趙彥青

單調(diào)性、周期性、奇偶性是函數(shù)的三條重要性質(zhì)，是歷年來高考的熱點(diǎn)。既可以單獨(dú)考查某條性質(zhì)，也可以綜合考查幾條性質(zhì)?，F(xiàn)分類談?wù)労瘮?shù)性質(zhì)的融合型問題。

一、單調(diào)性與奇偶性的融合

如果已知函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性，則可以利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)在與已知區(qū)間對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性。解答時(shí)主要是利用奇偶性進(jìn)行f（x）與f（-x）的轉(zhuǎn)換，利用單調(diào)性進(jìn)行大小的比較等。

例1 已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增。若實(shí)數(shù)a滿足則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）。

解：由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，得，則不等式可化為。又偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，故，解得。

二、單調(diào)性與周期性的融合

一般是給出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要求利用周期性確定函數(shù)在其他區(qū)間上的單調(diào)性，然后解決相關(guān)的問題，或利用周期性對(duì)函數(shù)值及自變量的范圍進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其轉(zhuǎn)化到相關(guān)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)。

例2 設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，恒有f（x+l）=f（x-l）。已知當(dāng)x∈[o，1]時(shí)，。試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）與（2，3）上的單調(diào)性。

解：由f（x+1）=f（x-l），得函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，且2是其一個(gè)周期。

由f（x）是偶函數(shù)，得f（x-1）=f（l-x）。結(jié)合f（x+1）=f（x-1），得f（l+x）=f（l-x），則函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱。

當(dāng)x∈[o，1]時(shí)，單調(diào)遞增，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，3）上單調(diào)遞增。

三、奇偶性與周期性的融合

解答時(shí)主要利用奇偶性與周期性不斷進(jìn)行自變量的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化方式主要圍繞f（x）±f（-x）=0、f（x+a）=f（x）等。

例3 若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，5是其一個(gè)周期，且滿足f（1）=1，f（2）=2，則f（3）-廠（4）=____。

解：由f（x）是奇函數(shù)，得f（-x）=-f（x）。

由5是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，得f（x-5）=f（x）。

f（3）=-f（-3）=-f（2-5）=-f（2）=-2；f（4）=-f（4）=-f（1-5）=-f（l）=-l。

f（3）-f（4）=-2+1=-1。

四、單調(diào)性、奇偶性與周期性三者的融合

此類試題靈活性強(qiáng)，難度也相對(duì)較大一些，解答時(shí)要善于將函數(shù)的這三條性質(zhì)有機(jī)結(jié)合起來，把握時(shí)機(jī)，轉(zhuǎn)化函數(shù)值或函數(shù)式，使未知問題一步一步向已知轉(zhuǎn)化。

例4 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足以下三個(gè)條件：①對(duì)任意的x∈R，都有②函數(shù)y=f（x+l）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；③對(duì)任意的x1、x2∈[0，l]，且x1f（x2）。則f（3/2）、f（2）、f（3）從小到大的關(guān)系是____。

解：由①得f（x+2）=f（x+1+1）=f（x），則函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，且2是其一個(gè)周期。

由函數(shù)y=f（x+1）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y=f（x+1）的圖像向右平移一個(gè)單位即可得函數(shù)y=f（x）的圖像，得函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱。

由③可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減。結(jié)合②，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增。

f（3）=f（2+1）=f（1）。