湖北省陽新縣高級中學(xué) 鄒生書 (郵編：435200)

一個定值問題的解法推廣與類比

湖北省陽新縣高級中學(xué) 鄒生書 (郵編：435200)

1 試題呈現(xiàn)

2 解法展示

本題構(gòu)思巧妙，形式新穎，立意深遠(yuǎn)，考查向量運算、拋物線的方程和定義等有關(guān)知識，題小清新是一道好題.解法1用對稱性巧取特殊點，突出向量運算；解法2用拋物線方程和兩點間距離公式求解，彰顯代數(shù)運算；解法3用拋物線定義求解，解法簡潔，突出定義在簡化運算中的重要作用.做完本題后一個自然的想法是：能否將題目的條件和結(jié)論一般化？能否將結(jié)論類比推廣到橢圓和雙曲線？能否得出圓錐曲線一個統(tǒng)一的幾何性質(zhì)？

3 結(jié)論推廣

4 類比拓展

注 證法與性質(zhì)2基本相同，這里從略(實際上，只需將性質(zhì)2證明中b2的換成-b2).

5 歸納小結(jié)

性質(zhì)4 已知A1、A2、…、An(n∈N*,n≥2)是圓錐曲線E上不同的n個點，若焦點F是這n個點的重心，則這n個點到焦點F的距離之和為定值，其值為np，其中p為焦準(zhǔn)距.

2014-12-23)