雷 磊，周青松，毛云祥，張劍云

（電子工程學(xué)院，合肥 230037）

隨機布陣條件下同時數(shù)字多波束干擾優(yōu)化設(shè)計方法

雷 磊，周青松，毛云祥，張劍云

（電子工程學(xué)院，合肥 230037）

針對現(xiàn)有方法普遍存在的波束形成算法效率低、難以形成多頻點多方向的同時多波束干擾、不適用于隨機布陣條件下的波束形成等缺點，提出了一種基于二階錐規(guī)劃（SOCP，Second-Order Cone Programming）理論的同時數(shù)字多波束干擾形成方法。首先，給出了在隨機布陣條件下干擾多波束優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)描述；其次，以范數(shù)準(zhǔn)則為例，將隨機布陣條件下干擾多波束設(shè)計問題的解析形式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的SOCP形式；再次，利用現(xiàn)有的原-對偶內(nèi)點算法工具箱SeDuMi或者CVX進(jìn)行快速求解。最后，仿真結(jié)果表明該方法可以較好地解決隨機布陣條件下的多頻率多方向雷達(dá)目標(biāo)同時多波束干擾優(yōu)化設(shè)計問題。

隨機布陣，二階錐規(guī)劃，數(shù)字波束形成，同時多波束

0 引言

隨著數(shù)字多波束形成技術(shù)的逐步成熟和廣泛應(yīng)用，數(shù)字多波束干擾技術(shù)發(fā)展迅速。該技術(shù)不僅擁有更快、更靈活的波束掃描速度，而且能夠通過精確的幅度和相位控制，有效地控制干擾發(fā)射波束的旁瓣電平和主瓣寬度，進(jìn)一步提高有效輻射功率。因此，數(shù)字多波束干擾技術(shù)必將成為今后電子對抗領(lǐng)域的重要研究課題和發(fā)展方向之一。

目前，干擾機的發(fā)射陣列天線按照布陣方式大致可分為兩類：一類是以均勻線陣、面陣、體陣為主的均勻陣列天線［1］，另一類是按照一定非均勻規(guī)律排列的稀布陣列天線［2-3］。二者均對天線陣元的布陣方式提出了一定的要求。然而，在實戰(zhàn)應(yīng)用中，受到時間、地形、人為誤差和戰(zhàn)場損毀等條件限制，干擾發(fā)射天線的陣元間距和相對位置一般很難達(dá)到設(shè)計的布陣方式要求［4］，如果系統(tǒng)仍按照設(shè)定的陣元間距和相對位置計算加權(quán)系數(shù)，結(jié)果就有可能導(dǎo)致主波束偏離設(shè)定的方向，因此，研究隨機布陣條件下的數(shù)字多波束具有很高的實際應(yīng)用價值。

數(shù)字多波束干擾的優(yōu)化設(shè)計本質(zhì)上屬于發(fā)射數(shù)字波束形成，是將傳統(tǒng)相控陣發(fā)射波束形成所需的幅度加權(quán)和移相從射頻部分放到數(shù)字部分來實現(xiàn)，從而形成發(fā)射波束［5］。之前的學(xué)者已對發(fā)射波束形成技術(shù)作了相關(guān)分析研究并提出了一系列的方法［6-11］，這些方法雖然均能滿足一定條件下的發(fā)射波束形成設(shè)計，但主要還是以均勻陣列為研究對象，并且主要還是針對單頻點、多方向或者單方向、寬帶信號的波束形成問題進(jìn)行求解，對于隨機布陣條件下的數(shù)字波束形成，尤其是該條件下的多頻點、多方向同時發(fā)射多波束形成，其優(yōu)化設(shè)計的復(fù)雜程度將遠(yuǎn)大于之前文獻(xiàn)所涉及的波束形成模型，現(xiàn)有文獻(xiàn)的方法均難以求解，無法形成有效的多頻點、多方向同時多波束干擾。

1 問題描述

均勻布陣的N1元面陣如圖1所示，隨機布陣的N1元面陣如圖2所示。二者的所有陣元都分布在一個邊長為·d的正方形平面區(qū)域內(nèi)，區(qū)別在于前者相鄰陣元的間距嚴(yán)格為d，而后者的所有陣元均在規(guī)定區(qū)域內(nèi)隨機布置。

假設(shè)干擾多波束由一個如圖2所示的隨機布陣的面陣產(chǎn)生，其陣元數(shù)為N1，將所有陣元由0至N1-1進(jìn)行編號。不妨設(shè)0號陣元為基準(zhǔn)陣元，其平面直角坐標(biāo)記為（x0，y0），則m號陣元的平面直角坐標(biāo)可記為（xm，ym）；再將每個陣元的信號分別進(jìn)行（N2-1）級延時，并取每個陣元的抽頭數(shù)為N2，其中未經(jīng)延時的信號抽頭（基準(zhǔn)抽頭）記為該陣元的0號抽頭，經(jīng)n級延時的信號抽頭記為該陣元的n號抽頭。則各個陣元中各個抽頭的加權(quán)系數(shù)可記為W={wmn∈R，0≤m≤N1，0≤n≤N2-1}，W∈RN1×N2，其中m，n分別表示陣元序號和延時級數(shù)。

圖1 均勻布陣的N1元面陣示意圖

圖2 隨機布陣的N1元面陣示意圖

經(jīng)（N2-1）級延時的N1元陣列如圖3所示。中頻信號經(jīng)分路器分別進(jìn)入N1個陣元所對應(yīng)的延時支路，經(jīng)延時疊加，再經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換，進(jìn)入混頻器與頻率為fL的本振信號進(jìn)行混頻，將原中頻信號上變頻到射頻，最后分別由N1個陣元發(fā)射到空間中，形成多頻點、多方向的同時干擾多波束。

進(jìn)而該干擾發(fā)射波束形成模型在中頻段可以寫為：

圖3 經(jīng)（N2-1）級延時的N1元陣列示意圖

其中，θ為信號方向與陣列法線間的夾角（方位角），并且θ∈Θ，Θ代表感興趣的方位角度范圍；f為射頻干擾信號經(jīng)下變頻后在中頻段所對應(yīng)的頻率，并且f∈Ω，Ω代表感興趣的中頻頻率范圍。表示號陣元與0號陣元之間由于陣元間距及相對位置差異而在中頻段產(chǎn)生的延時，表示n號抽頭相對于0號抽頭的延時，二者的表達(dá)式分別為：

式中，（xm，ym）為m號陣元的平面直角坐標(biāo)，c為光速，s為每級延時的時間間隔，fs為信號采樣頻率（這里令）。

將式（2）、式（3）代入式（1），可得：

對于壓制式干擾的波束優(yōu)化設(shè)計，其基本設(shè)計思路是在干擾總功率和波束主瓣寬度一定的情況下，對準(zhǔn)敵方探測信號的頻率和方向形成干擾波束，并約束波束的旁瓣電平（功率），使干擾功率盡可能地集中在波束的主瓣方向。

現(xiàn)假設(shè)有I個頻率和方向均不相同的單頻點雷達(dá)探測信號，要求設(shè)計一個多頻點、多方向的干擾波束對其進(jìn)行瞄準(zhǔn)式干擾?？蓪⒏蓴_總功率I等分，使分配到每個目標(biāo)頻點上的干擾功率歸一化值均等于1，相當(dāng)于附加I個等式約束，從而將干擾多波束優(yōu)化設(shè)計問題表述為：

θql，θqp分別表示第q個目標(biāo)頻點上的波束旁瓣方位角和波束主瓣方位角，fq表示第q個目標(biāo)頻點的頻率值；Θlq，Θpq，Θ分別表示第q個目標(biāo)頻點上的波束旁瓣方位角范圍、波束主瓣方位角范圍和感興趣的總體方位角范圍（注意，對于含有上標(biāo)或下標(biāo)的字母，例如Θlq，僅根據(jù)下標(biāo)q對其進(jìn)行索引，而不根據(jù)上標(biāo)進(jìn)行索引，下文中類似），L，P，M1則分別表示3個方位角范圍內(nèi)的離散化柵格點數(shù)；Ωq，Ω分別表示波束所在的目標(biāo)頻點的頻率范圍和感興趣的總體頻率范圍，Q，M2則分別表示兩個頻率范圍內(nèi)的離散化柵格點數(shù)。因為所有目標(biāo)信號均為單頻點信號，所以目標(biāo)信號的個數(shù)即為目標(biāo)頻點頻率范圍內(nèi)的離散化柵格點數(shù)，即I=Q。

這里應(yīng)注意：因為干擾多波束的形成實質(zhì)上屬于發(fā)射多波束形成，因此，可以利用前期偵查所得的先驗知識信息，確定需要形成干擾波束的多個目標(biāo)頻點和對應(yīng)的目標(biāo)方向，然后同時在這多個目標(biāo)頻點上對波束的旁瓣進(jìn)行Lk范數(shù)準(zhǔn)則約束，對波束的主瓣進(jìn)行等式約束。對于非目標(biāo)頻點的頻率范圍，即（Ω-Ωq），則認(rèn)為對該范圍內(nèi)的所有頻點并不分配干擾功率，因此，不會形成干擾波束，從而大大降低了優(yōu)化過程中的運算量。

對于問題（5），k的取值代表不同的范數(shù)準(zhǔn)則，通常k取1，2或者∞，它們分別代表干擾多波束優(yōu)化設(shè)計常用的L1范數(shù)，L2范數(shù)和L∞范數(shù)準(zhǔn)則。即：

在干擾多波束優(yōu)化設(shè)計中，當(dāng)單一范數(shù)準(zhǔn)則不能滿足實際應(yīng)用要求時，可以通過另外附加某種范數(shù)約束實現(xiàn)混合范數(shù)優(yōu)化，從而將干擾多波束設(shè)計問題表述為：

其中k1，k2取1，2或者∞，δ表示某種范數(shù)的上界。

綜上所述，干擾多波束的優(yōu)化設(shè)計問題可以由式（9）所給出的形式統(tǒng)一表述，因此，干擾多波束優(yōu)化設(shè)計的關(guān)鍵在于如何快速求解優(yōu)化問題（9）。

2 問題的SOCP形式

由矩陣?yán)碚摽芍?dāng)k≥1時，任何k-范數(shù)球都是凸的，因此，問題（6）～問題（9）都是典型的凸優(yōu)化問題，可以方便地轉(zhuǎn)化為SOCP問題進(jìn)行求解。本節(jié)將給出問題（7）的L2范數(shù)準(zhǔn)則條件下干擾多波束優(yōu)化設(shè)計的SOCP形式。

取k=2，即對多個目標(biāo)頻點上的波束旁瓣進(jìn)行L2范數(shù)準(zhǔn)則約束，對波束主瓣進(jìn)行等式約束。引入輔助變量ξ，則問題（7）與下述問題等價：

并且當(dāng)k=1時，定義一維二階錐為cone1={t|t∈R，0≤t}。

現(xiàn)對旁瓣功率約束的L2范數(shù)誤差進(jìn)行展開可以得到：

同理，將主瓣功率的約束條件也寫成SOCP形式：

因此，問題（11）的SOCP形式為：

對于其他準(zhǔn)則約束條件下的設(shè)計問題，其SOCP形式的數(shù)學(xué)推證過程與以上類似，這里省略。

3 仿真分析

設(shè)計要求：假設(shè)現(xiàn)有3個頻率和方向均不相同的單頻點雷達(dá)探測信號，它們的來波方位角分別為θ1=40°，θ2=90°，θ3=140°，射頻頻率分別為f1'=2 GHz，f2'=1.9 GHz，f3'=2.1 GHz，經(jīng)本振頻率為fL=1.8 GHz的變頻器進(jìn)行下變頻處理，搬移到中頻進(jìn)行處理時，對應(yīng)的中頻頻率分別為f1=200 MHz，f2=100 MHz，f3= 300 MHz，要求設(shè)計一個多頻點、多方向的干擾波束對上述多部雷達(dá)進(jìn)行同時干擾。

設(shè)計準(zhǔn)則：L2范數(shù)準(zhǔn)則。

仿真參數(shù)：設(shè)定感興趣的總體方位角范圍為Θ=［0°，180°］，其中的方位角離散化柵格為180，即方位角離散化柵格點數(shù)M1=181；設(shè)定感興趣的中頻段頻率范圍為Ω=［0，400 MHz］，其中的頻率離散化柵格為100，即頻率離散化柵格點數(shù)M1=101；分別用三組不同的36元陣列天線形成發(fā)射波束，即N1=36，其中第1組為一個均勻布陣的36元面陣，另外兩組為兩個隨機布陣的36元面陣；每個陣元的信號分別進(jìn)行二級延時，即各陣元的抽頭數(shù)N2=3；信號處理的帶寬B=maxΩ=400 MHz，采樣頻率fs=800 MHz，光速c=3×108m/s，陣元間隔d=0.5=0.5；若將主瓣零點波束寬度的預(yù)先約束設(shè)定為θm=20°，則波束主瓣方位角范圍］=［θq-10°，θq+10°］，離散化后的θqp=θq-10°，θq-9°，…，θq+10°，離散化柵格點數(shù)P=21；同理，波束旁瓣方位角范圍Θql=［0，θq-10°）∪（θq+10°，180°］，離散化后的θql=0，1°，…，θq-11°，θq+11°，θq+12°，…，180°，離散化柵格點數(shù)L=160；目標(biāo)頻點的頻率范圍Ωq={fq|q=1，2，…，Q}，Q=I=3。

仿真環(huán)境：Intel（R）Core（TM）i3 CPU 550@ 3.20 GHz。

設(shè)計結(jié)果：均勻布陣的36元面陣陣元位置坐標(biāo)如圖4所示，其同時數(shù)字多波束干擾的波束形成效果如圖5所示，波束性能指標(biāo)如表1所示。

圖4 均勻布陣的36元面陣陣元位置坐標(biāo)圖

圖5 同時數(shù)字多波束干擾的波束形成效果圖（均勻布陣）

表1 L2范數(shù)準(zhǔn)則下的干擾多波束性能指標(biāo)（均勻布陣）

第1組隨機布陣的36元面陣陣元位置坐標(biāo)其同時數(shù)字多波束干擾的波束形成效果如下頁圖6、圖7所示，波束性能指標(biāo)如表2所示。

第2組隨機布陣的36元面陣陣元位置坐標(biāo)，其同時數(shù)字多波束干擾的波束形成效果如下頁圖8、圖9所示，波束性能指標(biāo)如表3所示。

圖6 第1組隨機布陣的36元面陣陣元位置坐標(biāo)圖

圖7 同時數(shù)字多波束干擾的波束形成效果圖（第1組隨機布陣）

表2 L2范數(shù)準(zhǔn)則下的干擾多波束性能指標(biāo)（第1組隨機布陣）

圖8 第2組隨機布陣的36元面陣陣元位置坐標(biāo)圖

圖9 同時數(shù)字多波束干擾的波束形成效果圖（第2組隨機布陣）

表3 L2范數(shù)準(zhǔn)則下的干擾多波束性能指標(biāo)（第2組隨機布陣）

結(jié)果分析：比較表1～表3可知，第2組隨機布陣時的干擾多波束性能指標(biāo)總體優(yōu)于均勻布陣時的干擾多波束性能指標(biāo)，而均勻布陣時的性能指標(biāo)總體優(yōu)于第1組隨機布陣時的性能指標(biāo)，這是因為陣列中各個陣元的隨機布置導(dǎo)致延時精確補償?shù)碾y度較均勻布陣有了一定的改變。根據(jù)大量實驗表明，在其他條件相同的情況下，均勻布陣方式往往并不是陣列中陣元布置的最佳方式，因此，必然存在部分非均勻的布陣方式，使得該同時數(shù)字多波束干擾優(yōu)化設(shè)計的波束形成效果優(yōu)于均勻布陣。同時，部分非均勻的布陣方式也可能使得波束形成的效果變差。在算法優(yōu)化求解能力一定的情況下，若其波束性能指標(biāo)優(yōu)于均勻布陣，則說明該次隨機布陣的結(jié)果使得延時精確補償?shù)碾y度降低，波束形成效果得到了一定的改善；若其波束性能指標(biāo)劣于均勻布陣，則說明該次隨機布陣的結(jié)果使得延時精確補償?shù)碾y度升高，波束形成效果有所下降。此外，該結(jié)果還可以說明，在其他條件相同的情況下，必然存在一組陣元位置的最優(yōu)布置方案，使得該同時數(shù)字多波束干擾優(yōu)化設(shè)計的波束形成效果最佳。如何尋找這一最優(yōu)配置方案也將成為下一步的重點研究內(nèi)容之一。

同時，還可以發(fā)現(xiàn)，在3組仿真參數(shù)設(shè)定時，均期望將主瓣的零點波束寬度分別約束在20°左右，但實際仿真效果往往略大于預(yù)設(shè)值，這是因為在波束優(yōu)化設(shè)計問題中，旁瓣功率和主瓣寬度是一對矛盾的設(shè)計指標(biāo)，特別是對于多頻點、多方向的波束優(yōu)化設(shè)計，約束旁瓣功率往往會導(dǎo)致主瓣寬度的展寬。對于干擾波束形成來說，較寬的波束主瓣寬度必然會帶來一定的功率浪費，但在干擾功率允許的情況下，寬波束較窄波束也存在一定的優(yōu)勢：當(dāng)干擾目標(biāo)在做高速度或大角度機動時，寬波束可以使目標(biāo)不易逃脫干擾波束的空域覆蓋范圍，也就是降低了對干擾波束指向變化靈活性的要求，從而進(jìn)一步保證了干擾的總體效益。

綜上所述，由主瓣零點波束寬度、主瓣半功率點波束寬度和波束主旁瓣比3個指標(biāo)可知：雖然隨機布陣下的波束形成設(shè)計結(jié)果較均勻布陣時有一定的波動，但總體的設(shè)計結(jié)果基本滿足了期望實現(xiàn)的干擾多波束覆蓋空域范圍、干擾功率有效利用率和主旁瓣功率比等性能指標(biāo)，達(dá)到了優(yōu)化設(shè)計的預(yù)期要求。

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于SOCP的干擾多波束優(yōu)化設(shè)計方法，成功解決了隨機布陣條件下，“一部干擾機同時干擾多部雷達(dá)”技術(shù)中的同時多波束形成問題。首先給出了在隨機布陣條件下干擾多波束優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)描述，其次以范數(shù)準(zhǔn)則為例將隨機布陣條件下干擾多波束設(shè)計問題的解析形式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的SOCP形式，然后可以利用現(xiàn)有的原-對偶內(nèi)點算法工具箱SeDuMi或者CVX進(jìn)行求解。最后通過仿真表明，該方法為隨機布陣條件下的數(shù)字干擾多波束設(shè)計提供了一種思路，在實際應(yīng)用過程中還可以采用混合范數(shù)方法，將多個約束條件納入到單個優(yōu)化問題當(dāng)中，進(jìn)而達(dá)到兼顧干擾多波束各個設(shè)計指標(biāo)的目的，應(yīng)用十分靈活和方便。

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Optimal Design Method of Synchronous Digital Multiple Beamforming for Jamming in Condition of Stochastic Embattling

LEI Lei，ZHOU Qing-song，MAO Yun-xiang，ZHANG Jian-yun
（Electronic Engineering Institution，Hefei 230037，China）

The present beamforming methods for radar jamming are subject to many flaws such as low efficiency，difficulty to form synchronous multi-beam jamming，inapplicability to stochastic embattling.In this paper，a new beamforming method based on SOCP is proposed for the synchronous multi-beam radar jamming.First，the optimal design problems in the condition of stochastic embattling can be formulated into the mathematical description under different norm criteria.Then，translate the mathematical description of synchronous multiple beamforming for jamming in the condition of stochastic embattling into a SOCP form under the norm criteria.Moreover，this SOCP problem can be solved effectively via CVX or SeDuMi.Last，the related constraints simulation results show that the approach can solve the design problem efficiently.

stochastic embattling，second-order cone programming，digital beamforming，synchronous multi-beam

TN974

A

1002-0640（2015）06-0119-06

2014-05-11

2014-06-20

雷 磊（1990- ），男，碩士研究生。研究方向：雷達(dá)對抗。