胡亮兵

(南京電子技術(shù)研究所,南京 210039)

工程與應用

基于凸優(yōu)化的最優(yōu)失配濾波器設(shè)計方法

胡亮兵

(南京電子技術(shù)研究所,南京 210039)

研究提出了基于凸優(yōu)化的最優(yōu)峰值旁瓣電平失配濾波器設(shè)計方法。與傳統(tǒng)的迭代最小二乘方法相比,凸優(yōu)化方法具有更優(yōu)越的性能即：不僅能夠控制失配濾波器的信噪比損失,而且能夠保證收斂到全局最優(yōu)的峰值旁瓣電平。仿真實驗表明,增加失配濾波器長度,以微小的信噪比損失,凸優(yōu)化方法能夠得到理想的峰值旁瓣電平；通過選擇匹配濾波器與失配濾波器的相似程度參數(shù)可以有效控制信噪比損失。

失配濾波器設(shè)計；最優(yōu)峰值旁瓣電平；信噪比損失可控；凸優(yōu)化

0 引 言

脈沖壓縮信號解決了雷達威力和距離分辨率之間的矛盾，因而被廣泛地作為雷達的發(fā)射波形。但是脈沖壓縮信號存在時域旁瓣高的問題。為了抑制脈沖壓縮信號的旁瓣電平，通常在接收端設(shè)計發(fā)射信號的失配濾波器[1-7]。失配濾波器的核心思想是以損失信噪比或增加濾波器系數(shù)長度為代價換取更低的旁瓣電平。

設(shè)計失配濾波器的準則有極小化積分旁瓣電平和極小化峰值旁瓣電平兩種。在雷達多目標不同信噪比檢測情況下，往往采用極小化峰值旁瓣電平準則。目前，設(shè)計最優(yōu)峰值旁瓣電平失配濾波器的普遍方法是迭代加權(quán)最小二乘方法[2-5]。但是，該方法在理論上不能保證全局最優(yōu)性，并且在實際的迭代過程中如果參數(shù)設(shè)置不當還會出現(xiàn)矩陣求逆奇異的現(xiàn)象，另外對失配濾波器的信噪比損失沒有辦法進行控制。研究根據(jù)在信號已知的情況下，脈沖壓縮的輸出是由失配濾波器的線性函數(shù)，以及信噪比損失程度來表征，從而，提出了一種基于凸優(yōu)化的最優(yōu)峰值旁瓣電平設(shè)計方法，克服了迭代最小二乘法數(shù)值計算出現(xiàn)異常以及不能保證收斂到全局最優(yōu)解的問題。

研究給出了失配濾波器的相關(guān)數(shù)學符號和定義；并提出了用凸優(yōu)化設(shè)計最優(yōu)峰值旁瓣電平失配濾波器的方法；設(shè)計仿真實驗，比較迭代最小二乘方法和凸優(yōu)化兩種設(shè)計方法，并研究了在信噪比損失一定的情況下失配濾波器長度與峰值旁瓣電平之間的關(guān)系，以及在失配濾波器長度一定的情況下，失配濾波器和匹配濾波器的相似程度參數(shù)與信噪比損失、峰值旁瓣電平的關(guān)系。

1 數(shù)學符號和定義

定義碼長為N的信號波形s（復數(shù)）與其系數(shù)長度為P的濾波器h（復數(shù)）分別為:

式中CN表示N維復數(shù)，||·||2表示2-范數(shù)，式（1）的右邊等式表示對s進行能量歸一化。

為了數(shù)學形式的簡單以及能夠采用矩陣形式表達數(shù)學公式，將序列s首尾補充相同的零擴展成長度為P的向量:

為了能夠控制失配濾波器的信噪比損失，我們引入?yún)?shù)e來約束信號的匹配濾波器與其失配濾波之間的相似程度:

式中h0為信號的匹配濾波器:

其中（·）*表示共軛，當相似程度參數(shù)e越大，對失配濾波器與匹配濾波器相似性約束更加放寬，信噪比損失就可以變得越大（對信噪比損失要求放寬越大，峰值旁瓣電平就可以優(yōu)化地更低）。

則失配濾波器的輸出y為:

由于采用最小化峰值旁瓣電平準則，權(quán)值選取策略為:主瓣權(quán)值取0，旁瓣權(quán)值取1。對于旁瓣電平加權(quán)策略，此方法要比迭代加權(quán)最小二乘法簡單，因為后者的權(quán)值是不斷更新的[2-5]:

其中（·）（k）表示第k次迭代的值，c為一常數(shù)，它的作用是為了避免數(shù)值計算異常現(xiàn)象。在仿真實驗中如何確定常數(shù)c是一件非常需要經(jīng)驗和技巧并不斷試探的工作。值得特別說明的是線性調(diào)頻信號失配濾波器的主瓣和副瓣界定:將匹配濾波器的零點主瓣加上一定的保護距離單元作為失配濾波器的主瓣區(qū)域，剩余的則為副瓣區(qū)域，其中保護距離單元的個數(shù)通過實驗逐漸調(diào)整來確定。

為了評價最優(yōu)失配濾波器性能，定義峰值旁瓣電平PSL:

和信噪比損失SNRL:

其中（·）H表示共軛轉(zhuǎn)置，式（12）要求信號和濾波器系數(shù)要能量歸一化。

2 最優(yōu)峰值旁瓣電平濾波器的設(shè)計方法

定義了相關(guān)數(shù)學符號后，建立如下數(shù)學模型:

式（13）和式（14）表示限定信噪比損失在一定范圍內(nèi)，極小化峰值旁瓣電平求解失配濾波器h。

以上數(shù)學模型為凸優(yōu)化問題，因為式（14）定義了一個凸集；并且是h的線性函數(shù)，根據(jù)對變量的線性函數(shù)進行求模運算后的函數(shù)仍然是凸函數(shù)，以及對多個凸函數(shù)進行求最大運算后的函數(shù)仍然是凸函數(shù)的性質(zhì)，得出的凸函數(shù)[8]。

上述凸優(yōu)化問題可以借助Matlab工具包CVX[9]（內(nèi)含高效求解內(nèi)點法 SeDuMi[10]）或者YALMIP[11]來解決。通過優(yōu)化可以得到濾波器的全局最優(yōu)數(shù)值解hopt。

3 仿真試驗

3.1 Barker碼失配濾波器設(shè)計

根據(jù)數(shù)學模型（13）和信噪比損失約束條件（14），利用CVX求解13位Barker碼當P=3×13，5×13，7×13，9×13的失配濾波器。表1給出了用本研究方法設(shè)計的結(jié)果如表1所示，并與文獻[4]的迭代最小二乘方法進行了比較。從表中可以看出，當濾波器長度P等于3倍碼長時，兩種方法結(jié)果一樣，當?shù)扔?，7和9倍時，凸優(yōu)化方法要優(yōu)于文獻[4]的方法。

表1 13位Barker碼失配濾波器設(shè)計結(jié)果

失配濾波器長度為9倍信號長度時的脈壓結(jié)果如圖1所示。由圖可知，采用設(shè)計失配濾波器的信噪比損失SNRL比較?。▋H損失0.212 dB），峰值旁瓣電平低并且距離旁瓣特別平坦。

圖1 濾波器長度為5x13的脈壓輸出

當信噪比損失保持恒定的情況下，PSL隨濾波器長度的變化如圖2所示，由圖可知，在保持e= 0.5時，SNRL基本保持不變，但是PSL隨著濾波器長度P的增加而單調(diào)遞減，可見增加濾波器長度可以提高PSL。但是當P增加到一定的程度，濾波器計算量變大，因此考慮實際問題時，需要折中選擇濾波器長度P，使得計算量與旁瓣性能達到一個合適的平衡點。

圖2 PSL與濾波器長度的關(guān)系

3.2 線性調(diào)頻信號失配濾波器設(shè)計

仿真條件:線性調(diào)頻信號的帶寬BW為1 MHz，脈沖寬度為50 us，信號采樣率為2 MHz，失配濾波器長度P與信號長度N相等，即P=N=100，偏離脈壓主瓣峰值左右9個距離單元以上的脈壓值被認為是副瓣，設(shè)其加權(quán)值為1。上述信號的實部波形如圖3所示。

圖3 1 MHz帶寬50 us脈寬的線性調(diào)頻信號

e=0.5時的結(jié)果如圖4所示。由圖可知，在失配濾波器長度等于匹配濾波器長度時，通過損失微小的信噪比（0.635 dB），可以極大改善峰值旁瓣電平（比匹配時降低22 dB多），從而說明該研究提出方法的有效性。

當P一定時，SNRL和PSL隨e的變化關(guān)系如圖5所示。由圖中的兩條曲線可知，當e增大時，SNRL越來越大，PSL越來越小；SNRL變化緩慢，PSL在e＜0.3時變化劇烈。在實際的設(shè)計中，選擇合適的e以折中信噪比損失與峰值旁瓣性能，一個不錯的選擇是PSL開始變化緩慢所對應的e值，對于本例可以選擇e=0.3，此時PSL=-34.4 dB，SNRL=0.404 dB。

圖4 線性調(diào)頻信號的失配濾波器

圖5 當P一定時，SNRL和PSL隨e的變化關(guān)系

需要指出的是，該研究方法可以通過調(diào)節(jié)e控制信噪比損失，而這一點對于迭代加權(quán)最小二乘法來說并不容易實現(xiàn)，它跟迭代次數(shù)和旁瓣加權(quán)策略有關(guān)。

4 結(jié) 語

[1]ACKROYD H.M.，GHANI F.Optimum Mismatched Filters for Sidelobe Suppression[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic.1973.

[2]BADEN J.M.ANDCOHENM.N.Optimal Peak Sidelobe Filters for Biphase Pulse Compression[J].IEEE International Radar Conference.1990.

[3]NUNN C.Constrained Optimization Applied to Pulse Compression Codes，and Filters[J].IEEE International Radar Conference.2005:190-194.

[4]HU C.H，LIU R.B.ZHOU Q.F.Mismatche-Filter Design for Biphase-coded Pulse for High Frequency Untrasound Imaging[J].IEEE Ultrasonics Symposium. 2006.

[5]GRIEPR.K.，RITCEY A.J.，Burlingame J.J..Poly-Phase Codes and Optimal Filters for Multiple User Ranging[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems.1995，31（2）:752-767.

[6]HU LIANGBING，LIU HONGWEI.，F(xiàn)ENG DAZHENG. Optimal Mismatched Filter Bank Design for MIMO Radar via Convex Optimization[C].Waveform Diversity Conference，Canada.2010.

[7]BI JINGYING.Mismatched Filter Design for Radar Systems[M].Germany:Shaker Verlag Gmbh，Germany. June，2013.

[8]STEPHEN BOYD.Convex Optimization[M].UK:Cambridge University Press.2004.

[9]GRANTM AND BOYD S.CVX:Matlab Software for Disciplined Convex Programming.Version2.1，Build1077.

[10]STURM J.F.Using SeDuMi1.02，A MATLAB Toolbox for Optimization over Symmetric Cones.Optim.Meth. Softw.1999:11-12.625-653.

[11]J.LOFBERG.YALMIP:A Toolbox for Modeling and Optimization in Maltab.Release 20140221，http://users. isy.liu.se/johanl/yalmip.2014.

研究分析了最優(yōu)峰值旁瓣電平失配濾波器的設(shè)計問題，即如何通過失配濾波的方法改善信號波形的脈沖壓縮性能?；谕箖?yōu)化提出了最優(yōu)失配濾波器設(shè)計方法，并通過仿真實驗與已有的迭代加權(quán)最小二乘方法進行了比較，結(jié)果表明凸優(yōu)化設(shè)計方法性能更加優(yōu)越:不僅可以控制信噪比損失，而且可以得到更低的峰值旁瓣電平。

Optimal Peak Side-lobe Level M ismatched Filter Design M ethod via Convex Optim ization

HU Liang-bing
（Nanjing Research Institute of Electronics Technology，Nanjing 210039，China）

In this paper，a mismatched filter design method based on convex optimization is proposed. Compared with existing iterativeweighted least squaresmethod，the convex optimizationmethod has superior performance.It can not only control the SNR loss，but also geta lower peak side-lobe level.Simulation results show that by increasing the coefficient length ofmismatched filter，the proposed methods can further improve the peak sibe-lobe levelwith a little SNR loss.Moreover，SNR loss can be controlled via selecting a parameter called degree of similarity between matched filter and mismatched filter.

Mismatched filter design；peak side-lobe level；convex optimization

TN713

A

1673-5692（2015）02-209-04

10.3969/j.issn.1673-5692.2015.02.018

2015-01-28

2015-03-20

胡亮兵(1982—),男,浙江永嘉人,博士,工程師,主要研究方向為MIMO雷達和認知雷達探測技術(shù)；

E-mail：huliangbing2000@163.com