靜電場(chǎng)中的常見(jiàn)圖象及應(yīng)用

曾明

靜電場(chǎng)既是高中物理的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，它所涉及的物理量較多，關(guān)系復(fù)雜.由于在討論各個(gè)物理量之間的關(guān)系時(shí)，很多學(xué)生都習(xí)慣用函數(shù)關(guān)系式，有些問(wèn)題就顯得特別復(fù)雜.其實(shí)，如果能用圖象處理有些靜電場(chǎng)中的問(wèn)題，往往可以達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的.同時(shí)應(yīng)用圖象研究物理問(wèn)題，還有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，形象思維，靈活處理物理問(wèn)題的能力，也是高考中體現(xiàn)能力的命題點(diǎn).

下面就舉例分析靜電場(chǎng)中常見(jiàn)圖象問(wèn)題的處理方法.

一、靜電場(chǎng)中的E-x圖象

圖象表示電場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng)隨坐標(biāo)變化的函數(shù)關(guān)系，圖象與x軸圍成的面積表示電勢(shì)差.

例1空間有一沿x軸對(duì)稱分布的電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度E隨x變化的圖象如圖1所示.下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A.O點(diǎn)的電勢(shì)最低

B.x2點(diǎn)的電勢(shì)最高

C.x1和-x1兩點(diǎn)的電勢(shì)相等

D.x1和x3兩點(diǎn)的電勢(shì)相等

解析電場(chǎng)強(qiáng)度是矢量，正負(fù)表示方向.由圖象可知，從坐標(biāo)原點(diǎn)沿x軸正方向，場(chǎng)強(qiáng)方向與+x方向相同，從坐標(biāo)原點(diǎn)沿x軸負(fù)方向，場(chǎng)強(qiáng)與-x方向相同.因?yàn)檠刂妶?chǎng)線的方向電勢(shì)降低，所以從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正方向電勢(shì)降低，從坐標(biāo)原點(diǎn)沿x軸負(fù)方向電勢(shì)也降低，故坐標(biāo)原點(diǎn)O的電勢(shì)最高，A、B錯(cuò)誤.由于電場(chǎng)沿x軸對(duì)稱分布，從圖象可以看出，從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿+x方向和-x方向經(jīng)相同距離x1，E-x圖象和x軸所圍成的面積相等，即電勢(shì)降低相同的量，所以C正確.從x1到x3是沿著電場(chǎng)線的方向，所以x3點(diǎn)的電勢(shì)比x1點(diǎn)的電勢(shì)低，D錯(cuò)誤.本題正確答案是C.

點(diǎn)評(píng)解答本題的關(guān)鍵是：（1）知道在一維坐標(biāo)中，矢量的方向用正負(fù)表示；（2）沿著電場(chǎng)線的方向電勢(shì)越來(lái)越低；（3）E-x圖象和x軸所圍成的面積表示電勢(shì)差.

二、靜電場(chǎng)中的φ-x圖象

圖象表示電勢(shì)隨坐標(biāo)變化的函數(shù)關(guān)系，圖象上某點(diǎn)切線的斜率表示該位置的電場(chǎng)強(qiáng)度.

例2兩電荷量分別為q1和q2的點(diǎn)電荷放在x軸上的O、M兩點(diǎn)，兩電荷連線上各點(diǎn)電勢(shì)φ隨x變化的關(guān)系如圖2所示，其中A、N兩點(diǎn)的電勢(shì)為零，ND段中C點(diǎn)電勢(shì)最高，則（ ）.

A.C點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為零

B.A點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為零

C.NC間場(chǎng)強(qiáng)方向向x軸正方向

D.將一負(fù)點(diǎn)電荷從N點(diǎn)移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力先做負(fù)功后做正功

解析由于φ-x圖象某點(diǎn)切線的斜率表示該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，所以C點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為零，而A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小不為零，A正確，B錯(cuò)誤；從圖象上的N點(diǎn)到C點(diǎn)，電勢(shì)不斷增大，根據(jù)沿著電場(chǎng)線電勢(shì)降低可知，電場(chǎng)強(qiáng)度方向應(yīng)向x軸的負(fù)方向，C錯(cuò)誤；從N到D，電勢(shì)先增大后減小，故負(fù)電荷的電勢(shì)能先減小后增大，因而電場(chǎng)力先做正功后做負(fù)功，D錯(cuò)誤.本題正確答案為A.

點(diǎn)評(píng)正確解答本題的關(guān)鍵是：

（1）知道φ-x圖象的切線斜率表示電場(chǎng)強(qiáng)度的大??；

（2）沿著電場(chǎng)線的方向電勢(shì)降低；

（3）正電荷在電勢(shì)高處電勢(shì)能大，負(fù)電荷在電勢(shì)高處電勢(shì)能小；（4）電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減小，電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增加.

三、靜電場(chǎng)中的v-t圖象

圖象表示電荷運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間變化的關(guān)系，圖象上某點(diǎn)切線的斜率表示加速度，圖象與t軸圍成的面積表示位移.

例3如圖3甲所示，Q1、Q2為兩個(gè)固定點(diǎn)電荷，其中Q1帶正電，它們連線的延長(zhǎng)線上有a、b兩點(diǎn).一正試探電荷以一定的初速度沿直線從b點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)a點(diǎn)向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)，其速度圖象如圖3乙所示.則（ ）.

A.Q2帶正電B.Q2帶負(fù)電

C.試探電荷從b到a的過(guò)程中電勢(shì)能增大

D.試探電荷從b到a的過(guò)程中電勢(shì)能減小

解析試探電荷從b點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)a點(diǎn)向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，處在Q1和Q2電荷產(chǎn)生的合電場(chǎng)中.由圖3乙可知，試探電荷先做減速運(yùn)動(dòng)，若Q2為正，則該電荷將一直加速，故Q2為負(fù)，A錯(cuò)誤，B正確；試探電荷從b到a的過(guò)程中，由圖3乙可知，電荷做減速運(yùn)動(dòng)，故電場(chǎng)力做負(fù)功，因此電勢(shì)能增大，故C正確，D錯(cuò)誤，本題正確答案是BC.

點(diǎn)評(píng)解答本題的關(guān)鍵是：（1）電場(chǎng)的疊加：（2）物體做加、減速運(yùn)動(dòng)的條件；（3）電場(chǎng)力做功和電勢(shì)能變化的關(guān)系.

四、靜電場(chǎng)中的E-t圖象

圖象表示電場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng)隨時(shí)間變化的關(guān)系.

例4一電荷量為q（q>0）、質(zhì)量為m的帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)的作用下，在t=0時(shí)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，場(chǎng)強(qiáng)隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖5所示.不計(jì)重力，求在t=0到t=T的時(shí)間間隔內(nèi)

（1）粒子位移的大小和方向；

（2）粒子沿初始電場(chǎng)反方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

解析（1）粒子在0～T/4、T/4

～T/2、T/2～3T/4、3T/4～T時(shí)間間隔內(nèi)做勻變速運(yùn)動(dòng)，

設(shè)加速度分別為a1、a2、a3、a4，由牛頓第二定律得qE0=ma1、2qE0=-ma2、2qE0=ma3、qE0=-ma4.

由此得帶電粒子在0～T時(shí)間間隔內(nèi)運(yùn)動(dòng)的a-t圖象如圖6（a）所示，對(duì)應(yīng)的v-t圖象如圖（b）所示，其中

v1=a1T4=qE0T4m

由圖6（b）可知，帶電粒子在t=0到t=T時(shí)的位移為

s=T4v1，

聯(lián)立解得s=qE0T216m

它的方向沿初始電場(chǎng)正方向.

（2）由圖（b）可知，粒子在t=3T/8到t=5T/8內(nèi)沿初始電場(chǎng)反方向運(yùn)動(dòng)，總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=5T8-3T8=T4.

點(diǎn)評(píng)解答本題要注意：（1）研究帶電粒子在交變電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，一定要分段進(jìn)行；（2）通過(guò)圖象轉(zhuǎn)換直觀地表示出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況；（3）知道加速度圖象與t軸所圍成的面積表示速度改變的大小，正負(fù)表示方向，速度圖象與t軸所圍成的面積表示位移大小，正負(fù)表示方向.

五、靜電場(chǎng)中的φ-t圖象

圖象表示電場(chǎng)中的電勢(shì)隨時(shí)間變化的關(guān)系.

例5如圖7所示，A、B為一對(duì)中間開(kāi)有小孔的平行金屬板，相距一定距離，A板接地，現(xiàn)有一電子在t=0時(shí)刻在A板小孔中由靜止開(kāi)始向B板運(yùn)動(dòng)，不計(jì)重力及阻力影響，使電子一定能從B板小孔射出，則B板電勢(shì)φB與時(shí)間t的變化規(guī)律是圖8中的（ ）.

解析答案A，加在B板上的電勢(shì)總為正，且大小恒定不變，那么電子進(jìn)入電場(chǎng)之后，將一直受到向上的電場(chǎng)力的作用，所以電子一直做加速運(yùn)動(dòng)，一定能從B板小孔飛出，所以A正確.

答案B，B板上的電勢(shì)按照正弦規(guī)律變化，電子進(jìn)入電場(chǎng)之后，先是向上做加速運(yùn)動(dòng)，且加速度先增大后減小，當(dāng)B板上電勢(shì)變?yōu)樨?fù)值的時(shí)候，電子做向上的減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)電勢(shì)再次減為零的時(shí)候，即4s時(shí)，電子的速度恰好也減為零，之后，電場(chǎng)又變?yōu)檎?，重?fù)上面的過(guò)程，整個(gè)過(guò)程中，電子一直向上運(yùn)動(dòng)，可以從B點(diǎn)飛出， B正確.

答案C，B板上的電勢(shì)按照余弦規(guī)律變化，電子進(jìn)入電場(chǎng)之后，先是向上的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)電勢(shì)變?yōu)樨?fù)值的時(shí)候，電子做向上的減速運(yùn)動(dòng)，直到速度減為零，之后，由于電勢(shì)還是負(fù)值，所以電子要做反向的加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)電勢(shì)變?yōu)榱愕臅r(shí)候，電子的速度最大，之后又開(kāi)始做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度減小為零的時(shí)候，電勢(shì)最大，之后再重復(fù)前面的過(guò)程，所以電子做的是上下的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，不一定能夠從小孔射出，所以C錯(cuò)誤.

答案D，電子的運(yùn)動(dòng)情況和答案C類似，只不過(guò)在各段時(shí)間內(nèi)電子都做的是勻加速和勻減速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的情況和答案C類似，也是往復(fù)運(yùn)動(dòng)，不一定能夠從B板上的小孔射出，所以D錯(cuò)誤.正確答案是AB.

點(diǎn)評(píng)解答本題的關(guān)鍵是：（1）分段處理；（2）正確分析各個(gè)過(guò)程中的受力和運(yùn)動(dòng)情況；（3）特別注意對(duì)稱性.

六、靜電場(chǎng)中的Ep-x圖象

圖象表示電荷的電勢(shì)能隨坐標(biāo)值變化的函數(shù)關(guān)系，圖象上某點(diǎn)切線的斜率代表電場(chǎng)力.

例6一帶負(fù)電的粒子只在電場(chǎng)力作用下沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，其電勢(shì)能Ep隨位置x變化的關(guān)系如圖9所示，其中0～x2段是關(guān)于直線x=x1對(duì)稱的曲線，x2～x3段是直線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A.x1處電場(chǎng)強(qiáng)度最小，但不為零.

B.粒子在0～x2段做勻變速運(yùn)動(dòng)，x2～x3段做勻速直線運(yùn)動(dòng)

C.在0、x1、x2、x3處的電勢(shì)φ0、φ1， φ2， φ3的關(guān)系為φ3>φ2=φ0>φ1.

D.x2～x3段的電場(chǎng)強(qiáng)度大小方向均不變，為一定值.

解析在x1處，圖象切線的斜率為零，故電荷在該點(diǎn)的電場(chǎng)力為零，即場(chǎng)強(qiáng)為零.答案A錯(cuò)誤.

在0～x2的過(guò)程中，圖象的切線斜率先減小后增大，電場(chǎng)力先減小后增大，故不是勻變速運(yùn)動(dòng).而x2～x3段的斜率不變，電場(chǎng)力不變，電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向也不變，做勻變速運(yùn)動(dòng)，故B錯(cuò)誤，D正確.

在0、x1、x2、x3處，電勢(shì)能的關(guān)系為：Ep3>Ep2=Ep0>Ep1，由于粒子帶負(fù)電，故電勢(shì)關(guān)系為：φ3<φ2=φ0<φ1，故C錯(cuò)誤.

本題正確答案是：D

點(diǎn)評(píng)解答本題的關(guān)鍵是：（1）Ep-x圖象的斜率代表電場(chǎng)力；（2）負(fù)電荷在高電勢(shì)處的電勢(shì)能小.

七、靜電場(chǎng)中的C-d圖象

圖象表示電容器的電容與極板之間距離變化的關(guān)系.

例7如圖10所示為一只“極距變化型電容式傳感器”的部分構(gòu)件示意圖.當(dāng)動(dòng)極板和定極板之間的距離d變化時(shí)，電容C便發(fā) 生變化，通過(guò)測(cè)量電容C的變化就可知道兩極板之間距離d的變化情況.在下列圖中能正確反映C與d之間變化規(guī)律的圖象是 （ ）.

解析動(dòng)極板和定極板組成了一個(gè)平行板電容器，其電容C=εs4πkd，由于ε和S保持不變，C和d成反比，故C-d圖象是一條雙曲線.正確答案是A.

點(diǎn)評(píng)解答本題的關(guān)鍵是：（1）知道動(dòng)極板和定極板構(gòu)成一個(gè)平行板電容器；（2）寫出自變量d和函數(shù)C的函數(shù)關(guān)系式.

（收稿日期：2015-02-09）