三線擺測量轉(zhuǎn)動慣量方法的改進及不確定度分析

婁航宇,王 威,孫維民

(沈陽工業(yè)大學,遼寧沈陽 110870)

三線擺測量轉(zhuǎn)動慣量方法的改進及不確定度分析

婁航宇,王 威?,孫維民

(沈陽工業(yè)大學,遼寧沈陽 110870)

不確定度是評估測量結(jié)果準確性的重要參數(shù)。文中在測量剛體轉(zhuǎn)動慣量的新方法“相對測量法”的基礎上,給出其不確定度計算公式。新方法通過數(shù)學變換,省去了對上懸盤r及上下懸盤距離H的測量,可有效地減小誤差。結(jié)果表明,公式改進后的計算結(jié)果較傳統(tǒng)法相對誤差降低0.84%,并且隨著轉(zhuǎn)角θ的增加,相對誤差也隨之增大,實驗結(jié)果與理論分析一致。

三線擺;轉(zhuǎn)動慣量;相對測量法;不確定度

轉(zhuǎn)動慣量是表征剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量,其大小與剛體的總質(zhì)量,質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置均有關(guān)。目前剛體轉(zhuǎn)動慣量的測量方法眾多,如拉伸法、扭擺法、動力學法以及三線擺法[1]。其中三線擺法具有儀器簡單、操作方便、精度較高等優(yōu)點,因此在實踐中得到廣泛應用[2]。但由于數(shù)據(jù)處理不當或在實驗時調(diào)試儀器方法欠缺等因素,經(jīng)常會出現(xiàn)實驗結(jié)果與理論數(shù)值誤差較大的現(xiàn)象。因此引入不確定度可以對比不同的測量結(jié)果,評估測量結(jié)果的準確性[3-4]。文獻[5]中提到了測量轉(zhuǎn)動慣量的新方法,即采用相對測量法,得到精度較高的測量結(jié)果,但未對新公式進行不確定度的計算和分析。因而,本文基于改進后的轉(zhuǎn)動慣量計算公式,推導出三線擺測量轉(zhuǎn)動慣量的不確定度,并與傳統(tǒng)法計算的誤差進行了比較。

1 剛體轉(zhuǎn)動慣量測量公式推導與改進

1.1 剛體轉(zhuǎn)動慣量測量公式的推導

設上下懸盤點間距分別為r,R;上下懸盤間距離為H,下懸盤質(zhì)量為 m0。在轉(zhuǎn)角θ為8°左右時,下懸盤的運動可近似為簡諧運動。當下懸盤離開平衡位置距離最遠時,下懸盤質(zhì)心上升h。若忽略阻力不計,則根據(jù)機械能守恒定律得:

即

由(2)(3)可得

(T0下盤空載時的周期)。若在下盤放置質(zhì)量為 m1的物體,那么

根據(jù)(4)(5)可得

1.2 剛體轉(zhuǎn)動慣量測量公式的改進

若采用上述方法測量,則需要測量m0,m1,r, R,H,T0,T17個物理量,在測量中造成偶然誤差會很多。故利用數(shù)學方法將公式進行變換處理,在減少測量量的同時,也降低了產(chǎn)生偶然誤差的機會,進而提高了測量結(jié)果的精度。

將(4)(5)式相除得:

2 不確定度分析及公式

分別對上下懸盤點間距r,R;上下懸盤的距離H;待測圓柱直徑 D柱;下懸盤質(zhì)量 m0及圓柱質(zhì)量 m1進行測量。用光電門與毫秒計時器分別記錄下懸盤空載和載物狀態(tài)下周期 T0,T1。在轉(zhuǎn)角θ為8°時測量3次,每次測量40組數(shù)據(jù)取平均值,記錄數(shù)據(jù)如表1和表2所示。

根據(jù)不確定度的計算公式分別對 m0,m1,r, R,H,T0,T1等物理量進行A類、B類及合成不確定度計算,結(jié)果如表3所示。

表1 質(zhì)量及周期的測定

表2 上下盤幾何參數(shù)及圓柱體直徑的測量結(jié)果

表3 各物理量的不確定度計算結(jié)果

通過推導得出傳統(tǒng)法不確定度的計算公式為:

相對測量法不確定度的計算公式為:

3 實驗結(jié)果及討論

3.1 傳統(tǒng)法數(shù)據(jù)處理結(jié)果

(1)圓柱轉(zhuǎn)動慣量的理論值:

(2)將測量結(jié)果代入公式求得圓柱的轉(zhuǎn)動慣量: =1.327×10-5kg·m2

(3)不確定度計算:

將表2、3中的數(shù)據(jù)代入公式⑼中得到:

(4)測量值結(jié)果為: ×100%= 2.2%

3.2 改進法數(shù)據(jù)處理結(jié)果

(1)將測量結(jié)果代入公式求得圓柱的轉(zhuǎn)動慣量:

(2)不確定度計算:

將表2、3中的數(shù)據(jù)代入公式⑽中得到:

(3)測量值結(jié)果為:

經(jīng)上文測量計算結(jié)果比較可知,改進后的公式相對誤差較傳統(tǒng)公式相對誤差降低了0.84%,可見公式改進后的“相對測量法”相比于“傳統(tǒng)測量法”測量精度提高很多。

3.3 扭轉(zhuǎn)角度對測量結(jié)果的影響

在相對測量法中,測量量有 m0,m1,R,T0, T1等5個物理量,而周期 T0,T1的不確定度是決定總不確定度的重要因素,轉(zhuǎn)角θ決定周期的大小[6-7]。因此本文研究了不同轉(zhuǎn)角下對應的相對誤差。所得結(jié)果見表4,轉(zhuǎn)角θ與相對誤差的關(guān)系曲線如圖1所示。

表4 不同轉(zhuǎn)角θ下對應的相對誤差

圖1 轉(zhuǎn)動慣量的相對誤差與轉(zhuǎn)角θ關(guān)系

圖2

當轉(zhuǎn)角θ為10°時,相對誤差為3.62%。故表4結(jié)果與文獻[8-10]中所述一致,當轉(zhuǎn)角θ不超過8°時不會對實驗結(jié)果造成較大影響。

4 結(jié) 論

三線擺測量轉(zhuǎn)動慣量是一種常用的方法。本文中測量剛體轉(zhuǎn)動慣量不確定度的新公式具有表達簡潔、計算精度較高等優(yōu)點,基本可取代傳統(tǒng)的計算公式。新的實驗數(shù)據(jù)處理方法采用了新的計算公式,以下懸盤的轉(zhuǎn)動慣量為標準進行度量,可以顯著減小相對誤差。在實際操作中實驗誤差是在所難免的,如儀器轉(zhuǎn)動會受到空氣阻力所帶來的影響,扭轉(zhuǎn)的最大角位移及操作誤差都會帶來實驗誤差[9-10]。故在實驗中應采取適當?shù)拇胧┻M行改進,最大限度的減小實驗誤差。

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Im provement and Uncertainty Analysis of Tri-linear Pendulum M oment of Inertia of Rigid M ethods

LOU Hang-yu,WANGWei,SUNWei-min
(Shenyang University of Technology,Liaoning Shenyang 110870)

Uncertainty is an important parameter to assess the accuracy of themeasurement results.On the basis of the article"relativemeasurement"of the new method ofmeasuring rigid bodymoment of inertia,the formula of the uncertainty has been given.The new method through mathematical transform,eliminating themeasurement of suspended plate r and the upper and lower hanging plate distance H,can significantly reduce the error.The results show that the relative error calculated by the improved formula is reduced by 0.84%compared with the traditionalmethod.Moreover,with the increase of the angle,the relative error increases,the experimental results are consistentwith the theoretical analysis.

tri-linear pendulum;moment of inertia;relativemeasuringmethod;uncertainty

O 4-34

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.006.030

1007-2934(2015)06-0102-04

2015-07-13

遼寧省普通高等學校本科實驗教學示范中心建設項目(S201144);沈陽工業(yè)大學教育教學改革重點項目(2011-35)

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