張巧紅，石曉磊

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046000）

復(fù)數(shù)域上低次代數(shù)中的對(duì)合計(jì)算

張巧紅，石曉磊

（長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046000）

在矩陣?yán)碚撝?，稱滿足條件A2=E的矩陣為對(duì)合矩陣。文章主要類比對(duì)合矩陣，討論在復(fù)數(shù)域上的三次及四次代數(shù)中的對(duì)合計(jì)算，給出復(fù)數(shù)域上的三次及四次代數(shù)中向量方程v2=e的所有可能的解.

群；代數(shù)；對(duì)合

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]191設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，G是一個(gè)群，且G中的元素是V中的一組基.在V上除了定義了加法，數(shù)乘運(yùn)算之外還定義了乘法運(yùn)算.定義了乘法運(yùn)算的線性空間V若滿足乘法對(duì)加法的分配律，并且對(duì)于任意v1，v2∈V及任意k∈P，有：

則稱V是一個(gè)代數(shù).

注：當(dāng)G為乘群[2]10時(shí)，則稱V為群代數(shù)；

代數(shù)V的乘群（G，·）如果是半群，則稱V為結(jié)合代數(shù)；

代數(shù)V作為數(shù)域P上線性空間的維數(shù)，稱為V的次數(shù).

例如：Mn(P)是域P上的所有n階方陣組成的集合，顯然它是P上的一個(gè)代數(shù).

2 復(fù)數(shù)域上三次代數(shù)中的對(duì)合計(jì)算

定理1 設(shè)群G=={a，a2，e}，V3={k1a+k2a2+ k3e|k1，k2，k3∈C}，則V3是一個(gè)三維線性空間，a，a2，e就是該三維線性空間的一組基，且V3也是一個(gè)代數(shù).

證明：任取 V3中的元素 v1，v2,不妨設(shè)v1=r1a+r2a2+r3e，v2=s1a+s2a2+s3e,定義v1+v2=(r1a+r2a2+r3e)+(s1a+s2a2+s3e)=(r1+s1)a+(r2+s2)a2+ (r3+s3)e,則加法滿足封閉性；任取 k∈C及 v=k1a+k2a2+k3e∈V3, 定 義 kv=k (k1a+k2a2+k3e) =kk1a+kk2a2+kk3e∈V3，則數(shù)量乘法滿足封閉性.易證加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足線性空間定義[3]248中的八條運(yùn)算規(guī)則，從而V3對(duì)上述定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成復(fù)數(shù)域C上的線性空間.

因?yàn)閂3中任一個(gè)元素均可由a，a2，e線性表出，現(xiàn)假設(shè)k1a+k2a2+k3e=0，必有k1=k2=k3=0.若否，不妨設(shè)k1≠0，k2=k3=0，則有k1a=0，由k1≠0得a=0，矛盾,故a，a2，e是線性空間V3的一組基，其維數(shù)為3.

下證V3是復(fù)數(shù)域C上的三次代數(shù)：任取v1，v2∈V3，不妨設(shè)v1=r1a+r2a2+r3e，v2=s1a+s2a2+s3e在V3中定義一個(gè)乘法運(yùn)算 v1v2= (r1s3+r3s1+r2s2)a+ (r1s1+r2s3+r3s2)a2+(r1s2+r2s1+r3s3)e,故 v1v2∈V3，且易證乘法對(duì)加法滿足分配律.又對(duì)于任意的v1,v2∈V及k∈C，可證得k(v1v2)=(kv1)v2=v1(kv2)成立，故V3是復(fù)數(shù)域C上的三次代數(shù)，且為群代數(shù).

注：由于V3關(guān)于乘法構(gòu)成半群，故V3是一結(jié)合代數(shù).

下在V3中求v2=e的解.在V3中任取一元素v=r1a+r2a2+r3e，若v2=e，則v2=(2r1r3+r22)a+(2r2r3+r12)a22+ (2r1r2+r32)e=e

變形得

解該方程組可得(r1r2r3)為:

由上可得：復(fù)數(shù)域上三次代數(shù)中方程v2=e的解的個(gè)數(shù)是23=8.

3 復(fù)數(shù)域上四次代數(shù)中的對(duì)合計(jì)算

令 群 G== {a，a2，a3，e}， 設(shè) V4= {k1a+k2a2+k3a3+k4e|k1，k2，k3，k4∈C},同上可證V4是一個(gè)四維線性空間,a，a2，a3，e是該四維線性空間的基,且V4也是復(fù)數(shù)域C上的一個(gè)代數(shù).

下在V4中求解方程組v2=e.對(duì)任意

對(duì)比系數(shù)得：

解該方程組可得(k1,k2,k3,k4)為:

由上可得：復(fù)數(shù)域上四次代數(shù)中方程v2=e的解的個(gè)數(shù)是24=16.

［1］徐明曜.有限群導(dǎo)引［M］.北京:科學(xué)出版社,1999.

［2］唐高華.近世代數(shù)［M］.北京:清華大學(xué)出版社, 2008.

［3］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)（第三版）［M］.北京:高等教育出版社,2003.

Zhang Qiao-hong Shi Xiao-lei

（Department of Mathematics，changzhi University，changzhi shanxi，046000）

A matrix is called an involution if A2=E.The article deals with the involution calculation in low-dimensional C-algebra,where C is the complex domain.All the solutions of the equation v2=e in low-dimensional C-algebra have been listed here.

Group；algebra；Involution

O15

A

1673-2015（2015）02-0032-02

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

2014—12—13

張巧紅（1980—）女,山西高平人，碩士，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究。