同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 徐清悅

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有限體積法定價(jià)歐式看跌期權(quán)

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 徐清悅

摘要：基于線性有限元空間，可以構(gòu)造出歐式看跌期權(quán)定價(jià)模型的兩種穩(wěn)定的全離散有限體積格式。并且通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，有限體積法的定價(jià)是一種穩(wěn)定且高效的方式。

關(guān)鍵詞：歐式看跌期權(quán) 有限體積格式 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

有限體積法最早由我國學(xué)者李榮華教授以廣義差分法的名稱提出[1]，目前已和有限差分法、有限元法一樣，成為當(dāng)今重要的三大偏微分方程(PDE)數(shù)值方法之一。由于該方法具有格式構(gòu)造簡單、數(shù)值精度高、網(wǎng)格剖分靈活和易于處理復(fù)雜的邊界條件的特點(diǎn)，更重要的是可以保持某些物理量局部守恒性，因此在計(jì)算流體力學(xué)等領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用。

近年來，有限體積法也被眾多學(xué)者應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)問題的計(jì)算中，并且受到了廣泛的關(guān)注和研究[2-6]。其中，文獻(xiàn)[2-3]采用的是一種被稱之為“Fitted fi nite volume method”的離散方法對期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行離散，最后得到期權(quán)的價(jià)格。而文獻(xiàn)[4]對“stochastic volatility”模型的對流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)分別采用有限體積法和有限元法離散，并結(jié)合懲罰函數(shù)法得到期權(quán)的價(jià)格。然而“Fitted”有限體積法并沒有直接建立在有限元空間上的離散，因此該方法并不是真正意義上經(jīng)典的有限體積法，其更像是積分插值法的特殊改進(jìn)。經(jīng)典的有限體積法定價(jià)美式期權(quán)可以參考文獻(xiàn)[5-6]。

雖然歐式期權(quán)有著顯示的定價(jià)公式，但是很多時(shí)候人們更愿意采用先進(jìn)的數(shù)值方法結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算。因此，本文詳細(xì)討論了一類經(jīng)典的、更加簡單直接的有限體積法求解歐式看跌期權(quán)的定價(jià)模型，并建立了兩種穩(wěn)定的全離散有限體積元格式。最后用數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明該方法具有非常高的數(shù)值精度和計(jì)算效率。

1　歐式看跌期權(quán)模型

對于歐式看跌期權(quán)，邊界條件是：終止條件是：

其中，收益函數(shù)為：

E代表敲定價(jià)格。

2　有限體積格式

邊界條件仍為(2)式。

經(jīng)有限體積元離散， 則半離散有限體積格式(5)對應(yīng)的矩陣形式為：

其中，

下面考慮方程(3)的全離散有限體積格式。假設(shè)時(shí)間方向上步長為，則對應(yīng)如下均勻網(wǎng)格剖分：

或者等價(jià)于：

其中，

3　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面我們通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行驗(yàn)證。對于離散后的代數(shù)系統(tǒng)，均采用超松弛(SOR)迭代法計(jì)算，松弛因子取經(jīng)驗(yàn)值，容許誤差為。令模型(1)中參數(shù)：

表1　有限體積法與BS定價(jià)公式的比較

由表1可知，兩種全離散有限體積格式的計(jì)算都是精確的，數(shù)值結(jié)果都隨著網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù)的增大而變得更加精確，而Crank-Nicolson格式的數(shù)值效果要好于隱式歐拉格式。

4　結(jié)語

本文考慮了歐式看跌期權(quán)定價(jià)模型的兩種穩(wěn)定的全離散有限體積格式，采用了超松弛(SOR)迭代法來求解離散后的代數(shù)系統(tǒng)。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，我們所構(gòu)造的有限體積格式在期權(quán)定價(jià)中是穩(wěn)定且高效的，而Crank-Nicolson格式的數(shù)值效果要優(yōu)于隱式歐拉格式。由于線性有限體積元法的檢驗(yàn)函數(shù)空間取為分片常數(shù)函數(shù)空間，因此其計(jì)算量明顯少于有限元方法，并具有較高的數(shù)值精度，數(shù)值實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了這一點(diǎn)，因此該方法是期權(quán)定價(jià)中的一種很好的數(shù)值離散方法。

參考文獻(xiàn)

[1] Li R H，Chen Z Y，Wu W．Generalized difference methods for differential equations： Numerical analysis of finite volume methods[M]．New York：Marcel Dekker，2000．

[2] Huang C S，Huang C H，Wang S． A fitted finite volume method for the Valuation of Options on Assets with Stochastic Volatilities[J]．Comput，2006，77(3)．

[3] Zhang K，Wang S．Pricing options under jump diffusion processes with fitted finite volume method[J]．Appl．Mathe．Comput，2008，201(4)．

[4] Zvan R，F(xiàn)orsyth P A，Vetzal K R．Penalty methods for American options with stochastic volatility[J]．J．Comput．Appl．Mathe，1998，91(2)．

[5] 甘小艇，殷俊鋒．有限體積法定價(jià)美式期權(quán)[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014，28(3)．

[6] 甘小艇，殷俊鋒．二次有限體積法定價(jià)美式期權(quán)[J]．計(jì)算數(shù)學(xué)，2015，37(1)．

中圖分類號：F224.9

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2096-0298(2015)07(c)-155-03