王樂慈

(中國地質(zhì)大學(xué)(北京)數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

淺析用泛函模型解決礦產(chǎn)資源開發(fā)利用問題

王樂慈

(中國地質(zhì)大學(xué)(北京)數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

礦產(chǎn)資源合理利用是保障國家經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展的基本要求，如何有效利用礦產(chǎn)資源是經(jīng)濟(jì)問題也是管理問題。本文首先以礦產(chǎn)資源開發(fā)利用的最優(yōu)化為目標(biāo)，以微分方程和泛函變分的方法相結(jié)合，考慮儲(chǔ)量、價(jià)格、采掘率、開采成本等要素，構(gòu)建了一個(gè)泛函最大值模型來量化，從而用礦產(chǎn)資源開采模型確定不可再生礦產(chǎn)資源的最優(yōu)采掘率的方案，即在礦產(chǎn)市場價(jià)格不低于一個(gè)與時(shí)間相關(guān)的函數(shù)值時(shí)，用最大開采率開采，否則停止開采。接著文章討論了建立數(shù)學(xué)模型對礦產(chǎn)資源問題進(jìn)行量化分析的局限性，闡述了運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決礦產(chǎn)資源問題的思考，提出了礦產(chǎn)資源問題與數(shù)學(xué)方法相結(jié)合的有關(guān)建議。

礦產(chǎn)資源；數(shù)學(xué)方法；變分模型

礦產(chǎn)資源是人類生存與發(fā)展的物質(zhì)基礎(chǔ)，礦產(chǎn)資源是不可再生的資源，我國80%的工業(yè)制成品原料和95%的能源來自礦產(chǎn)資源，全國每年開采礦石70多億t。我國的礦產(chǎn)資源種類比較豐富，部分礦種儲(chǔ)量居世界前列，但人均占有量僅為世界水平的58%。2013年我國原煤產(chǎn)量36.8億t，居世界第一位；原油產(chǎn)量為2.09億t，居世界第四位；全國天然氣產(chǎn)量1170.5億m3，居世界第六位。粗鋼產(chǎn)量為7.8億t，占世界產(chǎn)量的一半。但是，我國主要礦產(chǎn)品消費(fèi)對外依存度持續(xù)上升，據(jù)中國石油集團(tuán)經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院發(fā)布了《2014年國內(nèi)外油氣行業(yè)發(fā)展報(bào)告》數(shù)據(jù)顯示：2014年我國石油凈進(jìn)口約為3.08億t，石油對外依存度達(dá)到59.5%；天然氣進(jìn)口量為590億m3，對外依存度上升至32.2%；2014年，中國進(jìn)口鐵礦石9.33億t，中國鐵礦石的對外依存度進(jìn)一步提高到78.5%。因此合理利用礦產(chǎn)資源是保障國家經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展的基本要求。節(jié)約和有效利用礦產(chǎn)資源，是經(jīng)濟(jì)問題也是管理問題，本文嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來解決礦產(chǎn)資源開發(fā)利用的最優(yōu)化問題，同時(shí)對將數(shù)學(xué)分析方法應(yīng)用于解決礦產(chǎn)資源問題提出一定的思考和建議。

1 礦產(chǎn)資源開發(fā)利用的可量化分析

1.1 礦產(chǎn)資源開發(fā)利用的最優(yōu)化目標(biāo)

對于礦產(chǎn)資源的開發(fā)與利用，首先需要考慮的是礦產(chǎn)資源的不可再生性。礦產(chǎn)資源會(huì)面臨枯竭，因此必須進(jìn)行開采管理與強(qiáng)度控制，防止資源過度開采，以達(dá)到可持續(xù)發(fā)展的目標(biāo)；其次需要考慮的是礦產(chǎn)資源開發(fā)利用的經(jīng)濟(jì)性。礦產(chǎn)資源開發(fā)利用的主體是礦山企業(yè)，礦山企業(yè)的最優(yōu)化行為是在既定的價(jià)格水平上，確定礦產(chǎn)資源的開采與否，從而實(shí)現(xiàn)利潤最大化。以礦產(chǎn)資源儲(chǔ)量、礦產(chǎn)品的價(jià)格、采掘率、以及開采成本等作為礦產(chǎn)資源經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的基本構(gòu)成因素，探討如何在不破壞環(huán)境可持續(xù)發(fā)展的前提下，通過對一些變量加以控制，例如采掘率，創(chuàng)造最大收益。

1.2 礦產(chǎn)資源開采模型構(gòu)建

1.2.1 基礎(chǔ)模型

建立礦產(chǎn)資源開采數(shù)據(jù)模型進(jìn)行分析，模型的基本思路是將微分方程和泛函變分方法相結(jié)合，在簡化的條件下，建立一個(gè)泛函最大值模型來量化，從而確定最優(yōu)采掘率的方案。

首先做出假設(shè)：假設(shè)礦產(chǎn)資源的可采儲(chǔ)量，采掘率與礦產(chǎn)資源的價(jià)格均為與時(shí)間有關(guān)的函數(shù)，分別設(shè)為x(t)、q(t)、p(t)；假設(shè)政府特殊政策和稅金不考慮在內(nèi)，總收益j(t)僅與價(jià)格p和貼現(xiàn)率δ有關(guān)；假設(shè)自然災(zāi)害等特殊情況造成的經(jīng)濟(jì)損失不考慮在內(nèi)。

下面我們求解模型：設(shè)x=x(t)為t時(shí)刻某礦區(qū)的礦產(chǎn)資源可采儲(chǔ)量，其初始可采儲(chǔ)量為x(0)=R>0。已知，q=q(t)表示與采掘時(shí)間有關(guān)的采掘率，于是建立如式(1)所示線性微分方程的柯西問題。

(1)

假設(shè)t1時(shí)刻礦石開發(fā)枯竭，即x(t1)=0，而最大采掘率設(shè)為qmax。該方程為礦物可采儲(chǔ)量的簡化的數(shù)學(xué)模型。

設(shè)該種礦石的購買價(jià)格為p=p(t)，假設(shè)p(t)是已知的，礦山管理者的目標(biāo)是使收益最大，設(shè)貼現(xiàn)率為δ>0，則時(shí)刻t的收益j=j(t)滿足柯西問題，見式(2)。

(2)

其中j0即現(xiàn)值，解得j=j0eδt，故現(xiàn)值j0=e-δtj(t)，則對于上述開采問題，其總現(xiàn)值J1為：

1.2.2 模型結(jié)果

首先，為了求最大值，構(gòu)造哈密頓函數(shù)(式(3))。

(3)

其中γ(t)為伴隨變量。

下面根據(jù)泛函變分的最大值原理，求解滿足伴隨方程(式(4))的最優(yōu)控制方案。

(4)

若使H1達(dá)到最大值，則需要取

該結(jié)果即為最佳開采控制方案，反映了礦石市場價(jià)格與礦山開采采掘率的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)。

當(dāng)?shù)V產(chǎn)市場價(jià)格不低于γe-δt時(shí)，礦山企業(yè)用最大采掘率qmax進(jìn)行開采；而當(dāng)?shù)V產(chǎn)市場價(jià)格不足γe-δt時(shí)，停止開采。理論上，按照當(dāng)前分析結(jié)果執(zhí)行，將達(dá)到最優(yōu)化結(jié)果，既能夠有利于礦產(chǎn)資源的可持續(xù)發(fā)展，又能實(shí)現(xiàn)礦產(chǎn)企業(yè)的利潤最大化，同時(shí)還能滿足國家對礦產(chǎn)資源的需求。

1.2.3 模型優(yōu)化

上述模型是一個(gè)簡化版的模型，從礦產(chǎn)資源開采的專業(yè)角度分析，還可以將更多的因素考慮進(jìn)去，加以改善。作為補(bǔ)充，考慮采掘成本因素，即設(shè)含有因素情況下的最優(yōu)控制，假設(shè)為采掘率的單調(diào)函數(shù)(一般情況下是增函數(shù))，此時(shí)的總現(xiàn)值變?yōu)椋?/p>

其哈密頓函數(shù)為：

利用泛函變分的最大值方法可以解出：

將視為固定值，利用坐標(biāo)系畫圖方法分析上述方程，即可分析出在曲線y=c(q,t)和曲線y=[p(t)-γeδt]q相交的情況下，最優(yōu)采掘率q的確定即為曲線c(q,t)在斜率為p(t)-γeδt處的橫坐標(biāo)；其余情況采掘率q均為零。

1.3 結(jié)果分析

數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的目的是使目標(biāo)泛函即收益總現(xiàn)值的最大化，通過構(gòu)造哈密頓函數(shù)和伴隨方程，在導(dǎo)數(shù)為零取極值點(diǎn)的條件下，求得極大值即可行域內(nèi)最大值，即可求得采礦率的最優(yōu)控制。

作為可耗竭的不可再生資源，礦產(chǎn)資源的開發(fā)必須遵循可持續(xù)發(fā)展原則。構(gòu)造該數(shù)學(xué)模型是要量化地闡明，只有在礦產(chǎn)價(jià)格水平達(dá)到一定水平時(shí)，礦山企業(yè)才能夠按照一定強(qiáng)度進(jìn)行開采，從而獲得最大化的收益；而當(dāng)?shù)V產(chǎn)價(jià)格水平低于該水平時(shí)，應(yīng)停止開采工作，從而最大限度的保護(hù)礦產(chǎn)資源。

2 應(yīng)用數(shù)學(xué)模型分析礦產(chǎn)資源問題的局限性

一是假設(shè)因素對現(xiàn)實(shí)復(fù)雜情況的模擬不足。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析問題時(shí)，一般需要進(jìn)行前提假設(shè)，而假設(shè)往往會(huì)忽略一部分對整體問題影響較小或極為特殊情況的現(xiàn)實(shí)因素。雖然這些因素在假設(shè)條件成立時(shí)產(chǎn)生的影響較小或發(fā)生概率極低可以忽略，但當(dāng)數(shù)據(jù)較大或運(yùn)算次數(shù)較多時(shí)，被忽略的因素可能會(huì)在一定程度上對數(shù)學(xué)模型分析結(jié)果造成干擾，影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。

二是誤差因素對模型結(jié)果準(zhǔn)確性的影響。數(shù)值計(jì)算時(shí)所產(chǎn)生的誤差是一個(gè)影響分析結(jié)果準(zhǔn)確性的主要因素。理論上來說，利用數(shù)值分析中的算法改進(jìn)模型，以此可以減少誤差，但一般情況下，誤差因素是沒有辦法完全消除的。

三是數(shù)學(xué)模型使用范圍的局限性。每一個(gè)數(shù)學(xué)模型都有一定的適用范圍與局限性，當(dāng)遇到的現(xiàn)實(shí)問題條件與所使用的數(shù)學(xué)模型條件不完全相符時(shí)，需要對模型進(jìn)行調(diào)整與改進(jìn)，使其盡量貼近現(xiàn)實(shí)因素，而不能完全地套用模型中的方法。數(shù)學(xué)模型不是完美的，會(huì)有其系統(tǒng)自身的局限性，無法直接套用特定的模型解答現(xiàn)實(shí)問題，只能用模型來近似模擬出所期望的現(xiàn)實(shí)情況，從而獲得最貼近的答案。如上文所述建立的微分模型可以給出一個(gè)較優(yōu)化的方案，但不一定是最優(yōu)方案，只是能夠在一定程度上提供參考和建議。

四是主觀因素對數(shù)學(xué)模型客觀性的影響。數(shù)學(xué)建模分析師對礦產(chǎn)開發(fā)專業(yè)的認(rèn)知熟悉程度、對一些因素假設(shè)的主觀認(rèn)知判斷等主觀因素，將對于建立數(shù)學(xué)模型和分析的結(jié)果產(chǎn)生重要的影響。因此，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型分析礦產(chǎn)資源問題還是存在一定局限性的。

3 運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決礦產(chǎn)資源問題的意義

在礦產(chǎn)資源研究領(lǐng)域，許多研究者往往習(xí)慣于運(yùn)用定性方法來分析問題，主要依靠分析者的直覺、經(jīng)驗(yàn)及主觀的理解，依靠分析對象過去和現(xiàn)在的延續(xù)狀況及最新的信息資料，對分析對象的性質(zhì)、特點(diǎn)、發(fā)展變化規(guī)律做出判斷，用文字闡述問題大體的解決辦法，對于需要具體解決辦法的問題只能進(jìn)行政策性或措施性的解決方法描述。

應(yīng)用數(shù)學(xué)定量的方法可以通過運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述，依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)模型計(jì)算出分析對象的各項(xiàng)指標(biāo)及其數(shù)值，具有更高的準(zhǔn)確性和嚴(yán)密性，能夠使數(shù)據(jù)與方法相結(jié)合，使構(gòu)造出的模型更適應(yīng)于解決問題，能夠在更精確更完善的層面對問題進(jìn)行分析和解答，使解答過程如數(shù)學(xué)計(jì)算般嚴(yán)密。

全面的分析方法應(yīng)該是把定量分析和定性分析結(jié)合的分析方法。定性分析與定量分析是統(tǒng)一的相互補(bǔ)充的。定性分析是定量分析的基本前提，沒有定性的定量分析是盲目的分析；定量分析使定性更加科學(xué)、準(zhǔn)確，定量分析能夠在更具體的方面給出較為精確的評(píng)價(jià)，給模糊的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)賦予了具體的數(shù)字描述，定量分析可以使定性分析得出深入的結(jié)論。與此同時(shí)，定量分析則必須建立在定性預(yù)測基礎(chǔ)上，二者相輔相成，定性是定量的依據(jù)，定量是定性的具體化，二者結(jié)合起來靈活運(yùn)用才能取得最佳效果。

在技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究領(lǐng)域，技術(shù)經(jīng)濟(jì)分析方法已經(jīng)非常完善和成熟。有學(xué)者統(tǒng)計(jì)，近幾年所涉及到的技術(shù)經(jīng)濟(jì)分析方法大體約二十余種。主要包括：傳統(tǒng)成本效益分析及在此基礎(chǔ)上發(fā)展的全生命周期分析法、實(shí)物期權(quán)法、蒙特卡洛模擬，將定性分析轉(zhuǎn)化成定量數(shù)據(jù)的群組決策法、層次分析法、模糊綜合評(píng)價(jià)法，運(yùn)用權(quán)重分析的熵值法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，可進(jìn)行最優(yōu)分析的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法、灰色關(guān)聯(lián)分析、多屬性決策法、多目標(biāo)決策法、模擬退火算法和支持向量機(jī)法，能夠簡化復(fù)雜問題的指數(shù)分解法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、因子分析法和系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，多種方法集成的AFAD法、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和灰色模糊聚類法等等。

數(shù)學(xué)分析方法已經(jīng)在礦產(chǎn)資源勘查、開發(fā)、利用以及礦產(chǎn)經(jīng)濟(jì)效益方面的應(yīng)用頗為廣泛。用回歸分析和灰度預(yù)測模型進(jìn)行礦產(chǎn)資源儲(chǔ)量或需求量以及其他方面的模擬和預(yù)測，對發(fā)展趨勢的模擬可以為政府部門的政策制定提供依據(jù)和參考。運(yùn)用層次分析法來評(píng)判各項(xiàng)指標(biāo)及總體結(jié)構(gòu)，常被學(xué)者用來評(píng)價(jià)相關(guān)體系結(jié)構(gòu)。除此之外，各種數(shù)學(xué)模型被經(jīng)常運(yùn)用來進(jìn)行優(yōu)化分析，如上述的泛函最大值模型的使用等。

[1] 中華人民共和國國土資源部.2014中國礦產(chǎn)資源報(bào)告[M].北京：地質(zhì)出版社，2014：15.

[2] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型 [M].第三版.北京：高等教育出版社，2003.

[3] 呂薇，沈恒超.技術(shù)經(jīng)濟(jì)分析方法發(fā)展綜述[R].北京.國務(wù)院發(fā)展中心調(diào)查研究報(bào)告專刊20期，2014.

Simply analysis of using function model to solve the problems of exploiting and utilizing mineral resources

WANG Le-ci

(School of Science，China University of Geosciences( Beijing)，Beijing 100083，China)

The rational utilization of mineral resources is a fundamental requirement to guarantee the sustainable economic development of our country，how to utilize mineral resources effectively is a problem in both the aspects of economy and management.In this paper，we firstly put the optimization of exploiting and using mineral resources as the target，combined differential equation with calculus of variation，and took reserves，prices，exploiting rate and cost of mining into consideration to build a model of maximum of function for quantification in order to formulate the optimalscheme of exploiting rate：If the price of ore market is higher than a function value that related with time，we should exploit it with the maximum exploiting amount，otherwise stop mining.Next we discussed the limitation of building mathematical model to analyze the problems of mineral resources，expounded thinking of using mathematical method to solve these problems，and put forward advices of combining problems with themethod.

mineral resources；mathematical method；calculus of variation model

2014-08-04

王樂慈(1994-)，女，中國地質(zhì)大學(xué)(北京)數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2012級(jí)本科生。

F407.1

A

1004-4051(2015)05-0046-03