李敬軍，孫維國，高偉偉，張曙，但波

（1.91208部隊(duì)裝備部，山東青島266102；2.哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法下的MIMO雷達(dá)穩(wěn)健波束形成

李敬軍1，2，孫維國1，高偉偉2，張曙2，但波1

（1.91208部隊(duì)裝備部，山東青島266102；2.哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

在進(jìn)行陣列自適應(yīng)波束形成時，由于陣元導(dǎo)向矢量失配現(xiàn)象的存在，嚴(yán)重影響了常規(guī)最優(yōu)波束形成的性能?？紤]陣元的導(dǎo)向矢量誤差，運(yùn)用改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法對陣元的導(dǎo)向矢量進(jìn)行糾正，使其誤差達(dá)到最小，得到了一種適用于多輸入多輸出雷達(dá)的新的穩(wěn)健波束形成方法。與現(xiàn)有的應(yīng)用于MIMO雷達(dá)的穩(wěn)健波束形成方法相比，在導(dǎo)向矢量誤差較大或者誤差隨機(jī)變化的情況下新方法具有更高的輸出信號干噪比，且其性能一直保持了較高的穩(wěn)定性。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了新方法相比已有算法具有更好的魯棒性和更高的輸出性能。

MIMO雷達(dá)；穩(wěn)健波束形成；導(dǎo)向矢量誤差；粒子群優(yōu)化算法；信號干噪比

MIMO雷達(dá)作為一種新體制雷達(dá)是近10年來雷達(dá)界的研究熱點(diǎn)。MIMO雷達(dá)與常規(guī)雷達(dá)的區(qū)別在于發(fā)射端發(fā)射多個正交波束，在接收端形成虛擬天線陣列對多個發(fā)射波束進(jìn)行接收，其虛擬天線陣列對應(yīng)的虛擬接收導(dǎo)向矢量是發(fā)射導(dǎo)向矢量和接收導(dǎo)向矢量的Kronecker積的形式［1?2］。針對虛擬陣列的特性，文獻(xiàn)［3?9］分別提出了不同準(zhǔn)則下的波束形成方法，但都不是穩(wěn)健的波束形成方法。如果導(dǎo)向矢量存在失配現(xiàn)象，與常規(guī)相控陣?yán)走_(dá)相比，在進(jìn)行波束形成的時候就不能單獨(dú)考慮接收導(dǎo)向矢量的誤差，而應(yīng)考慮虛擬接收導(dǎo)向矢量的誤差，也即是發(fā)射導(dǎo)向矢量和接收導(dǎo)向矢量兩者的誤差都要考慮，這樣誤差相比常規(guī)雷達(dá)要增大了許多，所以常規(guī)的穩(wěn)健波束形成方法對于MIMO雷達(dá)來說將不再適合。對于穩(wěn)健的MIMO雷達(dá)波束形成方法來說見諸報(bào)道的還較少，文獻(xiàn)［10］提出了一種基于二階錐規(guī)劃（second?order cone program，SOCP）的穩(wěn)健波束形成方法，但是該方法對于誤差較大情況和隨機(jī)誤差情況下的性能下降嚴(yán)重，文獻(xiàn)［11］則是在文獻(xiàn)［10］基礎(chǔ)上重點(diǎn)考慮了發(fā)射導(dǎo)向矢量的誤差，與文獻(xiàn)［10］存在類似的問題，二者本質(zhì)上都是對角加載的方法，且運(yùn)用內(nèi)點(diǎn)法對錐規(guī)劃求解時存在不可避免的初始值選取困難及易陷入局部最優(yōu)等問題。

為了得到更加穩(wěn)健的波束形成方法，運(yùn)用改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法對導(dǎo)向矢量誤差進(jìn)行糾正，使存在誤差的導(dǎo)向矢量無限接近真實(shí)的導(dǎo)向矢量，然后運(yùn)用最小方差無失真響應(yīng)方法進(jìn)行最優(yōu)波束形成。

1 MIMO雷達(dá)最優(yōu)波束形成方法

考慮M發(fā)N收單基地的MIMO雷達(dá)系統(tǒng)。MI?MO雷達(dá)同時發(fā)射M組相互正交的波形，定義［1］：

式中：m＝1，2，…，M，l＝1，2，…，L表示每組發(fā)射波形中一個發(fā)射周期內(nèi)的子脈沖個數(shù)。定義目標(biāo)位于遠(yuǎn)場，可以近似認(rèn)定發(fā)射陣列與接收陣列位于同一位置，則雷達(dá)的發(fā)射導(dǎo)向矢量和接收導(dǎo)向矢量分別為［10?12］

式中：θ為波束指向，f為載波頻率，τm（θ）（m＝1，2，…，M）和τ'n（θ）（n＝1，2，…，N）分別表示第m根發(fā)射天線到目標(biāo)的時延和目標(biāo)到第n根接收天線的時延。

遠(yuǎn)場條件下雷達(dá)回波可表示為［10?11］

式中：β表示目標(biāo)反射系數(shù)，為了分析方便，可令β＝1；Z表示除期望信號外的干擾與噪聲分量，且與期望信號不相干。

對雷達(dá)回波進(jìn)行匹配濾波后得到的濾波輸出為

式中：Rss＝SSH／L＝IM，IM是M×M維單位矩陣，RZ＝ZSH／L。將濾波輸出按列拉直，得到MN×1維的矢量。

式中：IN是N×N維單位陣，c（θ）＝a（θ）?b（θ），vec（·）表示矩陣的拉直操作。為了簡化，這里將c（θ）、a（θ）和b（θ）簡寫為c、a和b。

定義波束形成權(quán)矢量為w＝［w11…wN1w21…wNM］T，MVDR波束形成是通過限定波束形成器輸出的期望信號功率恒定條件下其總的輸出功率最小化，以達(dá)到輸出SINR的最大化，其權(quán)矢量可通過式（6）來求解［13］：

運(yùn)用拉格朗日乘子法求解式（6）得到MVDR最優(yōu)波束形成權(quán)矢量：

理論上MVDR波束形成是最小方差準(zhǔn)則下的最優(yōu)波束形成方法，在理想條件下可達(dá)到陣列的輸出SINR達(dá)到最大。但是在實(shí)際應(yīng)用的系統(tǒng)中，常常存在各種誤差，如陣元幅相誤差、信號協(xié)方差矩陣估計(jì)誤差等，由于這些誤差的存在，MVDR波束形成方法性能并不能達(dá)到最優(yōu)。

2 IPSO算法在MIMO雷達(dá)穩(wěn)健波束形成中的應(yīng)用

2.1 導(dǎo)向矢量失配現(xiàn)象描述

導(dǎo)向矢量失配將導(dǎo)致期望信號相消的現(xiàn)象［14］，即期望信號有可能會被當(dāng)作干擾被抑制，這嚴(yán)重影響了系統(tǒng)的輸出SINR性能。假定發(fā)射信號導(dǎo)向矢量和接收信號導(dǎo)向矢量都存在誤差，兩者都在一定的誤差范圍內(nèi)。

式中：c是真實(shí)的虛擬接收導(dǎo)向矢量，γ＝［γ11…γN1γ21…γNM］T是虛擬導(dǎo)向矢量誤差且γ中元素滿足‖γnm‖≤ε，由于δ和κ是隨機(jī)的，γ因此也是隨機(jī)的。ε是一個凸集的上限，且ε＝

由式（10）可知，MIMO雷達(dá)的導(dǎo)向矢量誤差要比常規(guī)雷達(dá)的大許多，其對波束形成性能的影響將更大。文獻(xiàn)［10］運(yùn)用SOCP方法得到了穩(wěn)健地波束形成方法，但是由于白噪聲增益的限制，其對于導(dǎo)向矢量誤差的限定為

2.2 基于IPSO算法的穩(wěn)健波束形成

2.2.1 算法的理論基礎(chǔ)

要使式（12）達(dá)到最大，就是使其分子最大化而分母最小化，如果假定期望信號與干擾噪聲不相關(guān)，則式（12）的最大化問題可以轉(zhuǎn)換為下式的求解：

這里需要特別給出的是，由式（8）得到式（13）對應(yīng)的理論值：

式（13）的求解等價于：

假定w＾Hc＞w＾Hγ，式（15）中的約束條件運(yùn)用柯西-施瓦茨不等式有

當(dāng)且僅當(dāng)γ＝0時上式取等號，運(yùn)用式（16），式（15）轉(zhuǎn)換為

式（17）的求解存在尺度模糊且是非凸優(yōu)化，為了消除尺度模糊可令w＾Hc-w＾Hγ＝1，又因?qū)＾進(jìn)行相位旋轉(zhuǎn)不改變式（17）的函數(shù)輸出［10-11］，所以式（17）可以轉(zhuǎn)換為不存在尺度模糊的凸優(yōu)化問題：

對于式（18）來說，實(shí)際情況下虛擬接收導(dǎo)向矢量c的誤差γ是未知的，如果誤差滿足式（11）中的限定，通過式（18）得到的w＾后將有較好的輸出SINR，如果不滿足限定條件，其輸出信干噪比SINR將下降。如果可能采取某種策略將誤差γ進(jìn)行調(diào)整，使其趨于矢量0，也即是將式（18）轉(zhuǎn)換為

式（19）實(shí)質(zhì)是MVDR波束形成方法的的一種變換表達(dá)方式，如果將式（19）得到的w＾代入式（13）則有

由式（19）知，式（20）是基于MVDR準(zhǔn)則的，期望式（20）的值等于或無限趨近于式（14）。如前所述，誤差γ可以認(rèn)為是多個未知隨機(jī)變量的集合，其元素滿足‖γnm‖≤ε，如果要將式（19）進(jìn)行求解，很顯然是一個復(fù)雜的非線性約束優(yōu)化問題。對于這種問題的求解有懲罰函數(shù)法、梯度投影法及PSO算法［15］等方法。PSO算法相對于懲罰函數(shù)法與梯度投影法等非智能算法而言具有一定優(yōu)勢，如對初值的選取要求不嚴(yán)，收斂速度更快，魯棒性更高等優(yōu)點(diǎn)。

2.2.2 IPSO算法分析

PSO算法本質(zhì)上是一種基于迭代的智能優(yōu)化算法，在波形優(yōu)化、聚類分析、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、粗糙集理論、超分辨分析等很多領(lǐng)域有著良好的應(yīng)用效果。

假設(shè)粒子群規(guī)模為P，每個粒子的維數(shù)為NM，PSO算法的迭代次數(shù)為K，則第k（k＝1，2，…，K）代粒子第i（i＝1，2，…，P）個粒子第d（d＝1，2，…，NM）維元素的更新公式為［21］

式中：vk（id）和vk-1（id）分別是第k代和第k-1代的更新速度，pk-1（id）和gk-1（id）分別是第k代更新之前的個體最優(yōu)值和全局最優(yōu)值，xk（id）和xk-1（id）分別是第k代和第k-1代的個體值，ω是慣性權(quán)重系數(shù)，c1和c2是學(xué)習(xí)因子，η和ξ是［0，1］間的隨機(jī)數(shù)。

當(dāng)導(dǎo)向矢量存在失配時，在MIMO雷達(dá)穩(wěn)健波束形成的時候，權(quán)矢量w＾的求解是一種函數(shù)優(yōu)化問題，所以可以直接應(yīng)用式（21）來求取。而根據(jù)2.2.1節(jié)的分析，運(yùn)用PSO算法求解波束形成權(quán)矢量的代價函數(shù)定義為

為了提高PSO算法的收斂速度并且降低其陷入局部最優(yōu)的可能性，現(xiàn)將算法的運(yùn)行過程改進(jìn)：

1）為了使算法能夠達(dá)到更快的收斂速度，首先對于初始粒子群中個體的位置，不采用隨機(jī)生成的模式，而是根據(jù)導(dǎo)向矢量誤差界限ε，將P個粒子均勻放置，使其導(dǎo)向矢量誤差位于［-ε，ε］范圍內(nèi)；其次，在更新過程時，對粒子到達(dá)的位置進(jìn)行記錄，并對其中差的位置進(jìn)行鎖定，在下一次更新時，粒子將跳過這些位置，簡稱這些位置為“禁忌點(diǎn)”。

2）在考慮算法收斂速度的同時，還應(yīng)考慮粒子在更新過程中陷入局部最優(yōu)的可能性，具體方法為：當(dāng)粒子更新過程中，運(yùn)用代價函數(shù)（22）對粒子進(jìn)行評價，如果k（k?1）次更新后產(chǎn)生的全局最優(yōu)值始終在一個較差的范圍（e大于期望值），則將粒子全局最優(yōu)值在第d維進(jìn)行變異操作，第d維的選取采用式（23）解得

式中：Rounded（·）表示取整操作，NM是粒子的維數(shù)，μ是隨機(jī)數(shù)。變異的方式為隨機(jī)產(chǎn)生一個導(dǎo)向矢量誤差在［-ε，ε］范圍內(nèi)的值且需跳過之前記錄的禁忌點(diǎn)，然后對全局最優(yōu)值的第d維進(jìn)行替換，最后運(yùn)用新得到的全局最優(yōu)值和式（21）對所有的粒子進(jìn)行更新。這種變異操作與遺傳算法中的變異操作類似，都是針對某位進(jìn)行隨機(jī)變異，但是變異的范圍因?yàn)榻牲c(diǎn)的存在相比遺傳算法要小。

由上述分析，IPSO算法相比傳統(tǒng)的PSO算法的改進(jìn)主要在于初始化設(shè)置、禁忌點(diǎn)標(biāo)記以及變異操作上，其流程圖如圖1所示。

IPSO算法的運(yùn)行步驟為：

1）初始化：產(chǎn)生P個粒子，每個粒子的導(dǎo)向矢量誤差均勻分布于［-ε，ε］范圍內(nèi)，并設(shè)定初始的更新速度v0（id），運(yùn)用代價函數(shù)式（22）對所有粒子進(jìn)行評價，粒子當(dāng)前值設(shè)為個體最優(yōu)，個體中最優(yōu)的設(shè)為全局最優(yōu)；

2）更新：利用式（21）對所有粒子進(jìn)行更新操作，并運(yùn)用式（22）進(jìn)行評價判斷是否需要替換個體最優(yōu)值和全局最優(yōu)值；

3）屏蔽：對較差的粒子位置進(jìn)行標(biāo)記，并在下次更新時跳過這些位置；

4）變異：判斷k次（k的取值視情況而定，可以是一次k次迭代，也可以是多次k次迭代）迭代后的全局最優(yōu)值與理論值的誤差e的大小，如果超過要求，則運(yùn)用式（23）進(jìn)行變異操作，如果未超過而又未達(dá)到設(shè)定要求則轉(zhuǎn)到2）；

5）終止：判斷誤差e是否達(dá)到設(shè)定要求，如果達(dá)到，則記錄全局最優(yōu)值并退出算法，反之，則轉(zhuǎn)向2）。

從以上分析可以看出，基于IPSO算法的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法轉(zhuǎn)換成為了一種約束優(yōu)化問題，即是在限定條件下對于波束指向的尋優(yōu)過程。

圖1 IPSO算法Fig.1 IPSO algorithm

3 仿真分析

假定MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的配置為M＝8發(fā)N＝8收的單基地雷達(dá)，載波波長為λ，相鄰發(fā)射陣元和相鄰接收陣元間距均為dt＝dr＝λ／2，遠(yuǎn)場條件下8組編碼長度為128的相互正交的四相編碼信號被8根天線分別同時發(fā)射，期望信號真實(shí)方向?yàn)棣龋?°，信噪比范圍為SNR∈［-35，10］dB。第1個干擾信號的方向?yàn)棣?＝30°，干噪比（INR）為25 dB，第2個干擾信號的方向?yàn)棣?＝50°，干噪比為35 dB.運(yùn)用IPSO算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，與已有的MVDR方法和SOCP方法進(jìn)行比較，并給出了理論值作對照。

仿真1 假定ε＾＝εb＝2.5，若ε滿足式（10），即要求ε＜8，這里取ε＝7，規(guī)定γ中的元素相同，分別運(yùn)用MVDR、SOCP和IPSO算法進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖2（a）。從圖2（a）可以看出，SOCP方法在SNR＜-12 dB時具有較好的性能，但是隨著期望信號輸入信噪比的增大，其性能下降較為嚴(yán)重，常規(guī)的MVDR自適應(yīng)波束形成算法在SNR＜-15 dB時性能較為平穩(wěn)，但是其性能與IPSO算法和SOCP方法差7 dB左右，在SNR＞-15 dB時其輸出SINR性能則急劇下降，可以說其輸出SINR性能一直表現(xiàn)較差，而新的穩(wěn)健波束形成算法則一直保持了較好的輸出SINR性能，在其性能穩(wěn)定段（輸入SNR大約在-35～5 dB）其與理論值的差距一直維持在2.7 dB左右，滿足輸出SINR損失小于3 dB的要求；如果δ和κ中的元素在εa、εb限定范圍內(nèi)，隨機(jī)產(chǎn)生滿足高斯分布且ε＝7的γ中元素，運(yùn)用3種算法進(jìn)行仿真，其結(jié)果如圖2（b）所示。

圖2 輸出SINR與輸入SNR關(guān)系（ε＝7）Fig.2 Output SINR versus input SNR（ε＝7）

可以看出在隨機(jī)誤差情況下，SOCP方法和MVDR方法性能下降更為嚴(yán)重，而IPSO算法則仍然保持了較好的性能，在算法性能的穩(wěn)定階段其與理論輸出SINR值得差距仍大約為2.7 dB，符合實(shí)際工程的要求。之所以有如此仿真結(jié)果，與IPSO算法是針對誤差矩陣中的每一個元素進(jìn)行操作且IPSO算法的全局性更優(yōu)有關(guān)，而SOCP方法是針對誤差矩陣的整體操作且在運(yùn)用內(nèi)點(diǎn)算法時更易陷入局部最優(yōu)解，MVDR方法則并不是穩(wěn)健的波束形成方法。

圖3 輸出SINR與輸入SNR關(guān)系（ε＝20.392）Fig.3 Output SINR versus input SNR（ε＝20.392）

如果取ε＝20.392，限于SOCP方法的適用范圍（式（10）），其性能已得不到保證，IPSO算法下的波束形成是在MVDR方法基礎(chǔ)上的改進(jìn)，所以僅將IPSO算法與MVDR方法進(jìn)行比較。除ε取值外，仿真結(jié)果圖3（a）中條件對應(yīng)圖2（a）中條件，圖3（b）中條件對應(yīng)圖2（b）中條件。結(jié)果顯示，無論在確定誤差的情況還是隨機(jī)誤差的情況，常規(guī)的MVDR自適應(yīng)波束形成算法的性能一直非常差，且隨機(jī)誤差情況下更差，不適宜應(yīng)用于導(dǎo)向矢量存在誤差情況下的MIMO雷達(dá)波束形成。而改進(jìn)的連續(xù)PSO算法下的自適應(yīng)波束形成算法則一直保持了良好的性能，但是其輸出SINR的性能穩(wěn)定段較ε＝7時變短，其穩(wěn)定段大約變?yōu)?35 dB到2 dB，在性能穩(wěn)定期間其輸出SINR值與理論輸出SINR值的差距大約為2.9 dB左右，符合輸出SINR值損失小于3 dB的要求。

圖2和圖3通過導(dǎo)向矢量存在確定誤差或者隨機(jī)誤差情況下的輸出SINR充分說明了IPSO算法相比SOCP方法和MVDR方法具有更高的穩(wěn)健性與適應(yīng)性，且對于誤差隨機(jī)變化的情況及較大誤差的情況具有更好的誤差容忍性，從仿真結(jié)果還可以看出新的算法對于期望信號輸入SNR較低的情況更加適用。

4 結(jié)束語

提出的基于IPSO算法的穩(wěn)健最優(yōu)波束形成方法適用于MIMO雷達(dá)。新方法本質(zhì)仍是MVDR方法，但是巧妙的利用IPSO算法將波束形成轉(zhuǎn)換為波束指向?qū)?yōu)的過程，對陣元導(dǎo)向矢量誤差進(jìn)行糾正，使糾正后的導(dǎo)向矢量無限接近于真實(shí)的導(dǎo)向矢量，從而其輸出SINR與常規(guī)的MVDR和基于二階錐規(guī)劃的波束形成方法相比具有更好的性能。仿真結(jié)果驗(yàn)證了新方法的良好性能。

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Robust beamforming in MIMO radar by using the IPSO

LI Jingjun1，2，SUN Weiguo1，GAO Weiwei2，ZHANG Shu2，DAN Bo1

（1.Department of Equipment，91208 Army，Qingdao 266102，China 2.College of Information and Communication Engineering，Har?bin Engineering University，Harbin 150001，China）

Conventional optimal beamforming has poor performance when the array steering vector is inaccurately known.In adaptive beamforming，the mismatch phenomenon of array steering vector seriously affects the conven?tional optimal beamforming performance.Taking into account the steering vector mismatch of array elements，the improved particle swarm optimization（IPSO）algorithm is used to correct the array steering vector，to minimize the mismatch and to obtain a new robust beamforming method that adapts to multi?input and multi?output（MIMO）ra?dar.Compared with the existing algorithms，this method has a better output signal to interference plus noise ratio（SINR）when the steering vector mismatches are large or the error changes randomly and its performance always keeps a high stability.Numerical experiments validated that the proposed method has better robustness and higher performance than existing algorithms.

MIMO radar；robust beamforming；the steering vector mismatches；IPSO algorithm；signal to interfer?ence plus noise ratio

10.3969／j.issn.1006?7043.201310079

TN958

：A

：1006?7043（2015）06?0851?06

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.u.20150428.0911.013.html

2013?10?27.網(wǎng)絡(luò)出版時間：2014?04?28.

國防基礎(chǔ)研究基金資助項(xiàng)目（40106030503）

李敬軍（1982?），男，助理研究員，博士；孫維國（1972?），男，部長，學(xué)士.

李敬軍，E?mail：li_jingjun＠163.com.