左紹山楊澤民 孫光才 邢孟道

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

基于幾何校正的聚束SAR快速分級(jí)后投影算法

左紹山*楊澤民 孫光才 邢孟道

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

快速分級(jí)后投影(Fast Factorized Back Projection, FFBP)算法大幅減少了原始后投影算法的插值次數(shù)，提升運(yùn)算效率。然而圖像合成過程中仍然需要大量的圖像域2維插值操作，龐大的計(jì)算量限制了其在實(shí)際中的應(yīng)用。該文提出一種基于幾何校正的聚束SAR快速分級(jí)后投影算法。該算法利用幾何校正的方法實(shí)現(xiàn)子圖像配準(zhǔn)，即在滿足聚焦性能的前提下，通過距離維平移和角度維旋轉(zhuǎn)完成子圖像在不同坐標(biāo)系下的投影和子圖像合成。該算法避免了逐點(diǎn)插值運(yùn)算，進(jìn)一步降低了FFBP算法的計(jì)算量。仿真結(jié)果表明，該算法能高精度聚焦成像，并且其運(yùn)算效率相對(duì)于基于圖像域2維插值的FFBP算法顯著提高。

SAR；聚束；快速分級(jí)后投影；幾何校正；逐點(diǎn)插值

1 引言

合成孔徑雷達(dá)是一種全天候、全天時(shí)遙感設(shè)備，自20世紀(jì)50年代出現(xiàn)以來，研究人員提出了多種SAR成像算法[1,2]。其中，后向投影(Back Projection, BP)算法由于其能夠適用于SAR的任意工作模式，能夠?qū)羞\(yùn)動(dòng)誤差的任意成像幾何的SAR數(shù)據(jù)進(jìn)行精確聚焦[3]并且容易采用并行計(jì)算實(shí)現(xiàn)[4]而受到人們的關(guān)注。最初，BP算法是從計(jì)算機(jī)層析成像[5?8]領(lǐng)域引入的。1983年，文獻(xiàn)[6]將其用于聚束SAR成像。然而BP算法需要逐點(diǎn)遍歷，計(jì)算量大，效率低。比如，當(dāng)圖像為N×N點(diǎn)，孔徑長(zhǎng)度也為N時(shí)，整個(gè)成像過程需要3N次插值操作[9]。龐大的計(jì)算量限制了BP算法的實(shí)踐應(yīng)用。為了降低BP算法的運(yùn)算量，人們進(jìn)行了很多研究[10?19]。文獻(xiàn)[10]提出了一種快速后投影(Fast Back Projection, FBP)算法。當(dāng)分塊大小取為N時(shí)，該算法計(jì)算量達(dá)到理論最優(yōu)的O(N2.5)。相對(duì)于BP算法，該算法計(jì)算量有所減少，但是在實(shí)際應(yīng)用中，算法效率仍然不高。文獻(xiàn)[16]提出了一種利用波數(shù)域譜融合的快速BP算法。一些研究人員提出了將自聚焦方法與后投影相結(jié)合的成像算法[17?18]。文獻(xiàn)[19]提出了快速分級(jí)后投影(Fast Factorized Back Projection, FFBP)算法。這種算法首先劃分子孔徑得到粗分辨率的子圖像，然后子圖像逐級(jí)相干累加得到全分辨率圖像。當(dāng)基數(shù)取2或4時(shí)，快速分級(jí)后投影算法計(jì)算量達(dá)到理論最優(yōu)的O(N2log2N)。然而快速分級(jí)后投影算法FFBPA需要2維逐點(diǎn)插值，并且多次迭代操作使得算法流程比較繁瑣。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，F(xiàn)FBP算法需要選取較長(zhǎng)的子孔徑，或取較大的基數(shù)以降低迭代次數(shù)，獲得較好的聚焦效果。也就是說，F(xiàn)FBP算法難以達(dá)到O(N2log2N)的計(jì)算量。

針對(duì)FFBP算法2維逐點(diǎn)插值計(jì)算量大的問題，本文提出的基于幾何校正的FFBP算法對(duì)子圖像的每行每列進(jìn)行整體操作，避免2維逐點(diǎn)插值運(yùn)算，提高了計(jì)算速度并且處理流程簡(jiǎn)單方便。本文首先分析了快速分級(jí)后投影算法，給出了成像模型，然后詳細(xì)介紹了基于幾何校正的FFBP算法的原理和實(shí)現(xiàn)步驟，接下來分析了本文所提算法的誤差和計(jì)算量，最后通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本算法的有效性。

2 快速分級(jí)后投影算法

文獻(xiàn)[10]證明了，在初始孔徑很短時(shí)，極坐標(biāo)系格式下的數(shù)據(jù)在角頻域只占很窄的一部分區(qū)域，這意味著在比較粗糙的分辨率下進(jìn)行成像而不損失圖像信息。因此FFBP算法以及本文提出的算法都是在局部極坐標(biāo)系(Local Polar Coordinates, LPC)下實(shí)現(xiàn)成像。本文針對(duì)聚束SAR成像模式進(jìn)行研究討論。局部極坐標(biāo)系聚束SAR成像幾何如圖1所示。

圖1 極坐標(biāo)系下聚束SAR成像幾何

圖1中，L表示子孔徑長(zhǎng)度，X軸表示飛機(jī)航跡。以子孔徑的中心O為原點(diǎn)，建立LPC，極軸垂直航跡并指向成像場(chǎng)景一側(cè)，如圖1中虛線所示，規(guī)定極軸右側(cè)角度為正值，極軸左側(cè)角度為負(fù)值。場(chǎng)景中任意一點(diǎn)P，其在該LPC中的坐標(biāo)為(rp,θp)。在某時(shí)刻，雷達(dá)在LPC中的坐標(biāo)為(X, π/2)。根據(jù)余弦定理，可得P點(diǎn)到雷達(dá)的瞬時(shí)斜距R(X,rp,θp)：

設(shè)雷達(dá)發(fā)射信號(hào)為sT(τ)，其帶寬為B，波長(zhǎng)為λ。則接收到的目標(biāo)回波為

其中，σp表示目標(biāo)P點(diǎn)的后向散射系數(shù)，時(shí)延Δtp, c表示光速。sR(τ,X)經(jīng)過脈沖壓縮處理得到

FFBP算法首先利用傳統(tǒng)BP積分模型對(duì)子孔徑信號(hào)進(jìn)行成像處理，BP算法在時(shí)域?qū)⒕嚯x脈沖壓縮后的數(shù)據(jù)后向投影到各成像點(diǎn)，通過相干積累得到聚焦的圖像。子孔徑BP積分過程可表示為

FFBP算法的主要思想是：先將全孔徑劃分成若干子孔徑，再利用BP積分分別對(duì)子孔徑信號(hào)成像處理，得到多幅粗分辨率的子圖像，然后采用多級(jí)合成，逐級(jí)提高圖像分辨率，最終得到全分辨率圖像。FFBP算法避免了對(duì)成像場(chǎng)景中每個(gè)點(diǎn)在全孔徑搜索的過程[3]，相對(duì)于BP算法，減少了計(jì)算量，提高了運(yùn)算效率。然而在子圖像合成過程中，F(xiàn)FBP算法需要圖像域2維逐點(diǎn)插值。如圖2所示，在某一級(jí)子圖像合成過程中，令子圖像I1(如圖2(a)所示)，所在局部極坐標(biāo)系為L(zhǎng)PC1，如圖2中細(xì)實(shí)線部分所示。子圖像I2(如圖2(c)所示)所在局部極坐標(biāo)系為L(zhǎng)PC2，如圖2中虛線部分所示。設(shè)點(diǎn)P在 LPC1中的坐標(biāo)為(r1,θ1)，在LPC2中的坐標(biāo)為(r2,θ2)。

在圖2中，由于P點(diǎn)在不同子圖像中的位置不相同，F(xiàn)FBP算法在子圖像合成過程中，需要分別在子圖像I1和子圖像I2中查找P點(diǎn)的位置(r1,θ1)和(r2,θ2)。為提高取點(diǎn)精度，需要圖像域2維插值操作。這在實(shí)際應(yīng)用中計(jì)算量很大，計(jì)算效率不高。為進(jìn)一步提升運(yùn)算效率，本文提出的基于幾何校正的FFBP算法通過對(duì)子圖像進(jìn)行幾何校正實(shí)現(xiàn)子圖像配準(zhǔn)，避免了2維逐點(diǎn)插值運(yùn)算，下面具體介紹。

圖2 疊加前子圖像及子圖像疊加前后局部極坐標(biāo)系幾何關(guān)系圖

3 基于幾何校正的快速分級(jí)后投影算法

如圖2所示，P點(diǎn)在合成后的LPC(令為L(zhǎng)PCr,如圖2中粗實(shí)線部分所示)中的坐標(biāo)為(r,θ)，那么P點(diǎn)從LPC1到LPCr的投影過程中的位置偏移量為(Δr,Δθ)，其中距離偏移量Δr=r1?r ，角度偏移量Δθ=θ1?θ。幾何校正示意圖如圖3所示。

圖3 幾何校正示意圖

圖3中，RS為場(chǎng)景中心到航線的距離，Rp為P點(diǎn)到航線的垂直距離。ΔL為L(zhǎng)PC1的坐標(biāo)原點(diǎn)到LPCr原點(diǎn)的距離。

根據(jù)余弦定理，可得

將式(5)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并忽略ΔL三次及以上的高次項(xiàng)，得到

從式(6)可以看出，距離維平移量Δr=Δr(r1,θ1)是2維空變的，這也是FFBP需要逐點(diǎn)操作的原因。本文采用一定的近似(近似誤差見第4節(jié))進(jìn)行降維，令r1≈RS，則距離維平移量可表示為

在角度維，根據(jù)圖3中坐標(biāo)系幾何關(guān)系，可得

化簡(jiǎn)可得

從式(9)可以看出，角度旋轉(zhuǎn)量也是2維的，對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)SAR成像來說，某LPC的角度因此令 Rp≈r，則式(9)可表示為

綜上所述，2維(距離維和角度維)空變的距離平移量和角度旋轉(zhuǎn)量，如式(6)和式(9)，經(jīng)過相應(yīng)的近似計(jì)算變?yōu)?維空變，即距離維平移量只與角度維有關(guān)系，如式(7)所示，角度維旋轉(zhuǎn)量只和距離維有關(guān)系。假設(shè)子圖像矩陣(極坐標(biāo)系下)的列表示距離維，行表示角度維，這樣距離維平移就可以逐列進(jìn)行，角度維旋轉(zhuǎn)就可以逐行進(jìn)行。而子圖像矩陣的平移旋轉(zhuǎn)操作可以通過FFT，線性相位相乘以及IFFT實(shí)現(xiàn)。

經(jīng)過距離平移和角度旋轉(zhuǎn)后，子圖像I1已投影至LPCr中，同理也可將子圖像I2投影至LPCr中。需要注意的是，為了避免角度維模糊，在子圖像相干疊加前需要對(duì)子圖角度維進(jìn)行兩倍上采樣。這樣就完成了子圖像的幾何校正，幾何校正步驟如圖4所示。

圖4 子圖像幾何校正流程圖

下面給出本文算法的具體操作步驟。算法流程圖(以4個(gè)子孔徑為例)如圖5所示。

圖5 算法流程圖

(1)劃分子孔徑，并以每個(gè)子孔徑的中心為原點(diǎn)，建立各自的LPC。利用BP算法在LPC下對(duì)子孔徑信號(hào)進(jìn)行成像，得到粗分辨率子圖像；

(2)對(duì)粗分辨率的子圖像分級(jí)進(jìn)行幾何校正和相干疊加。在每一級(jí)處理中，根據(jù)式(7)和式(10)計(jì)算子圖像的距離平移量和角度旋轉(zhuǎn)量，并在角度維上采樣，完成對(duì)子圖像的幾何校正，然后子圖像相干疊加；如此重復(fù)，逐級(jí)合成，直至得到極坐標(biāo)系下全分辨率的圖像；

(3)將極坐標(biāo)系下的全分辨率圖像轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系。

4 誤差分析

在進(jìn)行幾何校正過程中，偏移量的推導(dǎo)采用了近似計(jì)算。下面對(duì)近似誤差進(jìn)行分析。

在距離維，由于采用r1≈RS，距離偏移量誤差

考慮到ΔL≤La/4, La表示全孔徑長(zhǎng)度，La= λRS/(2ρa(bǔ))。另外，由圖2 中LPC幾何關(guān)系圖可知，LPC1中的極半徑r1≥RS?Wr/2, Wr為場(chǎng)景距離維寬度，cos(θ1)2≤1，則式(11)可化簡(jiǎn)為

在距離維，為了獲得良好的聚焦效果，要求距離偏移量誤差δr≤ρr/4，即

整理可得

在角度維，角度旋轉(zhuǎn)誤差為

根據(jù)圖2幾何關(guān)系圖，可知Rp=rcos(θ)。由于和ΔL/r都很小，且，則式(15)可以表示為

考慮到極坐標(biāo)系中，角度的范圍如式(17)

則式(16)可以化簡(jiǎn)為

為了在角度維獲得良好的聚焦效果，要求角度旋轉(zhuǎn)誤差δθ≤ρθ/4，其中，ρθ表示角度分辨率，ρθ=ρa(bǔ)/(4RS)，則式(18)可表示為

通過式(14)和式(19)可以看出，在聚束模式下，采用幾何校正方法進(jìn)行成像，場(chǎng)景觀測(cè)范圍受到限制。

5 計(jì)算量分析對(duì)比

在聚束模式下，假設(shè)圖像大小為N×N(距離維×角度維)，脈沖壓縮后的數(shù)據(jù)有N個(gè)脈沖，將全孔徑劃分為n個(gè)子孔徑，則總共需要log2n級(jí)合成。本算法第(1)步通過BP算法獲得粗糙子圖像的計(jì)算量為N3。算法在第i,i=1,2,…,log2n級(jí)合成過程中，主要處理步驟有：距離維FFT，距離維線性相位相乘和距離維IFFT；角度維FFT，角度維線性相位相乘，補(bǔ)零，角度維IFFT等。由于線性相位相乘和補(bǔ)零運(yùn)算的計(jì)算量遠(yuǎn)小于FFT和IFFT的計(jì)算量，可以忽略不計(jì)。在第i,i=1,2,…,log2n級(jí)，需要處理的子圖像共有n/2i?1個(gè)，每個(gè)子圖像大小為N×(2i?1N)/n (距離維×角度維)，則距離維FFT計(jì)算量為N2log2N，距離維IFFT計(jì)算量為N2log2N，角度維FFT計(jì)算量為N2log2(2i?1N/n)，角度維IFFT的計(jì)算量為2N2log2(2iN/n)，第i級(jí)合成總的計(jì)算量為C(i)=5N2log2N?3N2log2n+(3i?1)N2。因此，本文算法總的計(jì)算量為

對(duì)于相同的數(shù)據(jù)，F(xiàn)FBP算法第(1)步成像的計(jì)算量也為N3。在子圖像合成過程中，如果在距離維和角度維采用4倍臨近點(diǎn)FFT插值，F(xiàn)FBP算法總的計(jì)算量為CFFBP=N3+(10log2N+27/2)N2log2n?(5/2)N2(log2n)2。由于N≥n≥1且N,n都是正整數(shù)，因此CFFBP?C=(5log2N+13)N2log2n ?N2(log2n)2＞0恒成立?？梢?，相對(duì)于基于2維逐點(diǎn)插值的FFBP算法本方法降低了計(jì)算量。

6 仿真

為了驗(yàn)證本算法的有效性，本節(jié)給出仿真數(shù)據(jù)處理結(jié)果。本仿真是在機(jī)載聚束模式下對(duì)場(chǎng)景中的9個(gè)點(diǎn)目標(biāo)進(jìn)行的成像仿真實(shí)驗(yàn)，仿真場(chǎng)景為3×3的矩形點(diǎn)陣。各點(diǎn)目標(biāo)編號(hào)如下：第1行3個(gè)目標(biāo)編號(hào)為1～3，第2行3個(gè)點(diǎn)目標(biāo)編號(hào)為4～6，第3行3個(gè)點(diǎn)目標(biāo)編號(hào)為7～9，如圖6所示。雷達(dá)發(fā)射窄脈沖脈沖重復(fù)頻率900 Hz，采樣頻率600 MHz，利用表1中的參數(shù)仿真回波數(shù)據(jù)。最終圖像理論分辨率為0.3 m×0.3 m(距離向×方位向)，圖像采樣間隔為0.25 m×0.25 m(距離向×方位向)。

表1 仿真參數(shù)

仿真成像結(jié)果如圖7所示。選取編號(hào)為1的點(diǎn)目標(biāo)(圖7中圓圈內(nèi)的點(diǎn))進(jìn)行聚焦性能分析，其等高線圖如圖8(a)所示，散布函數(shù)的包絡(luò)如圖8(b)、圖8(c)所示。

圖7中水平方向?yàn)榉轿幌?，垂直方向?yàn)榫嚯x向。從圖7可見成像結(jié)果和仿真所用的矩形點(diǎn)陣(圖6)相吻合。圖8(a)為目標(biāo)1的等高線圖，其水平方向?yàn)榉轿幌?，垂直方向?yàn)榫嚯x向。從圖8(b)和圖8(c)可看出散布函數(shù)包絡(luò)規(guī)整，距離向和方位向都采用32倍插值，通過計(jì)算主瓣?3 dB寬度得到方位分辨率為0.27 m。表2給出了目標(biāo)1的積分旁瓣比(ISLR)和峰值旁瓣比(PSLR)。ISLR和PSLR的值也都在理論值(ISLR大約為?9.8 dB, PSLR大約為?13.26 dB )附近。這表明本文算法聚焦性能良好。

表2 聚焦性能指標(biāo)(dB)

對(duì)相同的仿真數(shù)據(jù)分別采用本文算法和FFBP算法在同一臺(tái)電腦上進(jìn)行處理。其中，數(shù)據(jù)大小為8192×8192(方位×距離)，電腦配置為Intel(R) Core(TM) i5-3570 CPU@3.40 GHz, RAM 4.00 GB。子孔徑個(gè)數(shù)分別為8, 16, 32, 64和128時(shí)，兩種算法的處理時(shí)間(由于電腦配置、程序優(yōu)化等影響，處理時(shí)間會(huì)有差異)如圖9所示。從圖9可以看出，在本仿真中，兩條曲線都呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，但是本文提出的算法處理時(shí)間比較短。

通過仿真可知，本文算法成像質(zhì)量良好，并且相對(duì)于FFBP算法，本文算法處理時(shí)間短，處理效率明顯提高。

7 結(jié)束語

圖6 場(chǎng)景布點(diǎn)示意圖

圖8 本文算法成像性能分析

圖9 處理時(shí)間對(duì)比

本文提出了一種針對(duì)聚束模式的基于幾何校正的快速分級(jí)后投影算法，該算法通過基于FFT的距離維平移和角度維旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)子圖像配準(zhǔn)合成。相對(duì)于2維逐點(diǎn)插值運(yùn)算，該方法計(jì)算量小，效率高并且處理方便簡(jiǎn)單。然而由于距離平移量和角度旋轉(zhuǎn)量是通過近似計(jì)算得到的。為了滿足成像質(zhì)量要求，成像場(chǎng)景的范圍受到限制。提高距離平移量和角度旋轉(zhuǎn)量的精度，擴(kuò)大場(chǎng)景范圍并將其推廣應(yīng)用到其他成像模式需要進(jìn)一步研究。

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左紹山： 男，1988年生，博士生，研究方向?yàn)镾AR成像.

楊澤民： 男，1988年生，博士生，研究方向?yàn)樾禽dSAR成像.

孫光才： 男，1984年生，講師，研究方向?yàn)镾AR成像和動(dòng)目標(biāo)檢測(cè).

邢孟道： 男，1975年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槔走_(dá)成像和目標(biāo)識(shí)別.

Geometric Correction Based Fast Factorized Back Projection Algorithm for Spotlight SAR Imaging

Zuo Shao-shan Yang Ze-min Sun Guang-cai Xing Meng-dao
(National Laboratory of Radar Signal Processing, Xidian University, Xi'an 710071, China)

Compared with the Back Projection Algorithm (BPA), the interpolation load of the Fast Factorized Back Projection Algorithm (FFBPA) is released. However, the 2D interpolation in the image domain is essential for the FFBPA and the intensive computational burden limits its application in practice. This paper presents the geometric correction based FFBPA for the spotlight SAR imaging. In this algorithm, the sub-image registration is accomplished by the geometric correction method that the sub-image projection in the different coordinate systems and sub-image fusion are fulfilled by the shift in the range dimension and the rotation in the angle dimension. Thus the method avoids the individual interpolation and it is more efficient than the FFBPA. Simulation results validate its imaging performance and efficiency.

SAR; Spotlight; Fast Factorized Back Projection Algorithm (FFBPA); Geometric correction; Individual interpolation

TN957.51

： A

：1009-5896(2015)06-1389-06

10.11999/JEIT141254

2014-09-26收到，2015-02-09改回

國(guó)家自然科學(xué)青年基金(61301292)和教育部博士點(diǎn)基金(20130203120007)資助課題

*通信作者：左紹山 zuoshaoshan@126.com