李波

一類(lèi)奇異非線性Dirichlet問(wèn)題解的存在性

李波

(煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東煙臺(tái)264005)

主要采用上下解方法，并結(jié)合極大值原理證明了一類(lèi)奇異非線性Dirichlet問(wèn)題-Δu=b(x)g(u)+λa(x)f(u)，u＞0，x∈Ω，u|?Ω=0解的存在性.其中Ω為?n(n≥2)中的有界光滑區(qū)域，λ＜0，g在0處有奇性，且g'(s)＜0，s∈(0，∞)，f∈C(［0，∞)，［0，∞))∩C1((0，∞))，b，a＞0在Ω上局部H?lder連續(xù).

半線性橢圓方程;Dirichlet問(wèn)題;上下解方法

1 引言和主要結(jié)果

設(shè)Ω為?n(n≥2)中的有界光滑區(qū)域，我們考慮如下一類(lèi)奇異Dirichlet問(wèn)題

其中:λ＜0，a，b滿(mǎn)足(S1):b，a∈(Ω)，0＜α＜1，在Ω上非負(fù)非平凡;f滿(mǎn)足(f1):f∈C(［0，∞)，［0，∞))∩C1((0，∞));g滿(mǎn)足(g1):g∈C1((0，∞)，(0，∞))，，g'(s)≤0，s∈(0，∞).

問(wèn)題(1)來(lái)自于研究非牛頓流體，黏滯流體的邊界層現(xiàn)象，化學(xué)多項(xiàng)催化劑以及熱傳導(dǎo)電子材料等物理現(xiàn)象，見(jiàn)文獻(xiàn)［1-5］.

目前，關(guān)于問(wèn)題(1)已經(jīng)有了大量的研究，當(dāng)λ=0時(shí)，問(wèn)題(1)退化為問(wèn)題

當(dāng)b≡1時(shí)，Crandall，Rabinowitz和Tartar［3］應(yīng)用攝動(dòng)方法和比較原理證明了問(wèn)題(2)存在唯一古典解u∈C2+α(Ω)∩C(ˉΩ).特別地，當(dāng)g(u)=u-γ，γ＞1時(shí)，Lazer和McKenna［6］利用上下解理論得出了問(wèn)題(2)存在唯一古典解，并且證明了該解有如下性質(zhì):(i)如果γ＞1，則u?C1(ˉΩ);(ii)u∈(Ω)當(dāng)且僅當(dāng)γ＜3.Zhang和Cheng［7］證明了問(wèn)題(2)在條件(s)ds＜∞下，整體解的存在唯一性.更多關(guān)于問(wèn)題(2)的解的存在唯一性的研究請(qǐng)參閱文獻(xiàn)［8-11］.

作為問(wèn)題(1)的一個(gè)特殊情形，Stuart［2］對(duì)任意的γ＞0給出了如下結(jié)論:如果p∈(0，1)，λ＞0，則問(wèn)題

至少存在一個(gè)古典解.

然后，Coclite和Palmieri［12］證明了如果p≥1，則存在ˉλ∈(0，∞)，使得問(wèn)題(3)當(dāng)λ∈［0，ˉλ)時(shí)至少存在一個(gè)古典解，當(dāng)λ＞ˉλ時(shí)沒(méi)有古典解.

最近，Zhang［13］研究了問(wèn)題(1)當(dāng)λ≥0，a，b滿(mǎn)足(S1)，f，g分別滿(mǎn)足(f1)，(g1)時(shí)古典解的存在性及解在邊界的漸近行為.

本文主要利用上下解的理論方法和極值原理證明了當(dāng)λ＜0時(shí)，問(wèn)題(1)存在古典解.定理1是本文的主要結(jié)果.

定理1設(shè)λ＜0，g滿(mǎn)足(g1)且)=0，f滿(mǎn)足(f1)且在［0，∞)遞增，f(0)=0，f(s)＞0，s＞0.a，b滿(mǎn)足(S1)在Ω上非負(fù)非平凡，假設(shè)Va∈C2+α(Ω)∩C(ˉΩ)為泊松問(wèn)題

的唯一古典解.如果泊松問(wèn)題

有唯一古典解Vb∈C2+α(Ω)∩C(ˉΩ)，則對(duì)于任意固定的λ＜0，問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)古典解uλ∈C2+α(Ω)∩C(ˉΩ).

2 解的存在性

這一節(jié)我們證明問(wèn)題(1)解的存在性.

首先考慮更一般的問(wèn)題

關(guān)于上下解方法有如下定義:

定義1一個(gè)函數(shù)u∈C2+α(Ω)∩C(ˉΩ)稱(chēng)為問(wèn)題(6)的下解，如果

定義2一個(gè)函數(shù)ˉu∈C2+α(Ω)∩C(ˉΩ)稱(chēng)為問(wèn)題(6)的上解，如果

引理1［8］設(shè)f(x，s)在Ω×(0，∞)以指數(shù)α(0＜α＜1)H?lder連續(xù)，關(guān)于變量s連續(xù)可微.假設(shè)問(wèn)題(6)在Ω上存在一個(gè)上解ˉu和一個(gè)下解u，且u≤ˉu，則問(wèn)題(6)至少存在一個(gè)解u∈C2+α(Ω)∩C(ˉΩ)，且u∈［u，ˉu］.

引理2［14］設(shè)b∈Cαloc(Ω)，非負(fù)非平凡.如果g滿(mǎn)足(g1)，在(0，∞)遞減并且slimg(s)=0，則問(wèn)題

(2)有解u0∈C2+α(Ω)∩C(ˉΩ)當(dāng)且僅當(dāng)問(wèn)題(5)存在唯一解Vb∈C2+α(Ω)∩C(ˉΩ).

下面是定理1的證明.

證明首先固定μ＞0，設(shè)uμ∈C2(Ω)∩C(ˉΩ)為問(wèn)題(1)的當(dāng)λ=μ的一個(gè)解.又設(shè)u0為問(wèn)題(2)的唯一解，因?yàn)棣耍?，則

-Δu0≥b(x)g(u0)+λa(x)f(u0)，

即u0為問(wèn)題(1)的一個(gè)上解.為了得到問(wèn)題(1)的一個(gè)下解，我們將其變形為如下等價(jià)問(wèn)題令

接下來(lái)考慮問(wèn)題:

因?yàn)閒(0)=0，顯然0為問(wèn)題(10)的一個(gè)下解.又因?yàn)棣?μ＜0，問(wèn)題

的解w為問(wèn)題(10)的一個(gè)上解.因此問(wèn)題(10)至少存在一個(gè)解v∈C2(Ω)∩C(ˉΩ).而且v＞0，x∈Ω.事實(shí)上，如果結(jié)論不成立，存在一個(gè)點(diǎn)x0∈Ω使得v(x0)=0，則存在一點(diǎn)x1∈Ω使得v(x1)=minx∈ˉΩv(x).則v (x1)=0，▽v(x1)=0且Δv(x1)≥0.另一方面，

矛盾.因此v＞0，x∈Ω.故v為問(wèn)題(9)或(1)的一個(gè)下解.

接下來(lái)證明以上得到的下解小于等于上解，即v≤u0，x∈Ω.

假設(shè)存在某點(diǎn)^x∈Ω使得v(^x)＞u0(^x).令w=v-u0，則存在~x∈Ω，使得w(~x)＞0，且Δw(~x)≤0，另一方面，

矛盾.應(yīng)用引理1，我們得到問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)古典解uλ∈C2+α(Ω)∩C(ˉΩ).

［1］Fulks W，Maybee J S.A singular nonlinear elliptic equation［J］.Osaka J Math，1960，12:1-19.

［2］Stuart C A.Existence and approximation of solutions of nonlinear elliptic equations［J］.Math Z，1976，147:53-63.

［3］Crandall M G，Rabinowitz P H，Tartar L.On a Dirichlet problem with a singular nonlinearity［J］.Comm Partial Differential E-quations，1977，2:193-222.

［4］Nachman A，Callegari A.A nonlinear singular boundary value problem in the theory of pseudoplastic fluids［J］.SIAM J Appl Math，1980，38:275-281.

［5］Gomes S N.On a singular nonlinear elliptic problem［J］.SIAM J Math Anal，1986，17:1359-1369.

［6］Lazer A C，McKenna P J.On a singular nonlinear elliptic boundary value problem［J］.Proc Amer Math Soc，1991，111:721-730.

［7］Zhang Zhijun，Cheng Jiangang.On the existence of positive solutions for a class of singular boundary value problems［J］.Nonlinear Anal，2001，44:645-655.

［8］Cui Shangbin.Existence and nonexistence of positive solutions for singular semilinear elliptic boundary value problems［J］.Nonlinear Anal，2000，41:149-176.

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［12］Coclite M M，Palmieri G.On a singular nonlinear Dirichlet problem［J］.Comm Partial Diff Equations，1989，14:1315-1327.

［13］Zhang Zhijun，Li Bo，Li Xiaohong.The exact boundary behavior of solutions to singular nonlinear Lane-Emden-Fowler type boundary value problems［J］.Nonlinear Anal:Real World Applications，2014，21:34-52.

［14］Zhang Zhijun.The asymptotic behaviour of the unique solution for the singular Lane-Emden-Fowler equation［J］.J Math Anal Appl，2005，312:33-43.

Existence of Solutions to a Singular Nonlinear Dirichlet Problem

LI Bo

(School of Mathematics and Information Science，Yantai University，Yangtai 264005，China)

By constructing a pair of sub-and super-solutions of nonlinear elliptic equation and combining with the maximum principle，we prove the existence of solutions to a singular nonlinear Dirichlet problem:-Δu=b(x)g (u)+λa(x)f(u)，u＞0，x∈Ω，u|?Ω=0.Here Ω is a bounded smooth domain in ?n(n≥2)λ＜0，g is singular at zero，and g'(s)≤0，s∈(0，∞)，and f∈C(［0，∞)，［0，∞))∩C1((0，∞))，b，a＞0 is local H?lder continuous in Ω.

semi-linear elliptic equation;Dirichlet problem;sub-and super-solution method

O175.2

A

(責(zé)任編輯 李春梅)

1004-8820(2015)03-0162-03

10.13951/j.cnki.37-1213/n.2015.03.002

2014-09-15

煙臺(tái)大學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(SX12Z03).

李波(1979-)，男，山東煙臺(tái)人，講師，碩士，研究方向?yàn)槠⒎址匠汤碚?