韓煜東，董雙飛，譚柏川

（重慶交通大學(xué) 管理學(xué)院，重慶 400074）

0 引言

近年來，由于消費(fèi)者越來越追求產(chǎn)品的個(gè)性化、多樣化、定制化，單一型號(hào)的產(chǎn)品裝配線已無法滿足消費(fèi)者的需求，因此可以裝配多種型號(hào)產(chǎn)品的混流裝配線應(yīng)運(yùn)而生?；炝餮b配線已廣泛應(yīng)用于汽車、電子、家電、服裝等產(chǎn)業(yè)中［1］。為提高生產(chǎn)效率、降低瓶頸工位對(duì)生產(chǎn)速度的制約，在生產(chǎn)線設(shè)計(jì)階段，需要在滿足產(chǎn)品裝配工藝先后順序、市場(chǎng)需求量及其他約束的情況下，設(shè)計(jì)合理的生產(chǎn)節(jié)拍，將各任務(wù)分配到各工作站，使各工作站負(fù)荷均衡，即：裝配線平衡設(shè)計(jì)問題［2］。

由于裝配線平衡問題屬于組合優(yōu)化問題，是典型的NP－Hard問題。而且混流裝配線上產(chǎn)品的需求速率不斷變化，譬如家電類產(chǎn)品當(dāng)季節(jié)性需求變化、某類產(chǎn)品的劇增以及新產(chǎn)品引入生產(chǎn)線時(shí)，極易造成生產(chǎn)線的混亂，使得人員的配置以及加工時(shí)間隨之發(fā)生變化，此時(shí)對(duì)混流裝配線的平衡就必須兼顧多方面。應(yīng)用多目標(biāo)優(yōu)化可以有效協(xié)調(diào)生產(chǎn)線上工作站數(shù)量、生產(chǎn)節(jié)拍、工作站負(fù)荷以及工人加工成本之間的關(guān)系，但是針對(duì)這類問題還沒有一種精確的方法進(jìn)行求解。目前解決裝配線平衡問題的方法主要是數(shù)學(xué)規(guī)劃方法和啟發(fā)式算法。Ana Sofia Simaria在工人人數(shù)確定的前提下，提出了優(yōu)化生產(chǎn)節(jié)拍與工作站均衡的模型，并將兩個(gè)不同的模型綜合為一個(gè)模型，利用遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解［3］；Talbot等利用啟發(fā)式算法求解裝配線平衡問題［4］；Lapierre等采用禁忌搜索算法對(duì)裝配線平衡問題進(jìn)行求解［5］；Manavizadeh等在定制與隨機(jī)的環(huán)境下，提出了優(yōu)化工作節(jié)拍和工作站的模型，采用多目標(biāo)遺傳算法求解與多目標(biāo)進(jìn)化算法驗(yàn)證并尋找最優(yōu)方法的方式進(jìn)行研究［6］；Betul提出了工作站數(shù)量的變化導(dǎo)致加工時(shí)間的變化，針對(duì)生產(chǎn)能力效率、各工作站時(shí)間的均衡以及生產(chǎn)線平滑問題，采用蟻群算法對(duì)其進(jìn)行求解［7］。通過以上分析可知，已有文獻(xiàn)主要集中研究工作站或生產(chǎn)節(jié)拍的單目標(biāo)，對(duì)工作站或生產(chǎn)節(jié)拍的制約因素考慮得較少，而且由于約束條件存在量級(jí)差異性，在多目標(biāo)轉(zhuǎn)化的綜合模型中權(quán)重系數(shù)的確定主觀性較強(qiáng)。

苑明海等在大規(guī)模定制的前提下，針對(duì)混流裝配線平衡問題建立了工作站數(shù)量、工作站負(fù)荷以及裝配線效率的數(shù)學(xué)模型，并采用模擬退火算法與遺傳算法相結(jié)合的方式進(jìn)行了平衡計(jì)算［8］；公緒霞等采用模糊優(yōu)化理論，建立了裝配線平衡問題的多目標(biāo)非線性規(guī)劃模型［9］；李明等應(yīng)用多層規(guī)劃對(duì)建立的混流裝配線最大工位持續(xù)時(shí)間最小和總作業(yè)時(shí)間最短的多目標(biāo)模型進(jìn)行平衡調(diào)度方案的研究［10］；于兆勤等從兼顧混流裝配線平均負(fù)荷和瞬時(shí)負(fù)荷出發(fā)，提出綜合運(yùn)用遺傳算法和仿真分析對(duì)平衡問題進(jìn)行求解［11］；彭慧等從混流裝配線的瞬時(shí)負(fù)荷平衡和生產(chǎn)節(jié)拍兩方面研究混流裝配線平衡問題，設(shè)置系數(shù)將兩個(gè)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)，采用迭代遺傳算法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行求解［12］；楊才君等針對(duì)混流裝配線的再平衡問題提出新平衡工作站數(shù)、不同工作站生產(chǎn)不同型號(hào)產(chǎn)品的負(fù)荷波動(dòng)和調(diào)整成本模型，利用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)建立的模型進(jìn)行求解［13］。通過以上分析可知，已有文獻(xiàn)主要集中在混流裝配線模型的建立，而混流裝配線上人員以及時(shí)間的多變性增加了平衡的難度，顯然現(xiàn)有的優(yōu)化目標(biāo)以及求解方式較難滿足當(dāng)前汽車、電子等行業(yè)的要求。

本文根據(jù)上述分析，針對(duì)模型建立、求解方式等問題展開研究，以混流裝配線實(shí)際生產(chǎn)節(jié)拍時(shí)間最小化和分配合適的工人到相應(yīng)的工作站以降低產(chǎn)品的加工成本為目標(biāo)，建立混流裝配線平衡模型?？紤]到求解的復(fù)雜性，改進(jìn)交叉與變異操作，提出種群擴(kuò)張機(jī)制，設(shè)計(jì)基于自然數(shù)序列的遺傳算法對(duì)本文建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。最后，結(jié)合實(shí)際算例對(duì)模型和算法進(jìn)行有效性檢驗(yàn)與分析。

1 模型建立

1.1 問題描述

混流裝配線即使在同一平臺(tái)上生產(chǎn)p種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品的工藝要求都不盡相同，使得不同產(chǎn)品的作業(yè)元素及作業(yè)順序有一定差異。為研究p種不同型號(hào)產(chǎn)品的混流裝配線平衡問題，首先將每種產(chǎn)品的作業(yè)順序圖合成為一個(gè)綜合作業(yè)順序圖。如圖1～圖4所示。綜合作業(yè)順序圖包含了p種產(chǎn)品的n個(gè)作業(yè)任務(wù)，對(duì)于同一作業(yè)元素，不同產(chǎn)品的作業(yè)時(shí)間可能不同，當(dāng)一種產(chǎn)品的裝配不包含其中某項(xiàng)作業(yè)元素時(shí)，該作業(yè)元素的作業(yè)時(shí)間為零。本文在建立不同產(chǎn)品需求速率（企業(yè)已有的工作站數(shù)不能改變）的前提下，通過調(diào)節(jié)生產(chǎn)節(jié)拍以及降低產(chǎn)品的加工成本來實(shí)現(xiàn)混流裝配線的平衡。

該問題的基本假定如下：

（1）不同產(chǎn)品的相同任務(wù)分配到同一個(gè)工作站；

（2）任務(wù)之間的先后順序已知，不同產(chǎn)品的任務(wù)先后順序圖可以綜合為一個(gè)先后順序圖；

（3）任務(wù)時(shí)間確定，不同產(chǎn)品的相同任務(wù)的操作時(shí)間可能不同；

（4）每個(gè)工作站內(nèi)的任務(wù)加權(quán)時(shí)間不超過節(jié)拍時(shí)間，無并行工作站；

（5）每個(gè)工作站只有一個(gè)人。

1.2 多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

該問題的參數(shù)和決策變量采用如下符號(hào)：

（1）參數(shù)

n為任務(wù)總數(shù)；

p為產(chǎn)品型號(hào)數(shù)；

ciω為工人ω操作任務(wù)i的操作成本；

dj為產(chǎn)品j的需求量；

k為工作站數(shù)，k＝1，2，…，n；

wj為產(chǎn)品型號(hào)j在總產(chǎn)量中的比重，j＝1，2，…，p；

tij為產(chǎn)品j的任務(wù)i的作業(yè)時(shí)間，i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，p；

pre（i）為按照任務(wù)的先后順序，先于任務(wù)i完成的任務(wù)集合，i＝1，2，…，n。

（2）決策變量

在裝配線生產(chǎn)中，由于工人的文化程度和工作經(jīng)驗(yàn)不同，導(dǎo)致操作相同任務(wù)所花費(fèi)的時(shí)間不同，在此期間發(fā)生的費(fèi)用具有一定的差異性。因此安排合適的工人去對(duì)應(yīng)的工作站以降低產(chǎn)品的總加工成本，在混流裝配線平衡中就顯得很有實(shí)際價(jià)值。表1所示為四個(gè)工人操作相同任務(wù)所產(chǎn)生的費(fèi)用。

表1 不同工人加工產(chǎn)品所需成本

續(xù)表1

安排合適的工人到相應(yīng)的工作站，使得產(chǎn)品的加工成本最小。如果工人ω，任務(wù)i被分配到工作站k，則工作站k內(nèi)產(chǎn)品的加工成本為：

混流裝配線加工產(chǎn)品所產(chǎn)生的總成本為：

因此，混流裝配線多目標(biāo)平衡優(yōu)化模型可以表示為：

其中：第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)（3）是使各工作站所有產(chǎn)品的加權(quán)任務(wù)總時(shí)間的最大值最小化，即優(yōu)化裝配線的生產(chǎn)節(jié)拍；第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)（4）使各工作站時(shí)間的均方差最小化，即均衡各工作站的加權(quán)任務(wù)時(shí)間；第三個(gè)目標(biāo)函數(shù)（5）是使得產(chǎn)品的加工成本最小；約束（6）表示每個(gè)任務(wù)都被分配但只能分配到一個(gè)工作站；約束（7）表示必須遵守任務(wù)的優(yōu)先順序關(guān)系；約束（8）表示每個(gè)工人最多只能分配到一個(gè)工作站；約束（9）表示節(jié)拍時(shí)間約束，即分配到每個(gè)工作站的所有產(chǎn)品的加權(quán)任務(wù)總時(shí)間不得超過事先規(guī)定的節(jié)拍時(shí)間；約束（10）表示任務(wù)分配和工人分配的決策變量都是0/1型變量。

2 針對(duì)混流裝配線多目標(biāo)平衡優(yōu)化設(shè)計(jì)遺傳算法

對(duì)于多目標(biāo)平衡問題，一般通過將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題以降低問題的復(fù)雜性的方式，賦予每個(gè)目標(biāo)權(quán)重或者目標(biāo)規(guī)劃進(jìn)行求解。然而對(duì)單一目標(biāo)的混流裝配線進(jìn)行優(yōu)化，往往由于實(shí)際規(guī)模的數(shù)據(jù)量較大，導(dǎo)致混流裝配線問題難以采用精確的算法求解。

遺傳算法是一種自適應(yīng)的隨機(jī)化搜索方法，具有良好的穩(wěn)定性、內(nèi)在的隱并性和全局尋優(yōu)能力，直接對(duì)結(jié)構(gòu)對(duì)象進(jìn)行操作且不要求優(yōu)化函數(shù)連續(xù)或可導(dǎo)，已被廣泛應(yīng)用于處理多目標(biāo)優(yōu)化問題以及裝配線平衡問題。本文針對(duì)提出的優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的遺傳算法來處理混流裝配線平衡問題。通過對(duì)編碼方式的優(yōu)化，增加了算法的可視化操作；利用拓?fù)渑判蚶碚撋沙跏挤N群，生成的個(gè)體為可行解，增強(qiáng)了算法的可靠性并提高了其尋優(yōu)速度；選擇適應(yīng)度值高的個(gè)體進(jìn)入配對(duì)池；設(shè)計(jì)交叉、變異算子，用于前期擴(kuò)大搜索范圍、后期保護(hù)優(yōu)秀個(gè)體；提出種群擴(kuò)張機(jī)制以提高算法的全局尋優(yōu)能力。

2.1 編碼與插零操作

采用基于作業(yè)順序的染色體編碼規(guī)則，按照作業(yè)的先后順序，將n個(gè)作業(yè)元素排成一排，每個(gè)作業(yè)元素對(duì)應(yīng)一個(gè)基因位，作業(yè)元素按作業(yè)順序分配到各個(gè)工作站，工作站中產(chǎn)品的加權(quán)時(shí)間不能超過預(yù)先設(shè)定的生產(chǎn)節(jié)拍，按照工作站中工序的排列順序進(jìn)行編碼。最終該染色體是采用由n個(gè)作業(yè)元素和k＋1個(gè)零組成的長(zhǎng)度為n＋k＋1的編碼方式，其中零可表示當(dāng)前工作站的作業(yè)元素開始（或結(jié)束）位置，兩個(gè)零之間的作業(yè)元素表示同屬于一個(gè)工作站，如圖5所示。

2.2 生成初始種群

初始種群的好壞將直接決定進(jìn)化過程的優(yōu)劣，好的初始種群將提高算法的運(yùn)行效率。為保證初始種群中個(gè)體的多樣性與解的可行性，采用拓?fù)渑判蚝碗S機(jī)搜索法來生成初始種群，過程如下：

步驟1 令混流裝配線的任務(wù)合集TS＝｛ts1，ts2，…，tsn｝。

步驟2 根據(jù)綜合作業(yè)順序圖，從集合TS中找出無緊前或者是緊前已分配的任務(wù)放入集合TS1中，并在綜合作業(yè)圖中刪除選出的任務(wù)i和與之有關(guān)的邏輯順序。

步驟3 從集合TS1中隨機(jī)選擇一個(gè)任務(wù)，放入相應(yīng)的基因位置。

步驟4 如果任務(wù)集合TS＝?，則分配結(jié)束，否則轉(zhuǎn)步驟2。

在初始種群的生成過程中，每次分配任務(wù)都保證其緊前任務(wù)均被分配，從而保證了種群中個(gè)體的可行性，采用拓?fù)渑判蚺c隨機(jī)搜索相結(jié)合的方式，保證了初始種群具有足夠的多樣性。

2.3 解碼

針對(duì)設(shè)定的工作站數(shù)量，對(duì)初始種群的每一個(gè)可行解，按照計(jì)算的最小節(jié)拍Ctheory劃分到不同的工作站中，從而判斷初始種群中個(gè)體的優(yōu)劣。

步驟1 初始化節(jié)拍：計(jì)算理論最小節(jié)拍Ctheory＝Total/k，Total為所有作業(yè)元素加工不同產(chǎn)品的加權(quán)總作業(yè)時(shí)間，k為給定的工作站數(shù)，令C＊＝Ctheory。

步驟2 以C＊為節(jié)拍，按照作業(yè)元素的分配順序，n個(gè)作業(yè)元素分配至k個(gè)工作站中，每個(gè)工作站的時(shí)間分別為T1，T2，…，Tk，k＝1，2，…，n。如果每個(gè)工作站的時(shí)間Tk≤C＊，則C＊就是這種排列下的最小節(jié)拍，搜索停止；否則執(zhí)行步驟3。

步驟3 計(jì)算裝配線節(jié)拍的潛在增量Δ1，Δ2，…，Δn－1，其中Δk，k＝1，2，…，（n－1）的值分別是第k＋1個(gè)工作站的第一個(gè)作業(yè)元素的時(shí)間。

通過每個(gè)個(gè)體的解碼操作，確定種群中個(gè)體工作站任務(wù)的分配，此時(shí)在每個(gè)工作站之間進(jìn)行插零操作，以提高算法的可視化操作。

2.4 適應(yīng)度

由于本文建立數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)為求最小值，個(gè)體的適應(yīng)度值與種群中個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值相悖，即個(gè)體目標(biāo)函數(shù)值越小，其對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值越大。因此其適應(yīng)度函數(shù)可以設(shè)計(jì)如下：

式中：f為個(gè)體對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)；u為不小于maxf的常數(shù)。為保證遺傳算法在進(jìn)化初期保持種群的多樣性，在進(jìn)化后期突出優(yōu)良個(gè)體，本文應(yīng)用適應(yīng)度尺度變換法，縮小進(jìn)化初期個(gè)體適應(yīng)度的差異，擴(kuò)大進(jìn)化后期個(gè)體適應(yīng)度的差異［11］。

2.5 選擇

步驟1 計(jì)算出整個(gè)種群的適應(yīng)度值的總和S。

步驟2 將每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值以隨機(jī)的順序映射到實(shí)線段［0，S］上相對(duì)應(yīng)的線段上，從而每一線段的長(zhǎng)度就與相對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值的大小成比例，如圖6所示。

步驟3 從間隔［0，S/N］中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)S0，S/N為適應(yīng)度值的平均值。

步驟4 計(jì)算出N個(gè)平均分布的數(shù)Si，其中Si＝S0＋i×（S/N），i＝0，1，2，…，N－1。計(jì)算集合｛Si｝中落在間隔k上值的個(gè)數(shù)，記為nk，如圖7所示。

步驟5 對(duì)于每一個(gè)k（k＝1，2，…，N），將個(gè)體k復(fù)制nk次。這種選擇方法保證了適應(yīng)度值高于群體平均適應(yīng)度值的個(gè)體一定會(huì)被選擇，從而加快算法的收斂速度。

2.6 交叉與變異

2.6.1 交叉操作

針對(duì)問題的特性和編碼方式，本文采用兩點(diǎn)交叉方法。從種群中隨機(jī)選取兩個(gè)染色體作為父代1、父代2并隨意生成兩個(gè)交叉點(diǎn)γ1、γ2（1≤γ1＜γ2≤n），將兩個(gè)父代染色體分為前中后三部分。取出父代1中染色體的中間部分，同時(shí)在父代2中查找這部分基因的排列順序，用父代2中的排列順序取代原來的排列順序，生成子代1；同理，取出父代2中染色體的中間部分，同時(shí)在父代1中查找這部分基因的排列順序，用父代1中的排列順序取代原來的排列順序，生成子代2。

2.6.2 變異操作

隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)染色體作為父代，然后產(chǎn)生一個(gè)變異點(diǎn)1≤γ3≤n。找出變異點(diǎn)的緊前工序與緊后工序，保持緊前工序及其以前的基因位置不變，保持緊后工序及其之后的基因位置不變，將變異點(diǎn)隨機(jī)插入染色體中緊前工序與緊后工序之間的基因位置，將這三部分基因合成為一個(gè)就生成了子代染色體（如圖9）。

2.6.3 算子設(shè)計(jì)

初始種群的個(gè)體雖然是可行解，但在算法運(yùn)行的早期，無法判斷出最優(yōu)個(gè)體是否出現(xiàn)。因此可以增大交叉和變異的概率以增強(qiáng)算法的尋優(yōu)能力；在迭代后期，算法逐漸收斂時(shí)，個(gè)體適應(yīng)度值變高，為不破壞個(gè)體中基因的優(yōu)良性，此時(shí)往往減小交叉和變異的概率，以提高算法的運(yùn)行效率，

式中：M為最大迭代次數(shù)，m為迭代次數(shù)，Pc為交叉概率，Pm為變異概率，Pcmin為最小交叉概率，Pcmax為最大交叉概率，Pmmin為最小變異概率，Pmmax為最大變異概率。

由于裝配線的優(yōu)化涉及任務(wù)之間的邏輯關(guān)系，本文算法的迭代步驟都受到約束關(guān)系的制約，從而保證在算法運(yùn)行中的所有個(gè)體都為可行解，以此加快算法的尋優(yōu)速度；此外，提出的改進(jìn)遺傳算法通過增設(shè)種群擴(kuò)張機(jī)制提高了算法的全局尋優(yōu)能力，按種群中個(gè)體適應(yīng)度值的大小排序，將子代種群中R個(gè)個(gè)體和父代種群中適應(yīng)度值小的前r個(gè)個(gè)體共同構(gòu)成一個(gè)包含（R＋r）個(gè)個(gè)體的新種群，對(duì)新種群個(gè)體進(jìn)行交叉和變異操作，產(chǎn)生R個(gè)新的子代種群個(gè)體，擴(kuò)大種群的搜索范圍。

綜上所述，本文設(shè)計(jì)的遺傳算法思路如圖10所示。

3 數(shù)值試驗(yàn)

為了便于與標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法進(jìn)行對(duì)比，首先，只考慮最小生產(chǎn)節(jié)拍與縱向平衡兩個(gè)目標(biāo)。采用本文提出的改進(jìn)遺傳算法和標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法進(jìn)行求解，對(duì)比結(jié)果如表2所示。從表中可以看出，所有案例的測(cè)試結(jié)果都表明改進(jìn)的遺傳算法在處理混流裝配線平衡問題上優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法。在運(yùn)行時(shí)間上，改進(jìn)遺傳算法具有一定的優(yōu)勢(shì)（如圖11）。

表2 優(yōu)化生產(chǎn)節(jié)拍與縱向平衡的結(jié)果對(duì)比

然后，同時(shí)考慮最小化生產(chǎn)節(jié)拍、各工作站內(nèi)產(chǎn)品加權(quán)任務(wù)時(shí)間均衡、安排相應(yīng)工人進(jìn)入對(duì)應(yīng)工作站以降低產(chǎn)品加工成本三個(gè)目標(biāo)，采用改進(jìn)遺傳算法求解。表3所示為求解結(jié)果。

最后，為了驗(yàn)證改進(jìn)遺傳算法的有效性，采用文獻(xiàn)［11］的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。該問題包含3種產(chǎn)品和39個(gè)任務(wù)，任務(wù)之間的綜合順序關(guān)系如圖12所示，每種產(chǎn)品的作業(yè)時(shí)間以及不同工人加工不同產(chǎn)品的成本如表4和表5所示。通過計(jì)算，表6給出了該問題的文獻(xiàn)中的算法、標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法和改進(jìn)遺傳算法求解的最終優(yōu)化結(jié)果。

表3 同時(shí)考慮三個(gè)目標(biāo)的測(cè)試結(jié)果

續(xù)表3

表4 每個(gè)任務(wù)的作業(yè)時(shí)間

表5 每個(gè)工人的加工成本

續(xù)表5

表6 優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié)束語

混流裝配線平衡對(duì)越來越重視生產(chǎn)線效率以及質(zhì)量的汽車、電子等制造型企業(yè)具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。本文對(duì)混流裝配線平衡問題建立了多目標(biāo)模型并進(jìn)行了優(yōu)化研究，從優(yōu)化生產(chǎn)節(jié)拍、保證各工作站的加工時(shí)間均衡以及優(yōu)化產(chǎn)品的加工成本方面建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，針對(duì)建立的模型，運(yùn)用自然數(shù)序列編碼策略和拓?fù)渑判蚶碚?，改進(jìn)算法的交叉、變異操作并進(jìn)行求解。通過實(shí)例驗(yàn)算表明了本文提出的改進(jìn)遺傳算法能夠有效解決混流裝配線多目標(biāo)問題。針對(duì)具體企業(yè)的產(chǎn)品需求速率變化，通過應(yīng)用該算法改進(jìn)了混流裝配線的生產(chǎn)效率，提升了企業(yè)的產(chǎn)能，使企業(yè)能更好地滿足消費(fèi)者的需求。本文所設(shè)計(jì)的改進(jìn)遺傳算法還可以進(jìn)一步用于雙邊、U型混流裝配線多目標(biāo)平衡優(yōu)化的研究。

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