王 郢 沈繼俠

（武漢大學教育科學學院，湖北武漢430072）

中俄數(shù)學教科書分數(shù)習題比較研究
——以人教版和俄羅斯АСТ版為例

王 郢 沈繼俠

（武漢大學教育科學學院，湖北武漢430072）

習題作為教材的重要組成部分對鞏固深化教學內(nèi)容、訓練技能、拓展應(yīng)用能力以及教師了解學生和檢查教學效果等具有重要意義。本文從習題的數(shù)量、類型和難度三個方面，對中俄數(shù)學教材中分數(shù)習題進行定量分析。結(jié)果表明：我國教材習題總量偏多，呈現(xiàn)“冗余”現(xiàn)象；兩版教材中計算題和應(yīng)用題均占主導，操作題和開放題比例偏低；兩版教材的題型設(shè)置呈現(xiàn)個性化特征；人教版綜合難度略低。我國在教材編寫中，應(yīng)注重削減習題數(shù)量，增加變式練習；豐富習題形式，兼顧多種題型；合理創(chuàng)設(shè)習題背景，提升習題整合程度；促進習題層次化分布，科學設(shè)置難度階梯。

中國；俄羅斯；數(shù)學教科書；分數(shù)習題；定量分析

一、問題的提出

教科書是教學的重要憑借，是實現(xiàn)教育目的的重要工具。習題作為教材的重要組成部分，對鞏固深化教學內(nèi)容、訓練技能、拓展應(yīng)用能力以及教師了解學生和檢查教學效果等具有重要意義。而習題質(zhì)量的優(yōu)劣將影響學生掌握知識、運用知識的能力，在教科書中起著舉足輕重的作用。

本文選取中國和俄羅斯數(shù)學教科書中分數(shù)習題部分進行比較研究，主要基于兩點：一是分數(shù)作為數(shù)學概念中重要的一環(huán)，對數(shù)學學習具有重要意義，對整數(shù)和小數(shù)的銜接，及有理數(shù)的學習具有至關(guān)重要作用；二是俄羅斯數(shù)學在世界上享有盛譽，“他山之石，可以攻玉”，通過對中俄教材分數(shù)習題的對比分析，挖掘俄教材習題編寫中的優(yōu)長，以期為我國數(shù)學教材習題編寫提供啟示。

二、研究設(shè)計

1．研究對象

筆者在充分了解兩國教材使用情況后，分別選取了中國人教版和俄羅斯АСТ版教材中的分數(shù)內(nèi)容進行比較。其中2010年人民教育出版社出版的《義務(wù)教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》教材采用螺旋式編排方式，其分數(shù)內(nèi)容散見于各冊（見表1），筆者采集這部分習題內(nèi)容所涉及的“練習題”、“習題”、“復習題”為樣本。

俄羅斯АСТ版的數(shù)學教材書是由著名的М．И．Башмаков主編，Астрель出版社于2010年出版的，該教材在俄羅斯占據(jù)主流市場。其中以第六章“普通分數(shù)”涉及的“檢測題”（Праверьесебя）、“操練題”（Вопросыиупражнения）、“練習題”（Заданияктеме）為研究對象，具體情況見表1。

表1 中俄兩國數(shù)學教材選取的情況統(tǒng)計

圖1 中俄數(shù)學教材分數(shù)習題的綜合難度比較

2．研究的問題與方法

本文擬對兩版教材中的習題數(shù)量、類型及難度進行對比研究。首先，在習題數(shù)量和類型的比較上，采用量化分析法，對兩版教材中的習題類型及數(shù)含量進行統(tǒng)計，將所得總量和習題的科學含量進行對比，比較兩版教材各題型比例的差異；其次，在難度比較上，以華東師大鮑建生教授的綜合難度因素及水平劃分為標準從探究、背景、運算、推理、知識點含量五個維度統(tǒng)計各水平的習題量及所占的百分比，最后將利用加權(quán)平均公式得出難度五邊模型，直觀比較兩版教材的綜合難度（詳見圖1）。

三、研究的主要內(nèi)容

1．習題的數(shù)量及類型比較

考慮研究的可比性，我們以大題為標準單位，分別統(tǒng)計了中俄教材中分數(shù)習題的數(shù)量及類型。習題各類型數(shù)量及總量統(tǒng)計如表2。

表2 兩種教材的習題數(shù)量比較道

（1）數(shù)量比較。從表2發(fā)現(xiàn)，兩版教材在習題總量上差異較大，人教版顯著多于АСТ版。其原因有兩種：一是與我國教學傳統(tǒng)中重視練習的傾向有關(guān)；二是螺旋式上升式的教材編寫結(jié)構(gòu)容易造成內(nèi)容銜接上的重合，導致習題總量偏大。總量比較只能呈現(xiàn)問題的表象，探討問題實質(zhì)還需從心理學角度進行深入分析。蘇聯(lián)瑪什比茨的研究表明：“在對一個典型問題的運算形成解法之前，不同的學生需要1～22次練習不等?！保?］這就是說，“要真正掌握一個運算公式需要反復20次才能貯存運用”。［2］少于這個練習量，學生不易掌握，而超過則會加重學生負擔。為了進一步分析習題數(shù)量設(shè)置是否合理，本文對兩版教材中的知識點數(shù)量及應(yīng)設(shè)置的合理練習數(shù)量進行了統(tǒng)計，具體如表3所示。

表3 兩種教材習題知識點數(shù)量及習題的科學量比較

從表3中可以發(fā)現(xiàn)，人教版教材習題明顯超出了習題的科學量，這表明我國的習題數(shù)量設(shè)置存在不合理，呈現(xiàn)“冗余”現(xiàn)象。而俄羅斯АСТ版習題雖未達到科學量，但相差的比例明顯小于中國版本。

出現(xiàn)上述情況的原因：一是可能跟統(tǒng)計標準有關(guān)；二是可能由于受兩國數(shù)學歷史、文化的差異，兩國編者在習題數(shù)量的編排上持不同觀點。

（2）題型的比較。對兩國教材習題題型的統(tǒng)計見表4。

表4 兩種教材各題型所占比例統(tǒng)計%

從表4可以看出：

（1）計算和應(yīng)用兩類題型在中俄教材中都屬于主流題型，計算題在兩版教材中的比例分別占到了24．44%和39．61%，應(yīng)用題比例分別為39．44%和34．35%。

（2）操作和開放題型在中俄教材中的比例均很低。顯示兩國的習題設(shè)置中對開放性思維和動手操作能力的關(guān)注仍有待進一步提高。

（3）兩版教材中的題型呈現(xiàn)個性化特征。人教版中出現(xiàn)了判斷和填空題型，這是АСТ版所缺少的，АСТ版教材中設(shè)置了問答題和推理證明題目，有利于訓練學生的思維方法和路徑。

兩國數(shù)學教育都十分注重基礎(chǔ)知識和基本技能的培養(yǎng)，但客觀上可能弱化學生的操作能力，反映在習題上，就直接表現(xiàn)為開放和操作題比例相對偏小。АСТ版教材中應(yīng)用類習題的比例較大，這與俄羅斯注重知識的實踐性和應(yīng)用性、“保證學生掌握運用于實際工作、學習鄰近學科、繼續(xù)接受教育所需的具體數(shù)學知識”［3］密切相關(guān)。同時，兩國教材習題編寫風格和理念的差異造成了兩國教材在題型安排上存在差異，出現(xiàn)“題型缺失”現(xiàn)象。

2．習題難度比較

根據(jù)鮑建生教授提出的習題難度模型，我們從探究、背景、運算、推理和知識含量5個維度對兩國教材習題的難度進行比較。為了保證研究信度，采取小組討論和雙盲交互編碼的方式，對兩版教材中“分數(shù)”習題的難度因素進行了逐個討論分析和統(tǒng)計，具體數(shù)據(jù)如表5。

表5 兩種教材各難度因素的比較數(shù)據(jù)

（1）探究因素的水平比較。探究因素主要反映的是探究、創(chuàng)新方面的認知要求，具體分為識記、理解和探究三個水平，探究水平的高低將直接反映習題的開放性與探究性，進而影響習題的難度。兩版本教材的探究因素中各個水平所占比例統(tǒng)計如表6。

數(shù)據(jù)顯示，АСТ版習題涉及的探究水平優(yōu)于人教版，具體表現(xiàn)為：人教版習題側(cè)重“識記”，而АСТ版?zhèn)戎亍袄斫狻?。АСТ版教材習題在理解和探究水平上的比例都顯著高于人教版，特別是探究水平的題量比例，是人教版的近7倍，差異顯著，顯示俄羅斯編者側(cè)重考查學生對知識的理解以及探究能力的培養(yǎng)。而人教版的習題探究主要集中在識記水平，占總量的48．45%，顯示我國習題的設(shè)置仍重視考查學生對基礎(chǔ)知識的掌握程度。

（2）背景因素的水平比較。背景因素的水平反映的主要是數(shù)學知識在各種情境中的應(yīng)用程度。知識點應(yīng)用水平難度隨背景因素的水平遞進而加大，進而影響習題難度。兩國教材習題背景因素的水平所占比例統(tǒng)計如表7。

表6 兩種教材習題在探究水平上的比較%

表7 兩種教材習題在背景水平上的比較%

由表7可以看出，無背景水平的習題在兩版教材中均占較大比例，分別為56．79%和51．11%，這可能跟“分數(shù)”這一知識點需要培養(yǎng)學生的基本計算能力，導致習題中出現(xiàn)大量的基本計算題有關(guān)。在個人生活和科學情境水平上兩國比例均偏低，折射出兩版教材在分數(shù)知識與個人生活的有機結(jié)合以及與其他學科之間聯(lián)系不夠密切。АСТ版教材在公共常識和科學情境水平上略具優(yōu)勢，顯示ACT版教材在編寫時注重與其他學科知識的整合與銜接。

（3）運算因素的水平比較。運算是數(shù)學學習的基本技能之一，習題的運算因素根據(jù)難度遞進可分為無運算、數(shù)值運算和簡單符號運算三個水平，各水平統(tǒng)計如表8。

由表9可以看出，數(shù)值運算成為兩種教材習題中運算的主要形式，表明兩國教材都十分重視學生的基本運算能力的培養(yǎng)，這可能跟兩國提出學生重點掌握分數(shù)的四則運算的要求有關(guān)。值得注意的是，兩版教材中簡單符號運算比例都較低，這雖與皮亞杰兒童認知發(fā)展階段的劃分相符，但也應(yīng)警惕第一、二學段簡單符號運算習題的比例過低，可能影響與第三階段的銜接。

（4）推理因素的水平比較。推理是數(shù)學的基本思維方式，推理能力的逐步完善是兒童智力發(fā)展的重要環(huán)節(jié)和主要標志。習題的推理因素分為無推理、簡單推理和復雜推理三個等級，習題的推理水平等級越高，習題難度就越大。對兩版教材習題各推理水平的統(tǒng)計如表9。

表8 兩種教材習題在運算水平上的比較%

表9 兩種教材習題在推理水平上的比較%

數(shù)據(jù)顯示，АСТ版教材習題的推理水平比例遠遠高于人教版，其教材更加注重學生的數(shù)學推理能力的發(fā)展：“無推理”的習題比較上，人教版顯著高于АСТ版，二者分別為76．73%和41．67%。這表明我國在習題設(shè)置中對習題的推理水平關(guān)注有待提高。這可能是由于我國的教材編寫重在降低偏難習題數(shù)量，導致習題推理水平的降低。

（5）知識含量水平的比較?！爸R含量”是指單個題目中知識點的綜合程度，它可以在一定程度上反映概念之間的聯(lián)系。單個習題知識含量越多，知識的綜合程度越高，難度就越大。在教材中，我們將“知識含量”分為1個、2個和2個以上三個層次。對兩版教材習題知識含量的統(tǒng)計如表10。

表10 兩種教材習題在知識點含量水平上的比較%

由表10可以看出，兩版教材的習題多含有單一知識點，隨著知識容量的增多，習題數(shù)量呈現(xiàn)下降趨勢，說明兩版教材都存在著習題綜合程度不高的情況。單一知識點含量的習題，雖然有助于清晰考查學生對知識的掌握情況，但也折射出兩國教學中“評價中心”的取向。二者相比，АСТ版習題的知識綜合程度稍高于人教版，這可能與АСТ版教材采取集中呈現(xiàn)的方式、注重與其他學科知識的整合有關(guān)。

（6）綜合難度的比較。根據(jù)加權(quán)平均公式，我們得出了5個難度因素加權(quán)平均值，詳見表11。

表11 兩種教材習題難度各因素加權(quán)平均值

由表11可以看出，АСТ版教材分數(shù)習題的綜合難度高于人教版，在探究和推理水平上差異更顯著（參見圖1）。其原因有三個方面：一是俄羅斯教材中分數(shù)內(nèi)容分布在5年級屬于小學高段，對學生的數(shù)學能力提出了更高要求；二是受贊科夫“高難度教學”原則的影響，俄羅斯教材一向有高難度編寫的特點；三是隨著我國新課程改革的不斷推進，“繁、難、偏、舊”的教材面貌得以改善，教材難度大大降低。

四、結(jié)論與啟示

1．結(jié)論

（1）在數(shù)量上，人教版習題總量顯著大于ACT版，是后者的兩倍。從習題的科學量標準來看，人教版偏差率較高，呈現(xiàn)“冗余”現(xiàn)象，而АСТ版更接近合理區(qū)間。

（2）在題型上，兩教材均以計算題和應(yīng)用題為主，但又有各自的特色題型。人教版以填空題和連線題凸顯特色，АСТ版則以問答題和推理證明題呈現(xiàn)個性。同時，雖然開放題和操作題同屬二者的弱項，但АСТ版的比例仍稍高于人教版。

（3）在難度上，АСТ版教材分數(shù)習題的綜合難度高于人教版，在探究和推理上水平更高，而在背景、運算、知識點含量三個因素上二者相差不大。

2．啟示

通過兩版教材的比較，可為我國當前數(shù)學教科書習題的編寫和研究提供有益啟示。

（1）削減習題數(shù)量，增加變式練習。熟能生巧，熟也可能生“厭”，習題總量過大，不僅可能讓學生產(chǎn)生厭學心理，也不利于減負。教材編寫中要始終堅持編研結(jié)合的思路，以心理學和教育學的先進理論為指導，使習題數(shù)量達到科學水平。變式練習是我國數(shù)學教育的成功經(jīng)驗，但在具體分析人教版教材時發(fā)現(xiàn)一部分習題與例題相似或相仿，在編寫中可以適度降低此類習題的比例，增加變式練習。

（2）豐富習題形式，兼顧多種題型。人教版開放性、探究性和操作性的習題比例相較АСТ版偏低?！稊?shù)學課程標準》指出，“數(shù)學學習活動應(yīng)關(guān)注學生的個體差異，提倡動手實踐、自主探索與合作交流的學習方式，給學生的思維發(fā)展創(chuàng)設(shè)更廣闊的空間”。［5］在習題設(shè)置上，為學生提供更多創(chuàng)造性解決問題的機會，增加有利于學生主動發(fā)揮的開放性問題、非常規(guī)問題、現(xiàn)實情境問題和實踐操作問題，培養(yǎng)學生提出猜想、構(gòu)造模型、動手操作、解決問題的能力。

（3）合理創(chuàng)設(shè)習題背景，提升習題整合程度。豐富的生活情境可以激發(fā)學生的學習熱情，合理的數(shù)學情境能夠促進數(shù)學知識的建構(gòu)。［6］人教版習題在背景設(shè)置方面與個人生活實際以及其他學科之間的整合還相對薄弱，在編寫中應(yīng)緊扣學科發(fā)展、社會發(fā)展和學生發(fā)展的需要，注重數(shù)學與其他學科、數(shù)學內(nèi)部各部分之間的整合，選擇切合實際的背景素材，適量增加與學生個人生活相關(guān)的問題情境，提高學生解決實際問題的能力。

（4）促進習題層次化分布，科學設(shè)置難度階梯。人教版教材的綜合難度相比АСТ版偏低，習題難度跨度較大。維果斯基“最近發(fā)展區(qū)”理論要求我們在設(shè)置習題時具有一定難度，促進兒童的潛力發(fā)展。但科學的習題設(shè)置在保證適當難度的同時也要保持一定的梯度，力求“難度適中，坡度平緩”。這就要求在習題編寫中，既要關(guān)注學生的學力差異，合理分配不同難度層次的習題比例，也要遵循由易到難、由淺入深、循序漸進的認知規(guī)律，科學設(shè)置習題難度的變化梯度。

［1］［蘇］克魯切茨基．中小學生數(shù)學能力心理學［M］．趙裕春，等譯．北京：教育科學出版社，1984：296．

［2］劉電芝．教材的宏觀評價與微觀評價［J］．課程·教材·教法，1996（4）：22－25．

［3］Стандартосновногообщегообразаваниияпоматематике［EB／OL］．［2014－11－16］．http：／／www．school．edu．ru／dok＿edu．a(chǎn)sp？＿ob＿on＝19811．

［4］鮑建生．中英兩國初中數(shù)學課程綜合難度的比較研究［D］．上海：華東師范大學，2002．

［5］中華人民共和國教育部．全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準［M］．北京：人民教育出版社，2013．

［6］楊凡，吳立寶．中美初中數(shù)學教科書習題比較研究——中國人教版和美國TM版為例［J］．數(shù)學教育學報，2014，23（5）：56－59．

［責任編輯：江桂珍］

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1002－1477（2015）07－0110－05

10．16165／j．cnki．22－1096／g4．2015．07．026

2014－12－08

教育部人文社會科學項目（12YJC880111）。

王郢（1982），女，四川成都人，博士，副教授；沈繼俠（1989－），女，安徽亳州人，碩士研究生。