張海峰（1986—），男，工程師，從事慣性導(dǎo)航技術(shù)研究。E-mail: tjuzhanghaifeng@126.com

1005-6734(2015)06-0701-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.06.001