(西華大學應用數(shù)學研究所，四川 成都 610039)

·基礎學科·

從相似結構到相似構造法的微分方程邊值問題求解方法綜述

李 順 初

(西華大學應用數(shù)學研究所，四川 成都 610039)

論述從微分方程的邊值問題的解的相似結構到求解微分方程的相似構造法的認識和形成過程，綜述其研究現(xiàn)狀，分析了研究的脈絡，總結了當前研究的不足，指出了未來研究的方向。

微分方程； 邊值問題； 相似結構；相似構造法

研究事物的相似特性，是人們認識世界的最重要的方法之一。本世紀之初興起的微分方程解的相似結構的研究正處于生機勃勃的發(fā)展之時，尤其是2010年發(fā)表的文獻[1]分析了解的相似思想的形成及研究的意義，剖析了解的相似結構與定解方程和邊值條件間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)了一種利用相似結構式和相似核函數(shù)構造定解問題的解的方法——相似構造法，列舉了一些在油氣藏滲流問題中的應用實例，并對微分方程解的相似結構理論的研究與應用前景進行了展望；在其后的短短的4年間,相關的研究論文達60余篇，逐漸建立了微分方程解的相似結構理論的基礎，且其應用范圍也不斷地在擴展，使理論與應用交相輝映，生機昂然。

本文通過對10余年來的相關的研究成果進行疏理，依據(jù)其理論基礎進行分類和綜述，找尋理論研究和應用的脈絡。

1 微分方程解的相似結構與相似構造法

在文獻[1]之前的相關研究中，本質上探討的全是微分方程的解的相似結構，其硏究的特點是：

1)針對二階齊次線性常微分方程的邊值問題，研究其左(內)邊界條件為非齊次的情形。

2)先對右(外)無窮大、第1類齊次、第2類齊次邊界條件分別進行求解，再分析其解式，找到對應的相似核函數(shù)和邊值問題的解的結構式(一個統(tǒng)一的表達式, 即解固有的相似結構式)。

3)分析左(內)邊界條件中的參數(shù)對解的影響，由于可在同一坐標系下很方便地繪制不同右(外)邊界條件的解曲線，為分析解的特性帶來了全新的感知。

4)在應用到實際問題時，首先將其數(shù)學模型無量綱化；若為偏微分方程的初邊值問題，則施行相應的積分變換將其轉化為常微分方程的邊值問題，在獲得解的相似結構后，經(jīng)逆積分變換即可編程制作相應的分析圖版。

在文獻[1]之后的研究進入了一個全新的階段，其標志性的事件就是求解微分方程的相似構造法的提出，其特點為：

1)求解微分方程的相似構造法的思想來源于對微分方程的解的相似結構的深入研究；

2)直接針對第三類齊次(或非齊次)右(外)邊界條件進行探討，找尋邊值問題的解的相似結構式和對應右(外)邊界條件的相似核函數(shù)；

3)根據(jù)解的相似結構式設計出求解微分方程的邊值問題的相似構造法；

4)相似構造法給求解微分方程的邊值問題帶來了全新的革命性創(chuàng)造，它避免了繁雜和冗長的理論推導過程，帶來的卻是優(yōu)美的解式和清晰明了、簡潔而易掌握的構造步驟，尤其是對實際問題中遇到的特定的方程來說，該方法還是一個代數(shù)的方法。

鑒于二者的上述緊密關系，也為方便了解相關研究的現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢，下面分常規(guī)型、復合型和耦合型及組合型微分方程的邊值問題的相似構造法的理論基礎及其在石油工程中的應用進行評述和展望。

2 常規(guī)型微分方程的邊值問題的相似構造法

文獻[2]研究了如下常規(guī)型的二階線性齊次微分方程的邊值問題的解的存在性與唯一性

(1)

φ0,0(x1,x2)=y1(x1)y2(x2)-y1(x2)y2(x1)。

其中：

φ0,0(x,b)=y1(x)y2(b)-y1(b)y2(x)；

此式即為邊值問題(1)的解。

這一過程，還可從下面的流程圖(見圖1)中看得更加清楚。

圖1 常規(guī)型微分方程的邊值問題的解的相似構造法流程圖

實際上，只需知道邊值問題(1)定解方程的一個非零解y1(x)，再利用Liouville公式構造另一個與之線性無關的解

也可完成上述相似構造法的求解過程(見文獻[6])。

進一步地，文獻[7]還研究了邊值問題(1)中右(外)邊界條件為非齊次的情況，將相似構造法進行了有益的推廣。

由于科學與工程中常常遇到的是一些特殊方程，它們的解往往是特殊函數(shù)，而根據(jù)相應的特殊函數(shù)的微分遞推關系式，可以消除上述第2步中的求導運算，從而使此類相似構造法轉化成為一種代數(shù)方法，這在實際應用中具有極其現(xiàn)實的意義。已有研究的特殊方程有Bessel方程[8-9]、Euler超幾何方程[10-12]、Airy方程[13]、Thomson方程[14]、第一種Weber方程[15]。

在具體應用方面，廣泛的應用有待不斷的擴展，現(xiàn)時還局限于求解和分析石油工程中的油氣藏滲流問題這一領域，可用常規(guī)型微分方程邊值問題的相似構造法去進行研究的油氣藏滲流問題有：

1)均質油藏中的滲流問題[16-17]，分形均質油藏中的滲流問題[3,18-25]，考慮二次壓力梯度的非線性均質油藏中的滲流問題[26-31]；

2)雙孔油藏中的擬穩(wěn)定滲流問題[32]，分形雙孔油藏中的擬穩(wěn)定滲流問題[9,33-34]，考慮二次壓力梯度的非線性雙孔油藏中的擬穩(wěn)定滲流問題[35-37]；

3)雙孔油藏中的不穩(wěn)定滲流問題(球狀基情形,見文獻[38-41])，分形雙孔油藏中的不穩(wěn)定滲流問題(待硏)，考慮二次壓力梯度的非線性雙孔油藏中的不穩(wěn)定滲流問題(待硏)；

4)多層合采油藏中的滲流問題[42-46]，分形多層合采油藏中的滲流問題[46-47]，考慮二次壓力梯度的非線性多層合采油藏中的滲流問題[48-49]。

值得注意的是：1)這些研究還僅僅局限于平面徑向流和球面向心流的情形(見圖2)；2)在考慮二次壓力梯度的非線性滲流問題時，需要事先作一個適當?shù)暮瘮?shù)變換，以消除定解方程中的非線性項；3)利用Laplace變換將其滲流模型轉化為邊值問題(1)，而后再用相似構造法，而利用其他的積分變換法和分離變換法等方法轉化為邊值問題(1)的情形，還有待探討。

相似構造法在求解油氣藏滲流模型中的地位是十分重要的(見圖3)。

圖2 已完成相似構造法求解的油氣藏滲流模型

圖3 相似構造法在求解油氣藏滲流模型中的地位

3 復合型微分方程的邊值問題的相似構造法

文獻[50]研究了如下復合型的二階線性齊次微分方程的邊值問題的解的相似構造法：

(2)

其中：a,b,c,D,E,F,G,H,α,β均為已知的實常數(shù),且D≠0,G2+H2≠0,a

第1步利用邊值問題(2)中的左區(qū)定解方程

第2步利用邊值問題(2)中的右區(qū)定解方程

文獻[51]將邊值問題(2)中的右(外)邊值條件進行推廣到了非齊次的情況。

對于一些特殊方程，此類相似構造法也可轉化成為一種代數(shù)方法。已有研究的復合型的特殊方程有Bessel方程[51]、Hermit方程[52]、第一種Weber方程[53]。

在應用方面，現(xiàn)時也還是局限于求解和分析石油工程中的復合油氣藏滲流問題領域，復合型微分方程邊值問題的相似構造法同樣是十分高效的工具，已經(jīng)獲得研究成果的有：

1)復合油藏中的滲流問題[54-59]；

2)分形復合油藏中的滲流問題[60-61]；

3)考慮二次壓力梯度的非線性(分形)復合油藏中的滲流問題[62-64]。

有關復合型微分方程的邊值問題的相似構造法的理論基礎及應用研究還遠未完善，同樣也存在常規(guī)型微分方程在應用中需要注意的相同問題。

4 耦合型及組合型微分方程的邊值問題的相似構造法

關于一般的耦合型微分方程的邊值問題的相似構造法的理論基礎還未建立起來，但耦合型微分方程的邊值問題在現(xiàn)代科學和工程中卻有十分廣泛的應用，如在石油工程中的雙滲透油氣藏中的分析中就是迫切需要解決的問題。在這方面，已有一些很好的成果：文獻[65]基于解的相似結構，探討了雙滲透油藏問題；文獻[66-67]較為系統(tǒng)地硏究了雙滲透油藏滲流模型解的相似構造法。這些結果為進一步的研究提供了很好的實例。

組合型微分方程的邊值問題的相似構造法的研究正在開展中，已有的成果并不多(見文獻[68-70])，根據(jù)工程(尤其是石油工程)中的需要，未來研究的方向是可以預見的，如表1所示(打“√”者為已研究項)。

表1 基礎理論研究及具體應用的未來研究方向

由此可見，等待我們去探討的東西可謂太多太多，若是再將其相關內容提升到數(shù)學層面和應用于其他學科，就更需不斷努力了。

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(編校：葉超)

DevelopmentofSolutionApproachestoDifferentialEquationsFromtheSimilarStructureofSolutionstotheSimilarityConstructionMethod

LI Shun-chu

(InstituteofAppliedMathematicsofXihuaUniversity,Chengdu610039China)

This paper describes process of cognition and formation from similar structure of solutions to boundary - initial value problem to similarity construction method for differential equation. The research status is reviewed. And context of the research is analyzed. Summarizes the short comings of the present study, poiuts out the future research direction.

differential equation; boundary-values problems; similar structure; similarity construction method

2014-07-21

四川省教育廳自然科學重點項目(12ZA164)

李順初(1963—)，男，教授，主要研究方向為微分方程及其應用。

O29；O357.3

：A

：1673-159X(2015)02-0022-8

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.02.005