楊繼紅，于湘濤，付秀娟，于 皓，韓 旭，龔錦莉

（1.海軍駐某院軍事代表室，北京 100074;2.北京自動化控制設(shè)備研究所，北京 100074）

在已知超先驗(yàn)情況下，對p（t|α，σ2）取最大值

0 引言

慣性導(dǎo)航是一門涉及多學(xué)科的綜合性技術(shù)，是實(shí)現(xiàn)運(yùn)動體自主式控制和測量的最佳途徑，廣泛應(yīng)用于航天、航空、航海等領(lǐng)域［1］，石英撓性加速度計(jì) （以下簡稱加速度計(jì)）作為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)最重要的器件之一，其測量精度高低直接影響慣性系統(tǒng)的精度［2］。加速度計(jì)受溫度等環(huán)境載荷以及其內(nèi)部構(gòu)件材料的特性的影響，加速度計(jì)參數(shù)隨時(shí)間會發(fā)生漂移，從而導(dǎo)致加速度計(jì)的輸出發(fā)生變化［3］，因此，進(jìn)行加速度計(jì)參數(shù)變化規(guī)律的研究對于提高慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的精度具有重要意義。

相關(guān) 向 量機(jī)［4］（Relevance Vector Machine，RVM）是 Tipping提出的一種與支持向量機(jī)［5］（Support Vector Machine，SVM）形式相同的稀疏概率模型，其訓(xùn)練是在貝葉斯框架下進(jìn)行的，通過超參數(shù)給出權(quán)值的先驗(yàn)概率，并通過迭代算法求出最優(yōu)值，在實(shí)際預(yù)測性能相當(dāng)?shù)那闆r下，解的稀疏性明顯高于SVM。

基于RVM的優(yōu)點(diǎn)，建立了加速度計(jì)參數(shù)RVM預(yù)測模型，為了驗(yàn)證所提方法的有效性，針對2.5年自然貯存的加速度計(jì)參數(shù)標(biāo)定值，應(yīng)用RVM和最小二乘法分別進(jìn)行了加速度計(jì)參數(shù)建模，計(jì)算結(jié)果表明RVM建模效果更優(yōu)。

1 模型預(yù)測算法

時(shí)間序列預(yù)測［6］是指利用歷史數(shù)據(jù)構(gòu)建時(shí)間序列模型，依據(jù)所建模型進(jìn)行外推預(yù)測未來。統(tǒng)計(jì)學(xué)方法是時(shí)間序列預(yù)測的主要方法，常見的時(shí)間序列分析方法包括:自回歸滑動平均模型 （Autoregressive Moving Average，ARMA）等，基于機(jī)器學(xué)習(xí)理論發(fā)展起來的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量算法等智能預(yù)測方法具有自適應(yīng)、自學(xué)習(xí)機(jī)制，可以對非線性時(shí)間序列進(jìn)行更準(zhǔn)確地預(yù)測。

1.1 ARMA模型試驗(yàn)時(shí)間預(yù)測方法

ARMA模型時(shí)間序列分析法簡稱為時(shí)序分析法，是一種利用參數(shù)模型對有序隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而進(jìn)行參數(shù)預(yù)測的方法，參數(shù)模型包括AR自回歸模型、MA滑動平均模型和ARMA自回歸滑動平均模型，ARMA時(shí)間序列具有遍歷性。

式 （1）的左邊稱為自回歸差分多項(xiàng)式，即AR模型，右邊稱為滑動平均差分多項(xiàng)式，即MA模型，p、q為自回歸模型和滑動均值模型的階次，ak、bk分別表示待識別的自回歸系數(shù)和滑動均值系數(shù)，y表示白噪聲激勵。

確定ARMA模型的階數(shù)，即p和q的數(shù)值的求解可以通過 AIC（Akaike Information Criterion，AIC）法、F檢驗(yàn)法等方法求解，自回歸系數(shù)可以通過建立Yule-walker方程，采用偽逆法可求得方程組的最小二乘解，滑動平均模型MA系數(shù)的估算方法很多，主要的有基于Newton-Raphson算法的迭代最優(yōu)化方法和基于最小二乘原理的次最優(yōu)化方法。

1.2 相關(guān)向量機(jī)算法

相關(guān)向量機(jī)是Tipping提出的一種貝葉斯框架下的稀疏概率機(jī)器學(xué)習(xí)模型，假設(shè)一系列輸入向量 x={xn，n=1，2，．．．，N}和相應(yīng)的輸出 y={yn，n=1，2，．．．，N}， 設(shè)計(jì)的模型對于新的輸入xn，預(yù)測出輸出y（xn），所觀測的輸出tn，它可以看作未知函數(shù)y（x，w），該函數(shù)包含方差為σ2的高斯噪聲。

式中，ε是噪聲信號，且是獨(dú)立分布的，w是可調(diào)參數(shù)權(quán)值，其中Φi（x）=K（x，xi），這里的核函數(shù)的選擇不受Mercer定理的限制。相應(yīng)的訓(xùn)練樣本集的似然函數(shù)為

采用稀疏貝葉斯方法對權(quán)值w賦予先驗(yàn)的條件概率分布

式中，α是決定權(quán)值先驗(yàn)分布的超參數(shù)，根據(jù)貝葉斯公式可以得到

在已知超先驗(yàn)情況下，對p（t|α，σ2）取最大值

由于不能直接獲得式 （6）中α和σ的解析表達(dá)式，因此，使用迭代公式進(jìn)行估計(jì)。

式中，γi=1－αiNii，Nii為后驗(yàn)權(quán)協(xié)方差矩陣的第i個(gè)對角元素。

若給定一個(gè)輸入值x*，則可通過下面幾步實(shí)現(xiàn)新的預(yù)測。

RVM對新觀測值的預(yù)測輸出為y（x*;μ）。

2 加速度計(jì)參數(shù)變化規(guī)律

2.1 加速度計(jì)參數(shù)變化原因分析

1）膠粘劑材料穩(wěn)定性:在加速度計(jì)關(guān)鍵的部組件——磁鋼與激勵環(huán)、動圈與石英擺片等位置采用膠粘劑連接，膠粘劑在長期環(huán)境載荷作用下會發(fā)生蠕變，蠕變是通過分子鏈段的逐漸伸展或相對滑移實(shí)現(xiàn)的，結(jié)果不僅會造成力學(xué)松弛，還會使得被粘接的構(gòu)件發(fā)生相對位移，膠粘劑材料的穩(wěn)定性使得敏感質(zhì)量的質(zhì)心和電磁力的力心變化，使得加速度計(jì)參數(shù)長期重復(fù)性發(fā)生變化。

進(jìn)行了膠粘劑變化導(dǎo)致動圈沿著擺軸移動與力矩器電磁力之間的仿真，仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 電磁力與動圈移動之間的關(guān)系示意圖Fig.1 The relationship between electro-magnetic force and the force coils movement

從圖1中可以看出線圈所受合力隨線圈沿?cái)[軸的正負(fù)偏移量增大而增大，但是在相同偏移量的情況下，遠(yuǎn)離撓性平橋的偏移對電磁力的影響更大。

2）永磁材料穩(wěn)定性:加速度計(jì)力矩器在輸入信號作用下產(chǎn)生反饋力矩以平衡外界的慣性力矩，磁性能的穩(wěn)定性直接影響力矩器的穩(wěn)定性，磁時(shí)效是永磁材料磁性能隨時(shí)間的一種不可逆連續(xù)變化，是由于材料內(nèi)部的結(jié)構(gòu)調(diào)整所引起的，為了解釋磁時(shí)效現(xiàn)象，許多科學(xué)家進(jìn)行了研究，并建立了理論模型。

進(jìn)行了不同的磁鋼磁感應(yīng)強(qiáng)度退化時(shí)的仿真，其中退化1%時(shí)，磁路云圖如圖2所示。

圖2 加速度計(jì)磁路矢量圖Fig.2 The vector graph of accelerometer magnetic circuit

仿真結(jié)果表明磁鋼退磁1%時(shí)，標(biāo)度因數(shù)增大約7‰。

3）金屬構(gòu)件尺寸的穩(wěn)定性:材料的相與組織狀態(tài)的不穩(wěn)定性及在各種熱加工與冷加工工藝過程中，零件中發(fā)生的殘余應(yīng)力的松弛導(dǎo)致金屬制件尺寸變化，也是引起加速度計(jì)參數(shù)變化的因素之一。

2.2 加速度計(jì)長期重復(fù)性測試方案

為了評估加速度計(jì)參數(shù)變化規(guī)律，進(jìn)行了加速度計(jì)長期重復(fù)性試驗(yàn)設(shè)計(jì)，標(biāo)定周期0.5年，總共2.5年，測試樣本18塊，將加速度計(jì)按“門狀態(tài)”安裝，如圖3所示。

“門狀態(tài)”即分度頭置于0°時(shí)，加速度計(jì)輸入基準(zhǔn)軸 （IA）與水平面的夾角滿足技術(shù)要求，擺基準(zhǔn)軸 （PA）平行于旋轉(zhuǎn)軸，輸出基準(zhǔn)軸 （OA）垂直向下，當(dāng)分度頭旋轉(zhuǎn)至90°時(shí)，輸入基準(zhǔn)軸正方向垂直向上，按照GJB1037A［7］進(jìn)行四點(diǎn)翻滾試驗(yàn)標(biāo)定加速度計(jì)的偏值和標(biāo)度因數(shù)。

圖3 “門態(tài)”試驗(yàn)安裝圖 （分度頭0°）Fig.3 The chart of the hinge axis

2.3 加速度計(jì)數(shù)據(jù)規(guī)律分析

加速度計(jì)參數(shù)RVM建模步驟:

圖4 基于最小二乘法的加速度計(jì)參數(shù)建模示意圖Fig.4 The modeling result of accelerometer based on least squares method

1）收集整理加速度計(jì)標(biāo)定數(shù)據(jù)序列，Xn={x1，x2，…，xN}，xi∈ R，i=1，2，…，N;

2）對原始序列XN進(jìn)行歸一化處理;

4）對樣本進(jìn)行RVM預(yù)測。

應(yīng)用最小二乘法和RVM建立了加速度計(jì)參數(shù)模型，模型曲線如圖4和圖5所示。

從圖4和圖5可以看出，二階回歸模型和

圖5 基于RVM的加速度計(jì)參數(shù)建模示意圖Fig.5 The modeling result of accelerometer based on RVM

3）選擇RVM核函數(shù)，常用的幾種核函數(shù)有RBF核函數(shù)、線性核函數(shù)、多項(xiàng)式核函數(shù)等。其中，RBF核函數(shù)具有較好的學(xué)習(xí)能力，選用RBF函數(shù)作為RVM的核函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為RVM模型都可以用來加速度計(jì)參數(shù)變化建模，當(dāng)加速度計(jì)參數(shù)變化存在非線性時(shí)，二階模型回歸與實(shí)際參數(shù)變化存在較大誤差，而RVM可以很好地給出加速度計(jì)參數(shù)變化結(jié)果。

3 結(jié)論

受溫度、振動等環(huán)境載荷的影響，加速度計(jì)參數(shù)隨著時(shí)間會發(fā)生變化，基于RVM具有稀疏的模型適合時(shí)間序列預(yù)測的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種加速度計(jì)參數(shù)預(yù)測方法，用RVM和最小二乘法分別建立了加速度計(jì)參數(shù)模型，計(jì)算結(jié)果表明RVM的建模效果更優(yōu)。

［1］鄭辛，楊林．導(dǎo)航、定位與授時(shí)技術(shù)綜述［J］．導(dǎo)航定位與授時(shí)，2014，1（1）:1-7．

［2］顧英．慣導(dǎo)加速度計(jì)技術(shù)綜述［J］．飛航導(dǎo)彈，2001，（6）:78-85．

［3］于湘濤，張菁華，杜祖良．石英撓性加速度計(jì)參數(shù)長期重復(fù)性技術(shù)研究［J］．導(dǎo)航定位與授時(shí)，2014，1（1）:58-62．

［4］Tipping M E．Sparse Bayesian learning and the relevance vector machine［J］．Journal of Machine Learning Research，2001，l（3）:211-244．

［5］Vapnik V N．An overview of statistical learning theory［J］．IEEE Transactions on Neural Networks，1999，10（5）:988-1000．

［6］張美英，何杰．時(shí)間序列預(yù)測模型研究綜述［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2011，41（18）:189-195．

［7］GJB 1037A，單軸擺式伺服線加速度計(jì)試驗(yàn)方法［S］．2004．