徐令宇，王國新，蔡飛

（1.南京工業(yè)大學(xué)，交通運(yùn)輸工程學(xué)院，江蘇南京210009；2.大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院，遼寧大連116024；3.群馬大學(xué)土木與環(huán)境工學(xué)系，桐生376-8515）

考慮樁身鋼筋混凝土非線性的單樁水平響應(yīng)分析

徐令宇1，2，3，王國新2，蔡飛3

（1.南京工業(yè)大學(xué)，交通運(yùn)輸工程學(xué)院，江蘇南京210009；2.大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院，遼寧大連116024；3.群馬大學(xué)土木與環(huán)境工學(xué)系，桐生376-8515）

為評估地震條件下建筑和橋梁樁基礎(chǔ)水平承載性能，給出了考慮樁身鋼筋混凝土非線性的單樁水平響應(yīng)的計算方法。該方法是基于非線性Winkler地基梁，利用應(yīng)變楔形體模型計算地基反應(yīng)模量，樁身鋼筋混凝土非線性是通過將樁截面劃分成多個纖維單元，并將鋼筋纖維單元和混凝土纖維單元賦予不同的非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系來實(shí)現(xiàn)的。結(jié)果表明：計算出的樁頭撓度及撓度分布與實(shí)測值吻合較好，且能夠反映鋼筋混凝土樁抗彎剛度隨著水平荷載增大的變化趨勢，在鋼筋混凝土樁初始加載階段，樁截面上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力呈對稱分布，隨著水平荷載的增大，受拉側(cè)混凝土開裂，中性軸向受壓側(cè)移動。

水平荷載；鋼筋混凝土樁；樁土相互作用；非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

樁經(jīng)常會受到很大的水平向荷載作用，這些荷載源大多來自于風(fēng)荷載、地震荷載等滑坡引起的荷載等。特別在地震過程中，樁頭所支撐的上部結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生很大的慣性力，使得鋼筋混凝土樁很容易進(jìn)入塑形狀態(tài)，從而產(chǎn)生破壞。目前，已經(jīng)出現(xiàn)了多種考慮樁身鋼筋混凝土非線性影響的水平加載單樁的計算方法，Conte等［1］和Hsueh等［2］采用三維有限元軟件來研究鋼筋混凝土樁的水平響應(yīng)，但其建模過程復(fù)雜且需要較長的計算時間。Reese［3］在p-y方法基礎(chǔ)上，利用樁截面彎矩和曲率的關(guān)系來得到割線剛度，用這個割線抗彎剛度來代替整個樁的初始抗彎剛度，這樣的做法對鋼筋混凝土樁計算欠妥，因?yàn)楫?dāng)鋼筋混凝土樁進(jìn)入非線性后，不同樁截面位置處的抗彎剛度是不盡相同的，隨后，Reese和Wang［4］進(jìn)一步改進(jìn)上面的計算方法，即假定每級荷載里樁的剛度不變，先算好每級水平荷載下樁的抗彎剛度，在計算中把該抗彎剛度賦值給某段樁的材料參數(shù)，Huang等［5］也采用了這個方法來計算水平加載鋼筋混凝土樁，然而在實(shí)際設(shè)計過程中，很難確定樁身進(jìn)入非線性后抗彎剛度的變化，因此對設(shè)計人員來說是比較困難的，《港口工程樁基規(guī)范》［6］中規(guī)定的NL法在處理樁的非線性時，也會遇到同樣的困難。Ashour等［7］采用把鋼筋混凝土樁截面劃分成多層的方法（分層模型）來進(jìn)行考慮樁身非線性的計算，但分層模型對于鋼筋混凝土樁，由于其截面材料不均勻，很難精確地模擬不同位置處鋼筋材料和混凝土材料的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，而把鋼筋混凝土樁截面劃分成多個纖維單元，就能夠較為精確地模擬樁進(jìn)入非線性時的內(nèi)力變化，另外，也便于進(jìn)一步改進(jìn)用于樁基動力計算［8］。

本文在非線性Winkler地基梁基礎(chǔ)上，利用應(yīng)變楔形體模型［9?10］來計算地基反應(yīng)模量，并采用纖維單元來進(jìn)行鋼筋混凝土截面的網(wǎng)格劃分，對鋼筋纖維單元和混凝土纖維單元賦予了非線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)了考慮樁身鋼筋混凝土非線性影響的水平加載單樁的計算。采用Fortran語言編制了有限元程序，并通過與現(xiàn)場試驗(yàn)的實(shí)測值及已有文獻(xiàn)中的計算值進(jìn)行對比分析以驗(yàn)證所提出方法的可靠性。最后，通過單元應(yīng)力磨平的方法，分析了鋼筋混凝土樁在不同荷載條件下截面中性軸的變化及裂縫發(fā)展情況。

1 應(yīng)變楔形體模型

楔形體應(yīng)變法由Norris首次提出［11］，其功能就是求解式（1）中的地基反力模量Es：

式中：EI是樁的剛度，y是樁的撓度，Es（x）是在深度x處的地基反力模量，用有限元方法求解該微分方程。

樁在水平荷載作用下，前端的土在被動土壓力作用下會產(chǎn)生楔形體破壞，如圖1（a）所示，其中βm為楔形體底角，ηφm為楔形體的扇形角，h為楔形體高度。其中，η為扇形角系數(shù)，對砂土取值為1，對粘土取值為0.2［10］。圖1（b）顯示了楔形體在深度x處的平截面，其中，△σh是楔形體前破壞面上的水平應(yīng)力增量，τ是樁兩側(cè)的剪應(yīng)力。

圖1 多層土中的楔形體Fig.1 Mobilized strain wedge for multiple layers

在計算楔形體內(nèi)部的地基反力模量時，假定樁的撓度在楔形體內(nèi)線性變化，如圖2中撓度模式δ所示。楔形體中水平應(yīng)變ε和該撓度模式δ有關(guān)，且認(rèn)為沿著楔形體深度方向是常數(shù)。楔形體的形狀和深度以及楔形體中應(yīng)變隨著荷載水平增加而逐漸發(fā)展。有限元中，土層的劃分?jǐn)?shù)和樁的劃分?jǐn)?shù)是相等的，如圖2（a）所示。Ashour等［12］給出了已發(fā)揮（mobi?lized）的底角βm及其余角Θm分別為

式中：下標(biāo)i表示土層的編號，φm是已發(fā)揮的摩擦角。

由于文獻(xiàn)［12］中提出的楔形體前破壞面是不連續(xù)的，而在實(shí)際中，破壞面往往是連續(xù)的。因此，作者基于連續(xù)的破壞面，給出了楔形體前破壞面的寬度，其公式為

式中：L是子土層的厚度。需要注意的是子土層的編號在地表最小，如圖2（a）所示。

圖2（a）中，楔形體里土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系采用雙曲線或者雙線性關(guān)系［9?10］，樁土相互作用是用一系列的彈簧來模擬，楔形體里為非線性。楔形體下面的彈簧為線性，這對于長樁的計算是可行的［9］。

楔形體中的地基反力模量計算過程如下：首先，建立地基反力（p）和水平應(yīng)力增量（△σh）的關(guān)系；其次，建立撓度模式（δ）和水平應(yīng)變（ε）的關(guān)系；最后，在前兩步的基礎(chǔ)上，建立地基反力模量（Es＝p／y）和土的割線模量（E＝△σh／ε）關(guān)系。本文重點(diǎn)在于材料的非線性，限于篇幅，詳細(xì)的地基反力模量求解過程的取值以及楔形體高度的迭代，請參照文獻(xiàn)［9］和［10］。

圖2 樁土相互作用Fig.2 Soil?pile interactions in a cross section in the direction of lateral loading

2 材料非線性

考慮樁身鋼筋混凝土非線性的計算是通過纖維單元來實(shí)現(xiàn)的。具體為，將樁截面劃分成多個纖維單元，如圖3所示，把鋼筋纖維單元和混凝土纖維單元賦予不同的非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，最后，樁的內(nèi)力（彎矩）是通過積分纖維單元的應(yīng)力來得到的。

圖3 鋼筋混凝土截面中纖維單元Fig.3 Fiber element discretization of the cross section of reinforced concrete pile

2.1 鋼筋材料

鋼筋材料應(yīng)力應(yīng)變曲線采用雙線性來模擬，如圖4所示。

圖4 鋼筋材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系Fig.4 Stress?strain relationship considered in present study for the steel bars

鋼筋材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表達(dá)式為式中：fs為鋼筋材料里的應(yīng)力，Es為鋼筋初始模量，fy為鋼筋的屈服強(qiáng)度。應(yīng)力應(yīng)變符號按照材料力學(xué)中的規(guī)定：拉為正，壓為負(fù)。

2.2 混凝土材料

混凝土受壓側(cè)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系采用Mander等［13］提出的受約束的混凝土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，如圖5所示。受壓側(cè)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表達(dá)為

式中：fc為受約束混凝土的壓應(yīng)力，f'cc為受約束混凝土的抗壓強(qiáng)度，x和r分別定義為

式中：εc為受約束混凝土的壓應(yīng)變；εcc為受約束混凝土抗壓強(qiáng)度（f'cc）所對應(yīng)的應(yīng)變，其表達(dá)式為

式中：εco為混凝土單軸抗壓強(qiáng)度（fco）所對應(yīng)的應(yīng)變，一般取值為0.002［13］。Ec和Esec分別為混凝土的初始模量和割線模量，表達(dá)式為

式（11）［13］是個經(jīng)驗(yàn)公式，在缺乏實(shí)測數(shù)據(jù)的情況下，可以采用。式（7）中受約束混凝土的抗壓強(qiáng)度，f'cc，表達(dá)式為

式中：f'l為箍筋對混凝土產(chǎn)生的有效側(cè)向圍壓，表達(dá)為

式中：ke為有效側(cè)壓系數(shù)，ρs為橫向鋼筋的體積與受約束混凝土的體積之比。

圖5 混凝土材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系Fig.5 Stress?strain relationship considered in present study for confined concrete

當(dāng)混凝土中的壓應(yīng)變達(dá)到極限應(yīng)變εcu后，混凝土受壓側(cè)發(fā)生破壞。

式中：εsu為鋼筋的極限拉應(yīng)變，εcu一般在0.012～0.05［14］。

混凝土受拉側(cè)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在抗拉強(qiáng)度f't范圍內(nèi)認(rèn)為是線彈性，即：

式中：ft為混凝土的拉應(yīng)力，εt為混凝土拉應(yīng)變。在混凝土抗應(yīng)力超過抗拉強(qiáng)度之后，認(rèn)為混凝土開裂，拉應(yīng)力降為零。

綜上，材料非線性計算時，混凝土模型所需要的參數(shù)為：有效側(cè)壓系數(shù)（ke）和橫向配筋率（ρs），在缺乏資料的情形下，可取值為0.5和0.005［7］；混凝土單軸抗壓強(qiáng)度（fco）；混凝土彈性模量（Ec），可根據(jù)式（16）得到；混凝土抗壓強(qiáng)度（f't），一般取值為混凝土單軸抗壓強(qiáng)度的0.1倍。

2.3 鋼筋混凝土變形協(xié)調(diào)條件

對于鋼筋混凝土樁截面，假定鋼筋和混凝土之間沒有相對位移，即鋼筋材料里應(yīng)變和混凝土材料里應(yīng)變相等。

基于上面的敘述，利用Fortran語言編制了SW?PILE有限元程序，在編程中，采用Euler?Bernoulli梁模擬樁，用Hamilton單元進(jìn)行插值。用修正的New?ton?Raphson方法進(jìn)行有限元求解，計算方法的可行性將通過下述的例子來驗(yàn)證。

3 實(shí)例驗(yàn)證

Huang等［5］做了群樁試驗(yàn)和單樁試驗(yàn)，本文以單樁試驗(yàn)中編號為B7的灌注樁為研究對象。該樁的直徑為1.5 m，長34.9 m?？v向配筋為52根φ32圍成兩圈，根據(jù)樁基礎(chǔ)的設(shè)計規(guī)范，混凝土保護(hù)層取為70 mm，外圈與內(nèi)圈中鋼筋數(shù)皆為26根，由于樁的對稱性，為節(jié)約計算時間，采用一半的截面進(jìn)行計算，如圖6所示。

計算中所用的混凝土和鋼筋參數(shù)為：Ec＝20.2 GPa，fco＝-27.5 MPa，f't＝2.75 MPa，Es＝200 GPa，fy＝471 MPa。需要注意的是，鋼筋和混凝土模量的取值剛好能夠保證樁的初始抗彎剛度與文獻(xiàn)［5］實(shí)測值一致。

圖6 計算B7樁所采用的鋼筋布置Fig.6 Assumed reinforcement detail of Pile B7

試驗(yàn)場地地下水位為1 m。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)貫入試驗(yàn)，靜力觸探試驗(yàn)，和扁鏟側(cè)脹試驗(yàn)結(jié)果，該場地80 m深度內(nèi)總體上可劃分為粉砂，且含有粉質(zhì)粘土夾層。根據(jù)文獻(xiàn)［1］和［15］，采用的各土層參數(shù)為：

1）0～8 m：砂土，相對密度Dr＝45%，摩擦角φ＝35°，其中0～1 m的有效重度為19 kN／m3，1～8 m的有效重度為9.2 kN／m3；

2）8～12 m：粘土，不排水強(qiáng)度Su＝60 kPa，ε50＝0.007，為應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線在達(dá)到破壞應(yīng)力的50%時所對應(yīng)的應(yīng)變；

3）12～25 m：砂土，相對密度Dr＝45%，摩擦角φ＝33°；

4）25～34 m：粘土，不排水強(qiáng)度Su＝115 kPa，ε50＝0.005。

實(shí)測的荷載與位移的關(guān)系，以及利用所提出的方法和有限元軟件ABAQUS［1］得到的荷載與位移的關(guān)系如圖7所示。

圖7 模擬的與實(shí)測的荷載與位移關(guān)系Fig.7 Comparison of measured and predicted load?de?flection curve at the pile head

同時，圖8也給出了不同荷載作用下模擬的與實(shí)測的撓度分布。由圖7和圖8可見，模擬結(jié)果與實(shí)測結(jié)果能夠較好吻合，且利用所提出的方法得到的無論是線彈性樁工況中還是非線性樁工況中得到樁頭位移都與利用ABAQUS得到的結(jié)果［1］較為接近。這說明了所提出方法的有效性。同時，可以發(fā)現(xiàn)B7樁在樁頭位移達(dá)到10 mm時便進(jìn)入了非線性形階段，也就是在水平向荷載大于500 kN后，樁的剛度開始降低，如圖9所示。如果按照線彈性樁計算，計算結(jié)果將遠(yuǎn)遠(yuǎn)低估了實(shí)測結(jié)果。

圖8 不同荷載作用下模擬的與實(shí)測撓度分布Fig.8 Comparison of measured and predicted deflec?tion profile of the various values of the applied load

圖9 最大彎矩處的截面剛度與水平荷載之間的關(guān)系Fig.9 Relation between the lateral load and flexural ri?gidity of the pile cross section with maximum bending moment

同圖1為了了解鋼筋混凝土開裂后截面中性軸的變化情況，采用單元應(yīng)力磨平的方法［16］把纖維單元高斯點(diǎn)算出來的應(yīng)力恢復(fù)到截面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上，然后繪制出截面的應(yīng)力云圖。

圖10給出了在500 kN和1 500 kN荷載作用下最大彎矩處樁截面的混凝土應(yīng)力云圖，可以發(fā)現(xiàn)，在500 kN作用下，樁截面上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力呈對稱分布，而在1 500 kN作用下，受拉側(cè)混凝土已經(jīng)開裂，中性軸向受壓側(cè)移動。

圖10 2種荷載作用下，最大彎矩處樁截面的混凝土應(yīng)力云圖Fig.10 Tensile and compression portions of the cross?section of the pile for two load levels

4 結(jié)論

本文在非線性Winkler地基梁基礎(chǔ)上，利用應(yīng)變楔形體模型來計算地基反應(yīng)模量，利用Euler?Bernoulli梁模擬樁，樁身鋼筋混凝土非線性是通過將樁截面劃分成多個纖維單元，并將鋼筋纖維單元和混凝土纖維單元賦予不同的非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系來實(shí)現(xiàn)的。通過Fortran語言編制了有限元程序，比較了本文的模擬結(jié)果與已有文獻(xiàn)中的水平加載樁的試驗(yàn)結(jié)果以及計算結(jié)果。采用了單元應(yīng)力磨平的方法把纖維單元高斯點(diǎn)的應(yīng)力恢復(fù)到截面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上，并繪制了截面的應(yīng)力云圖，從而了解中性軸在不同荷載下的變化以及混凝土開裂的發(fā)展情況，主要得到以下結(jié)論：

1）利用本文方法計算出的樁頭撓度及撓度分布與實(shí)測值吻合較好，且能夠反映鋼筋混凝土樁抗彎剛度隨著水平荷載的變化趨勢，在鋼筋混凝土樁的初始加載階段，樁截面上拉應(yīng)力和壓應(yīng)力呈對稱分布，隨著水平荷載的增大，受拉側(cè)混凝土開裂，中性軸向受壓側(cè)移動；

2）實(shí)例中鋼筋混凝土樁在樁頭位移達(dá)到10 mm時便進(jìn)入了非線性階段，如果按照線彈性樁來計算，計算的樁頭位移將遠(yuǎn)遠(yuǎn)低估了實(shí)測值，因此，對于實(shí)際建筑和橋梁樁基礎(chǔ)水平承載力抗震驗(yàn)算，有必要考慮樁身鋼筋混凝土非線性影響，本文方法可為水平加載條件下鋼筋混凝土樁設(shè)計提供依據(jù)和指導(dǎo)。

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Computation method for the response of laterally loaded reinforced-concrete piles

XU Lingyu1，2，3，WANG Guoxin2，CAI Fei3

（1.School of Transportation Science and Engineering，Nanjing Tech University，Nanjing 210009，China；2.School of Hydraulic Engi?neering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China；3.Department of Environmental Engineering Science，Gunma Uni?versity，Kiryu 3768515，Japan）

To evaluate the horizontal bearing capacity of a pile foundation subjected to large lateral load due to earthquake loading，a computation method for the response of laterally loaded reinforced?concrete（RC）piles was proposed in this study.The computation method was based on the theory of a nonlinear elastic foundation beam，in which the subgrade reaction modulus was calculated by a modified strain wedge model.The material nonlinearity of RC piles was also considered by assigning nonlinear stress?strain relationship to the fibers into which each plane section of RC pile was divided.The results show that：1）the predicted load?deflection curves and deflection pro?files accord well with the measurements；2）the distribution of compressive and tensile stress is symmetrical on the cross?section of the pile until the concrete crack occurs，and after the crack occurs，the neutral axis of the pile cross?section moves forward to the side with compressive stress.It can be concluded that the proposed method can provide an efficient and effective way for laterally loaded reinforced?concrete piles.

lateral load；reinforced?concrete pile；pile?soil interaction；nonlinear stress and strain relationship

10.3969／j.issn.1006?7043.201402032

：A

：1006?7043（2015）06?0871?06

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.u.20150428.1118.023.html

2014?02?25.網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015?04?28.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51121005）.

徐令宇（1988?），男，博士，講師；王國新（1961?），男，教授，博士生導(dǎo)師.

王國新，E?mail：gxwang＠dlut.edu.cn.