錢淑英

（長治學院 數(shù)學系，山西 長治 046011）

淺析含參量無窮積分一致收斂性的教學

錢淑英

（長治學院 數(shù)學系，山西 長治 046011）

文章對含參量無窮積分一致收斂性的常用的判別方法進行系統(tǒng)的討論，以便使學生較容易地掌握這部分內(nèi)容，在教學中取得更好的教學效果。

含參量無窮積分；一致收斂；教學

含參量無窮積分是數(shù)學分析教學中的一個重要內(nèi)容，它不僅是無窮積分的推廣，也為我們研究和表達函數(shù)（特別是非初等函數(shù)）提供了有力工具，并為后面學習多元函數(shù)的積分打下了堅實的基礎(chǔ).一致收斂是含參量無窮積分的一個重要性質(zhì)，有效地判別含參量無窮積分的一致收斂對進一步研究含參量無窮積分的性質(zhì)起著重要的作用.但由于含參量無窮積分一致收斂性的判別方法靈活多變，學生們在學習中很難掌握.

1 利用定義法判別含參量無窮積分的一致收斂性

運用定義判別含參量無窮積分的一致收斂性關(guān)鍵在于尋找只與ε有關(guān)并且與參數(shù)無關(guān)的共同的N，在證明過程中常常用到適當放大的方法.

當y∈[2,+∞）時，有e-Ay≤e-2A，解不等式e-2A＜ ε，有于是取時，對一切y∈[2,+∞），有所以在y∈[2,+∞）上一致收斂.

2 判別含參量無窮積分一致收斂的充要條件

運用一致收斂的充要條件不僅可以判別含參量無窮積分在某個區(qū)間上一致收斂，還可以判別它在其它區(qū)間上非一致收斂[1]55，證明非一致收斂只需要證得

證明 取充分大的M＞0，有

3 利用魏爾斯特拉斯M判別法判別含參量無窮積分一致收斂

4 利用柯西一致收斂準則判別含參量無窮積分一致收斂性

柯西一致收斂準則給出了判別含參量無窮積分一致收斂的一個充要條件，為我們判別含參量無窮積分一致收斂提供了一個有力工具.

對于任取的正數(shù)ε，存在正數(shù)A＞0，使得當A1＞A2＞A時，對一切y∈I，有

這個例題，也可以看作推廣的魏爾斯特拉斯判別法.

5 利用狄利克雷判別法和阿貝爾判別法判別含參量無窮積分一致收斂

當含參量無窮積分的被積函數(shù)可以看成兩個函數(shù)的乘積，并且這兩個函數(shù)滿足狄利克雷判別法或阿貝爾判別法的條件時，就可以利用狄利克雷判別法或阿貝爾判別法判別這個含參量無窮積分的一致收斂性.

6 利用級數(shù)判別法判別含參量無窮積分一致收斂

特別地，若函數(shù)f(x,y)為定義在無界區(qū)域R=[1,+∞）×I上的非負函數(shù).如果f(x,y)關(guān)于x在[1,+∞）上單調(diào)遞減，那么含參量無窮積分與函數(shù)項級數(shù)關(guān)于y在區(qū)間I上具有同樣的一致收斂性[1].

運用函數(shù)項級數(shù)判別含參量無窮積分的一致收斂性，關(guān)鍵是要找到相應的函數(shù)項級數(shù)，并且能夠比較容易的判別出此函數(shù)項級數(shù)是否一致收斂.

解 由題可得f(x,y)非負且關(guān)于x在(1,+∞)上單調(diào)遞減，考慮函數(shù)項級數(shù)

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［1］裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法第二版［M］.北京：高等教育出版社,2006.

［2］華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析第三版［M］.北京：高等教育出版社,2001.

［3］劉紅玉.含參變量無窮積分一致收斂性的判斷技巧及應用［J］.牡丹江大學學報,2012,21(8):119-122.

（責任編輯 趙巨濤）

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A

1673-2015（2015）02-0057-03

2014—11—20

錢淑英（1964—）女,河北任邱人，副教授，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學教學法研究。