黃 成，陳興林，王 巖，周乃新

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制科學(xué)與工程系，哈爾濱 150001）

基于氣浮臺的交會對接模擬及姿態(tài)跟蹤控制

黃 成，陳興林，王 巖，周乃新

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制科學(xué)與工程系，哈爾濱 150001）

針對交會對接中衛(wèi)星的姿態(tài)跟蹤控制問題，設(shè)計了一種魯棒有限時間控制算法。首先，設(shè)計并采用兩個六自由度氣浮臺模擬交會對接的兩顆衛(wèi)星，搭建交會對接地面物理仿真系統(tǒng)。其次，應(yīng)用姿態(tài)誤差函數(shù)，推導(dǎo)描述氣浮臺追蹤器相對于氣浮臺目標(biāo)器姿態(tài)運動的姿態(tài)誤差動力學(xué)模型。最后，基于此模型采用反步法思想給出了該控制算法的詳細設(shè)計。李雅普諾夫理論推導(dǎo)和仿真結(jié)果表明，在存在邊界未知的有界外界擾動的情況下，該控制算法可以使氣浮臺追蹤器在20 s內(nèi)實現(xiàn)對姿態(tài)隨時間改變的氣浮臺目標(biāo)器的準(zhǔn)確跟蹤，并保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

氣浮臺；姿態(tài)跟蹤；有限時間控制；魯棒性；反步法

在衛(wèi)星交會對接的操作中，追蹤衛(wèi)星對于目標(biāo)衛(wèi)星的姿態(tài)跟蹤是一個非常重要且具有挑戰(zhàn)性的環(huán)節(jié)，而姿態(tài)跟蹤控制策略的好壞將會直接影響跟蹤的效率和準(zhǔn)確率，因此對衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤控制策略的研究對于交會對接等空間操作是非常必要的[1]。衛(wèi)星一旦進入軌道，對其控制策略的測試和調(diào)整是極其困難和風(fēng)險極大的，由氣浮臺組成的地面物理仿真系統(tǒng)可以基本模擬衛(wèi)星在軌運動與控制的實際狀態(tài)，能夠進行高置信度的地面物理仿真[2]，因此在在軌操作之前，基于氣浮臺對衛(wèi)星姿態(tài)控制策略的研究和驗證是必不可少的[3]。

過去的幾十年里，國內(nèi)外許多科研機構(gòu)對于衛(wèi)星姿態(tài)控制已經(jīng)展開了大量研究[4]。Lee[5]通過選擇一種姿態(tài)誤差函數(shù)，提出了一種姿態(tài)控制方法，該方法適用于具有大初始姿態(tài)誤差的跟蹤系統(tǒng)；Wong[6]基于李雅普諾夫方法設(shè)計了一種參數(shù)更新的全狀態(tài)反饋控制律，解決了編隊飛行中衛(wèi)星質(zhì)量不確定的問題；Raymond[7]針對6自由度衛(wèi)星的編隊控制問題，基于歐拉-拉格朗日系統(tǒng)理論設(shè)計了兩種無源性控制器。上述文獻雖然保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性，但只是保證了系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定，即當(dāng)時間趨于無窮時姿態(tài)誤差才會收斂到平衡點，不具有快速收斂性。然而為了實現(xiàn)衛(wèi)星更高的可操作性，控制策略的快速收斂是必需的，所以動力學(xué)系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性的思想被廣泛的應(yīng)用到衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤控制上。Du[8]設(shè)計了一種連續(xù)飽和有限時間控制器解決了剛性航天器的全局有限時間姿態(tài)穩(wěn)定問題；Meng[9]提出了分布式有限時間姿態(tài)遏制控制方法解決了同時控制多個剛性物體的問題。上述研究雖然應(yīng)用了有限時間控制思想，但都是基于齊次方法進行的姿態(tài)校正控制。另外，外界擾動對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響不容忽視，而上述文獻均不能對邊界未知的有界外部擾動進行有效抑制。

為了克服這些問題，本文設(shè)計了一種能夠在地面進行衛(wèi)星動力學(xué)全物理仿真的六自由度氣浮臺，應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矩陣和姿態(tài)跟蹤誤差函數(shù)推導(dǎo)了氣浮臺姿態(tài)平臺的姿態(tài)誤差動力學(xué)模型，基于該模型應(yīng)用反步法設(shè)計了魯棒有限時間姿態(tài)跟蹤控制器，通過進行李雅普諾夫理論分析，確保了控制系統(tǒng)的有限時間收斂性、穩(wěn)定性和對邊界未知的有界外部擾動的魯棒性。

1 交會對接地面物理仿真系統(tǒng)

1.1 系統(tǒng)構(gòu)成

交會對接地面物理仿真系統(tǒng)用于對衛(wèi)星控制算法的分析及驗證[10]，主要包括一個表面光滑的花崗巖基礎(chǔ)平臺，兩個可以實現(xiàn)6個自由度氣浮無摩擦運動的六自由度氣浮臺，包括上位機、垂向運動伺服調(diào)節(jié)系統(tǒng)、速率陀螺儀（用于姿態(tài)測量）、質(zhì)心調(diào)節(jié)系統(tǒng)、冷氣噴氣裝置、電控系統(tǒng)、執(zhí)行機構(gòu)、通信系統(tǒng)等。其中，以氣浮球軸承和重力平衡伺服運動機構(gòu)為核心的兩個六自由度氣浮臺分別用來模擬目標(biāo)衛(wèi)星和追蹤衛(wèi)星的動力學(xué)狀態(tài)，氣浮臺目標(biāo)器與氣浮臺追蹤器配合，實現(xiàn)完整的交會對接動力學(xué)與控制的物理仿真實驗。整個系統(tǒng)運行于大型花崗巖平臺上，該平臺為交會對接及以后的編隊衛(wèi)星等地面物理仿真實驗提供平臺支撐。交會對接地面物理仿真系統(tǒng)如圖1所示。

1.2 六自由度氣浮臺

本文根據(jù)交會對接地面物理仿真實驗的需求，設(shè)計了可以實現(xiàn)完整6個自由度動力學(xué)仿真的六自由度氣浮臺，其整體結(jié)構(gòu)如圖2所示，該氣浮臺包括姿態(tài)平臺、水平運動平臺和重力平衡伺服運動機構(gòu)；根據(jù)臺體結(jié)構(gòu)，定義Z向垂直于地平面，X、Y向符合右手定則，Rx、Ry、Rz分別為以X、Y、Z向為轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動方向。姿態(tài)平臺由氣浮球軸承支撐，通過相應(yīng)的控制可以沿Rx、Ry、Rz方向運動，即模擬目標(biāo)衛(wèi)星（或追蹤衛(wèi)星）的姿態(tài)調(diào)整過程。在進行姿態(tài)調(diào)整之前，首先要對姿態(tài)平臺進行質(zhì)心調(diào)節(jié)，即使得系統(tǒng)的質(zhì)心與旋轉(zhuǎn)中心重合。為保證系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)反饋的實時性和準(zhǔn)確性在質(zhì)心調(diào)節(jié)和姿態(tài)控制過程中采用陀螺儀作為姿態(tài)測量傳感器。水平運動平臺由平面氣浮軸承支撐，底部的3個氣浮軸承可以使整個氣浮系統(tǒng)沿X、Y向無摩擦地運動。

圖1 交會對接仿真系統(tǒng)Fig.1 The rendezvous and docking simulation system

圖2 六自由度氣浮臺Fig.2 The 6-DOF simulator

圖3 垂向氣浮軸承結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of vertical air bearing

重力平衡伺服運動機構(gòu)的垂向運動氣浮軸承由立柱型氣浮軸承外套和內(nèi)套兩個重要部件組成，結(jié)構(gòu)如圖3所示。根據(jù)升降距離，通過控制精密氣浮閥使姿態(tài)平臺可以沿著垂向進行無摩擦地升降運動，并定位到指定的位置；該設(shè)計使用氣浮軸承而非機械方法實現(xiàn)了重力平衡和垂向漂浮運動，保證了姿態(tài)平臺真正意義上的全物理仿真。

2 氣浮臺姿態(tài)誤差動力學(xué)模型

本文主要模擬衛(wèi)星交會對接過程中對接停靠階段的姿態(tài)跟蹤控制問題，因此這部分只針對六自由度氣浮臺的姿態(tài)平臺建立姿態(tài)動力學(xué)模型和姿態(tài)誤差動力學(xué)模型，不考慮垂向和水平方向運動對姿態(tài)運動的耦合作用，這樣后文中提到的氣浮臺實際是指六自由度氣浮臺的姿態(tài)平臺。

2.1 姿態(tài)動力學(xué)模型

為了更好地研究氣浮臺運動規(guī)律，定義慣性坐標(biāo)系和與氣浮臺固連的本體坐標(biāo)系原點都固定在氣浮臺旋轉(zhuǎn)中心，氣浮臺姿態(tài)由本體坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的方向表示。特殊正交群(special orthogonal group，SO(3))是由行列式為1的3行3列正交矩陣組成的集合，R表示旋轉(zhuǎn)矩陣，是由歐拉角 [φθ ψ]T描述的，R ∈SO(3)，即 SO(3)={ R ∈ R3×3|RTR= I , detR =1}。為便于模型推導(dǎo)，本文應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矩陣R描述氣浮臺姿態(tài)[11]。R表示將氣浮臺追蹤器本體坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到慣性坐標(biāo)系的追蹤器旋轉(zhuǎn)矩陣。在對氣浮臺進行姿態(tài)控制之前，已經(jīng)完成對氣浮臺的質(zhì)心調(diào)節(jié)，因此不用考慮質(zhì)心與旋轉(zhuǎn)中心不重合而引起的重力擾動力矩，因此氣浮臺追蹤器姿態(tài)運動學(xué)與動力學(xué)方程如式(1)(2)所示：

式中： ω∈ R3×1是氣浮臺追蹤器本體坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的角速度在追蹤器本體坐標(biāo)系中的投影；u ∈R3×1和τ ∈ R3×1分別表示作用于氣浮臺追蹤器的控制力矩和擾動力矩； J ∈R3×3表示追蹤器本體坐標(biāo)系下的慣性矩陣；[ω]×是對應(yīng)于角速度的叉乘矩陣，表現(xiàn)形式如式(3)所示：

ωe表示角速度誤差，在追蹤器本體坐標(biāo)系中定義如式(4)所示：

式中：Re∈SO(3)為氣浮臺追蹤器相對于氣浮臺目標(biāo)器的姿態(tài)誤差，定義如式(5)所示，其中 Rd∈SO(3)和ωd∈R3×1分別表示目標(biāo)器姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣和目標(biāo)器本體坐標(biāo)系中目標(biāo)器角速度。

2.2 姿態(tài)誤差動力學(xué)模型

基于旋轉(zhuǎn)矩陣設(shè)計姿態(tài)控制系統(tǒng)的一個關(guān)鍵步驟是選取合適的誤差，然而2.1節(jié)中定義的姿態(tài)誤差和角速度誤差是不能夠直接應(yīng)用到控制器設(shè)計中的。文獻[12]構(gòu)造了一種姿態(tài)誤差函數(shù)和姿態(tài)誤差向量，其定義如等式(6)和(7)所示：

式中：tr(Re)表示姿態(tài)誤差矩陣的跡， -1≤ tr(Re)≤3，∨表示叉乘的逆運算。

根據(jù)姿態(tài)誤差和姿態(tài)誤差函數(shù)的定義可知，對于確定的Rd，姿態(tài)誤差函數(shù)可以看成是只關(guān)于R的函數(shù)；根據(jù)等式(7)可知，在集合L={R ∈SO(3)|ψ(Re)＜2}中，姿態(tài)誤差向量不會出現(xiàn)奇異點，可以被完整定義。另外根據(jù)文獻[12]，姿態(tài)誤差函數(shù)和姿態(tài)誤差向量具有如下性質(zhì)：

① 在集合L中，姿態(tài)誤差函數(shù)具有局部二次性，并且滿足

因此本文應(yīng)用姿態(tài)誤差函數(shù)，姿態(tài)誤差向量和角速度誤差來表述氣浮臺追蹤器相對于目標(biāo)器的姿態(tài)誤差動力學(xué)模型。根據(jù)運動學(xué)方程(1)可得進一步導(dǎo)出姿態(tài)誤差Re對于時間的導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)叉乘運算的特性 R[ x]×RT=[R x]×和等式(5)，推導(dǎo)出姿態(tài)誤差向量 eRe對于時間的導(dǎo)數(shù)，即氣浮臺姿態(tài)誤差運動學(xué)模型：

結(jié)合等式(9)和等式(5)，對等式(2)進行變換，然后代入 ω= ωe+ReTωd，可得氣浮臺追蹤器相對于目標(biāo)器的姿態(tài)誤差動力學(xué)模型如(12)(13)所示。

3 控制器的設(shè)計

控制器的設(shè)計是在保證起始姿態(tài)誤差在集合L內(nèi)的前提下進行的。根據(jù)式(10)和式(12)組成的氣浮臺追蹤器相對于目標(biāo)器的姿態(tài)誤差運動學(xué)和動力學(xué)方程可知，此時該系統(tǒng)是一個標(biāo)準(zhǔn)的級聯(lián)系統(tǒng)[13-14]，因此本節(jié)應(yīng)用自適應(yīng)魯棒控制和有限時間控制的思想，采用反步法設(shè)計一種氣浮臺追蹤器姿態(tài)跟蹤控制器，為此引入如下變量[15-17]：

根據(jù)文獻[18]給出如下兩個引理，并應(yīng)用到控制器的設(shè)計中。

引理1 假設(shè) α1, α2,… ,αn都是正數(shù)，0＜ρ＜2，則有下面不等式成立：

引理2 給定有限時間穩(wěn)定的擴展李雅普諾夫函數(shù)描述：v˙( x)+ αv( x )+ βv(x )γ≤0 (α＞0, β＞0,0＜γ＜1)，設(shè)初始狀態(tài) x (0)=x0，則系統(tǒng)在有限時間T內(nèi)將會收斂到平衡點。

第一步：選取李雅譜諾夫函數(shù)：

式中： x1=[x1,x,x1,y,x1,z]T，函數(shù)兩邊對時間求導(dǎo)得：

根據(jù)引理1，結(jié)合等式(20)可得：

根據(jù)引理2可知，x1將在有限時間得收斂到η。第二步：設(shè)計自適應(yīng)有限時間控制律。定義是 τ的邊界估計值，是τ的估計誤差值，Q是正定對角矩陣，選取李雅普諾夫函數(shù)因此，當(dāng) ωd和有界，采用(25)所示控制律，x1、x2和τ～是有界收斂的。

第三步：證明：存在有界擾動力矩時，控制律u可以保證x1、x2和 ωe在有限時間內(nèi)收斂到0點。選取李雅普諾夫函數(shù)V3。當(dāng)時，因為η可以為任意小的正常數(shù)，x1、x2和 ωe可以在有限時間內(nèi)收斂到0點附近，因此下面證明只考慮的情況。

對其求導(dǎo)：

下面將上一步中b1分別與前四項組合。當(dāng)與第一項組合時，不等式表示為

式中：μ1= min(β1- (b1/ x12,i), α1- b2), μ2= min(β2, α2)，認為 μ1＞ 0, μ2＞ 0，根據(jù)引理2可知，在有限時間T內(nèi)x將會收斂到區(qū)域1,i將收斂到0點， β越大x越趨11,i近于0點。

同理：b1與第二項組合時，在有限時間T內(nèi)，x1,i將收斂到區(qū)域，x2,i將收斂到0點。β2越大，x1,i就越趨近于0點。

b1與第三項組合時，在有限時間T內(nèi)，x1,i將收斂到0點，x2,i將收斂到區(qū)域。α 越1大x2,i越趨近于0點。

b1與第四項組合時，在有限時間T內(nèi)，x1,i將收斂到0點，x2,i將收斂到區(qū)域。α2越大，x2,i就越趨近于0點。

根據(jù)式(15)和(19)，角速度誤差可以表示為

之前已證明x1和x2在有限時間T內(nèi)可以收斂到0點，根據(jù)式(29)的形式可知 ωe在有限時間內(nèi)也可以收斂到0點。

4 仿真校驗

為了驗證文中基于反步法所設(shè)計的魯棒有限時間姿態(tài)跟蹤控制器(25)的有效性，在MATLAB/Simulink環(huán)境下對氣浮臺姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)進行了仿真研究。仿真中應(yīng)用的氣浮臺相關(guān)數(shù)據(jù)來源于實驗室已經(jīng)開發(fā)完成的一個五自由度氣浮臺，具有一定的真實可靠性。

氣浮臺慣性矩陣和初始角速度為

目標(biāo)角速度為

姿態(tài)R和目標(biāo)姿態(tài)Rd的初始值結(jié)合角速度和目標(biāo)角速度初始值根據(jù)等式(1)給定。

為了實現(xiàn)氣浮臺追蹤器對目標(biāo)器的姿態(tài)跟蹤，控制器(25)的參數(shù)選擇如下：γ = 0.5， Q=I， β1=0.02，β2= 0.02， α1=2， α2=4。在控制器(25)作用下，氣浮臺的時間響應(yīng)曲線如圖4～圖8所示。由圖4～圖6所示的 eRe、x2和 ωe響應(yīng)曲線可以看出，eRe、x2和 ωe在25 s后趨向于零，因此本文所設(shè)計的控制器保證了氣浮臺在有限時間內(nèi)完成對目標(biāo)姿態(tài)的跟蹤。

圖4 姿態(tài)誤差向量 eRe曲線Fig.4 Curves of attitude error vector

圖5 虛擬輸入誤差x2曲線Fig.5 Curves of virtual import error

圖6 角速度誤差eω曲線Fig.6 Curves of angular velocity error

圖7 擾動邊界估計曲線Fig.7 Curves of estimated disturbance value

圖7為擾動力矩邊界值估計曲線，可以看出，控制器在15 s后完成了對邊界未知的擾動力矩邊界值的估計，并基于此進行補償。圖8為姿態(tài)誤差函數(shù)曲線，可以看出，姿態(tài)誤差函數(shù)在15 s后趨向于零，且始終屬于集合L，因此姿態(tài)誤差向量不會出現(xiàn)奇異點。

從仿真結(jié)果可知，采用文中設(shè)計的控制器(25)可以保證具有未知邊界擾動的氣浮臺快速地實現(xiàn)對有界目標(biāo)姿態(tài)的跟蹤。

圖8 姿態(tài)誤差函數(shù)曲線Fig.8 Curve of attitude error function

5 結(jié) 論

本文研究了用氣浮臺模擬交會對接過程對接?？侩A段的衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤控制問題。為了搭建交會對接地面物理仿真實驗系統(tǒng)，設(shè)計了能夠?qū)崿F(xiàn)6個自由度全物理仿真的六自由度氣浮臺。利用姿態(tài)誤差函數(shù)，推導(dǎo)出氣浮臺追蹤器相對于目標(biāo)器的姿態(tài)誤差動力學(xué)模型，并基于反步法，設(shè)計了一種魯棒有限時間控制器；采用李雅普諾夫函數(shù)證明了該系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性和收斂性。仿真結(jié)果表明該控制策略保證氣浮臺追蹤器能夠在有限時間內(nèi)準(zhǔn)確地完成對氣浮臺目標(biāo)器的姿態(tài)跟蹤任務(wù)，并能夠準(zhǔn)確快速地估計出邊界未知的外界擾動的邊界值，具有很好魯棒性，應(yīng)用前景廣闊。

本文下一步的工作：① 考慮軌道運動和姿態(tài)運動的綜合運動，即垂向運動和水平方向運動與姿態(tài)運動的耦合運動，模擬衛(wèi)星交會對接的最終逼近階段運動；② 由于項目進度所限，本文對控制策略的驗證也只是基于氣浮臺數(shù)學(xué)模型進行了數(shù)字仿真研究，因此當(dāng)實驗條件成熟后，要應(yīng)用地面物理仿真系統(tǒng)，進行交會對接過程的物理仿真實驗，對提出的控制方法進行進一步的驗證。

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Rendezvous and docking simulation and attitude tracking control based on air-bearing table

HUANG Cheng, CHEN Xing-lin, WANG Yan, ZHOU Nai-xin
(Department of Control Science And Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

To solve the problem of satellite attitude tracking control in rendezvous and docking, a robust finite-time control scheme is proposed. At first, two six-degree-of-freedom air-bearing tables are designed to simulate the two satellites for rendezvous and docking, and a physical ground simulation system for rendezvous and docking is developed. Then, by using an attitude error function, a dynamics model of the attitude error is established to describe the attitude motion of the air-bearing table tracer relative to the air-bearing table target. Finally, based on the model, the detailed design of the control algorithm is given by using the idea of backstepping method. Lyapunov theory and simulation results show that the air-bearing table tracker can realize in 20s accurate tracking the attitude-variant air-bearing table target for bounded external disturbances with unknown bounds to guarantee the system’s stability.

air-bearing table; attitude tracking; finite-time control; robustness; backstepping method

U666.1

：A

2015-08-03；

：2015-11-13

國家自然科學(xué)基金（61174037）；國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新群體項目（61021002）

黃成（1986—），男，博士研究生，研究方向為高精度運動控制、飛行器控制、智能控制及過程控制。E-mail: huangchengkobe@163.com

聯(lián) 系 人：王巖（1972—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: yanw@hit.edu.cn

1005-6734(2015)06-0831-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.06.023