混沌時間序列在股票價格長期預(yù)測中的應(yīng)用

顧秋宇，朱 捷，徐 晶

(黑龍江科技大學(xué)，哈爾濱150000)

混沌時間序列是一種從無序和復(fù)雜的環(huán)境中產(chǎn)生出有序和規(guī)律的系統(tǒng)，該序列的研究構(gòu)成混沌理論的重要組成部分.在股票市場上，股票價格時間序列具有多種不確定性和非線性，具備混沌特性.利用混沌時間序列對股票價格進(jìn)行預(yù)測已成為學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn).

數(shù)學(xué)家Vladimir N·Vapnik等通過30余年的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論研究，提出來的支持向量機(jī)(support vector machine，簡稱SVM)算法已得到國際數(shù)據(jù)挖掘?qū)W術(shù)界的重視，并在語音識別、文字識別、藥物設(shè)計、組合化學(xué)、時間序列預(yù)測等研究領(lǐng)域得到成功應(yīng)用，該新方法從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論出發(fā)，論證和實(shí)現(xiàn)了在小樣本情況下能最大限度地提高預(yù)報可靠性的方法，其研究成果令人鼓舞.張學(xué)工、楊杰等率先將有關(guān)研究成果引入國內(nèi)計算機(jī)學(xué)界，并開展了SVM算法及其應(yīng)用研究，但混沌序列的股票市場領(lǐng)域內(nèi)尚未見SVM的應(yīng)用報道[1－3].

由于混沌時間序列對初值敏感，預(yù)測誤差將會迅速放大，如果直接輸入SVM算法中，會降低算法的預(yù)測效果.本文利用混沌動力系統(tǒng)的相空間延遲坐標(biāo)重構(gòu)理論，求出嵌入維數(shù)和延遲時間，將SVM算法的核函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，以減少累積誤差，建立混沌時間序列的支持向量機(jī)預(yù)測模型.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對股票價格的預(yù)測，改進(jìn)的支持向量機(jī)模型比RBF模型具有更好的預(yù)測效果.

1 混沌時間序列空間重構(gòu)

一個混沌時間序列的行為由許多有序行為組合而成，所以混沌時間序列預(yù)測的基礎(chǔ)是狀態(tài)空間的重構(gòu)理論，通過相空間重構(gòu)，可以揭示混沌時間序列的內(nèi)部結(jié)構(gòu).

混沌時間序列的數(shù)值是通過系統(tǒng)中其他變量相互作用得到的，利用其確定的延遲時間作為系統(tǒng)新的不同坐標(biāo)上的數(shù)值，得到一個多維狀態(tài)空間，即重構(gòu)一個與原系統(tǒng)等價的相空間.這個維數(shù)通常被稱為空間的嵌入維數(shù)m，確定的時間延時被稱為空間的延遲時間τ.

1.1 延遲時間τ的選取方法

延遲時間是一個重要的相空間重構(gòu)參數(shù).最佳延遲時間τ不能選的太大也不能太小，當(dāng)τ選擇的太小時，延遲矢量各坐標(biāo)值之間有很強(qiáng)的相關(guān)性，信息不易顯露，產(chǎn)生冗余誤差;而當(dāng)τ選擇的太大時，重構(gòu)矢量各坐標(biāo)值之間的關(guān)系幾乎變成隨機(jī)的，破壞了原系統(tǒng)各變量之間的內(nèi)在關(guān)系，將使得重構(gòu)矢量包含的原動力系統(tǒng)信號失真.因此應(yīng)該選取合適的τ，使重構(gòu)矢量保持原動力系統(tǒng)各變量之間的關(guān)系.

延遲時間τ與嵌入維數(shù)m的選取互不相關(guān)，即τ與m的選取是獨(dú)立進(jìn)行的.方法主要有:自相關(guān)法、復(fù)自相關(guān)法、去偏自相關(guān)法、互信息法和AD法，本文采用了互信息法進(jìn)行選取.

1.2 嵌入維數(shù)m的選取方法

Cao方法是1992年Cao在虛假鄰域算法的基礎(chǔ)上提出的一種直觀、簡潔的判定時間序列數(shù)據(jù)具有非線性和混沌特性的方法[4－6].

對時間序列 x(t1)，x(t2)，…x(ti)，…，x(tn)，重構(gòu)m維和m+1維相空間，計算:

當(dāng)m＞m0時，E1(m)的值停止變化，得到最小的嵌入維數(shù)m0+1.

1.3 Lyapunov 指數(shù)

混沌系統(tǒng)的基本特征是系統(tǒng)對初值的極端敏感性，兩個幾乎相同的初始軌跡隨時間產(chǎn)生的分離指數(shù)、Lyapunov指數(shù)的定量描述這一現(xiàn)象.Lyapunov指數(shù)的定義是:取映射F所代表系統(tǒng)在各次迭代點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)絕對值的對數(shù)平均值相空間中的每一維都有其各自的Lyapunov指數(shù)是指相空間中鄰近軌道發(fā)散或收斂的平均指數(shù)率.要判斷系統(tǒng)是否存在混沌現(xiàn)象，其中一種方法可以從最大Lyapunov指數(shù)是否大于零判斷:系統(tǒng)中存在一個正的Lyapunov指數(shù)，就意味著在這個系統(tǒng)相空間中，無論初始兩條軌線的間距多么小，其差別會隨著時間的演化，增加發(fā)展指數(shù)率，達(dá)到不可預(yù)測，這就是混沌現(xiàn)象.

計算Lyapunov的方法有很多種，通常，在實(shí)際運(yùn)用識別中，只計算系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)便可，主要的方法有:定義法、Wolf法，Jacobian法，小數(shù)據(jù)量法等等.

本文通過Wolf法計算Lyapunov指數(shù).易知，當(dāng)最大λ＞0時，系統(tǒng)存在混沌特性.

2 改進(jìn)的最小支持向量機(jī)算法

分析長期累積誤差，找到減小誤差的條件.在預(yù)測過程中應(yīng)用最小二乘支持向量機(jī)，為減小累計誤差對其中的核函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，使其改進(jìn)核函數(shù)滿足減小誤差的條件.用改進(jìn)的模型進(jìn)行預(yù)測.

2.1 長期預(yù)測的累積誤差分析

混沌時間序列是具有確定結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)系統(tǒng)，因?yàn)榛煦鐣r間序列對初值敏感，預(yù)測誤差將會迅速放大，所以需要對長期累積誤差進(jìn)行分析，找到減小誤差的條件.因此在實(shí)際應(yīng)用中，必須考慮折衷的方案—在不改變優(yōu)化準(zhǔn)則的情況下，盡量降低誤差累積的速度.長期預(yù)測的誤差由模型的系數(shù)、基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)和一步預(yù)測誤差構(gòu)成.從誤差累積的公式看，其加權(quán)系數(shù)由訓(xùn)練過程決定，只有基函數(shù)可以人為選擇.基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是影響誤差累積速度的另一個重要因素.因此，用導(dǎo)數(shù)較小的函數(shù)作為基函數(shù)，誤差發(fā)散的速度將低于導(dǎo)數(shù)較大的函數(shù)，這樣應(yīng)用改進(jìn)的基函數(shù)在預(yù)測時就能夠延長預(yù)測時間.因此，改進(jìn)的基函數(shù)應(yīng)該滿足以下兩個條件[7－8]:

1)在定義域內(nèi)具有較小的導(dǎo)函數(shù)，即|f'(x)|＜1;

2)具有緊支撐結(jié)構(gòu)，即在定義域外有快速的衰減.

2.2 改進(jìn)最小二乘支持向量機(jī)模型

為了提高支持向量機(jī)的計算速度，根據(jù)最小二乘法的這些優(yōu)點(diǎn)，Suykens等人提出了最小二乘支持向量機(jī)(LS－SVM)，它是SVM采用二次損失函數(shù)的一種形式.最小二乘支持向量機(jī)通過非線性映射到高維特征空間中的數(shù)據(jù)擬合成超平面，同時進(jìn)行分類，運(yùn)用最小二乘法求出最優(yōu)解，提煉出數(shù)據(jù)包含的信息，它簡化了計算量，加快了計算速度.

其他思路與支持向量機(jī)相同，通過使用特征映射將線性不可分的樣本集映射到高維特征空間中，使它們在高維特征空間是線性可分的.但是在數(shù)值計算上，這種思路也存在著一定的問題，這是因?yàn)樘卣骺臻g的維數(shù)一般很高，甚至是無窮大，在計算的過程中不容易實(shí)現(xiàn).所以這里SVM將樣本空間的內(nèi)積替換成了核函數(shù)，甚至不需要知道映射的形式，只需要知道核函數(shù)的形式和基本用法.也就是說，運(yùn)算實(shí)際上是在樣本空間進(jìn)行的，這就是核技巧的思想.選擇滿足Mercer條件的不同內(nèi)積核函數(shù)，就構(gòu)造了不同的SVM，這樣也就形成了不同的算法.利用SVM根據(jù)構(gòu)建的混沌時間序列輸入向量和輸出向量進(jìn)行訓(xùn)練，獲取混沌時間序列SVM模型的參數(shù).預(yù)測模型的參數(shù)所蘊(yùn)藏的關(guān)系就是混沌時間序列的各個向量過去的和將來的關(guān)系.至此基于SVM的預(yù)測模型已經(jīng)建立.這樣就可以利用該模型預(yù)測將來的混沌時間序列的輸出[9－10].

基于RBF核函數(shù)預(yù)測相對精確，為了減小誤差，在原來核函數(shù)的基礎(chǔ)上滿足以上減小誤差的兩個條件及Mercer條件，我們改進(jìn)核函數(shù)模型為:

3 股票價格仿真預(yù)測

3.1 支持向量機(jī)混沌時間序列預(yù)測模型

對混沌時間序列重構(gòu)相空間后，得到支持向量機(jī)的一步預(yù)測模型為:

其中 xi1=(xt，…，x(t－(m －1)τ)).

對于相空間的第t+1點(diǎn)預(yù)測xit+1=(~xi+1，…x(t－(m －2)τ)).第t+2點(diǎn)預(yù)測為:

同理我們可以得到第t+p點(diǎn)預(yù)測為:

3.2 仿真預(yù)測

本文根據(jù)2013.11.6 ～2013.12.17 滬市寶鋼股份收盤價格得到，最大Lyapunov指數(shù)為0.032 5，最大Lyapunov指數(shù)大于0，可以斷定該股票收盤價是一個混沌系統(tǒng).依此數(shù)據(jù)根據(jù)圖1流程圖進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).

圖1 流程圖

由互信息法得到圖2，第一次達(dá)到最小值作為相空間重構(gòu)的時間延遲τ，即τ=1.由圖3 Cao方法計算混沌時間的嵌入維數(shù)可以看出，m=3時值停止變化，得到最小的嵌入維數(shù)，即m=4.

通過Matlab軟件對其仿真，前30個數(shù)據(jù)用改進(jìn)的最小二乘支持向量機(jī)模型預(yù)測后30個數(shù)據(jù)，將一步預(yù)測值補(bǔ)充進(jìn)時間序列里，去除原始數(shù)據(jù)中的第1組數(shù)據(jù)構(gòu)成新的時間序列，用一步預(yù)測下一組30個數(shù)據(jù).

圖2 互信息法確定延遲時間

圖3 Cao方法確定嵌入維數(shù)(m)

股票收盤價格在支持向量機(jī)仿真實(shí)例中，為衡量預(yù)測模型的精確，采用相對誤差，評價模型的每一個時間序列的預(yù)測效果.

從表1中更清晰看出新核函數(shù)的SVM模型預(yù)測方法預(yù)測的數(shù)據(jù)相對誤差小一些，從第28個數(shù)據(jù)之后新模型預(yù)測更加精確，說明混沌時間序列的股票數(shù)據(jù)在這種復(fù)雜非線性建模中更具有獨(dú)特的優(yōu)越性.最后對比徑向基核函數(shù)(RBF)和改進(jìn)的核函數(shù)模型的預(yù)測效果，討論模型的MSE.其徑向基函數(shù)(RBF)預(yù)測模型的MSE等于24.090 2，新核函數(shù)的預(yù)測模型的MSE等于21.720 33，可以看出新模型的預(yù)測效果更好.

表1 徑向基函數(shù)(RBF)和改進(jìn)的核函數(shù)預(yù)測的對比的相對誤差分布圖

4 結(jié)語

本文的核心內(nèi)容是結(jié)合混沌時間序列的初始敏感性理論，對支持向量機(jī)的核函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，減小長期預(yù)測中的累積誤差，建立改進(jìn)的預(yù)測模型.并利用股票價格的數(shù)據(jù)對建立的模型進(jìn)行訓(xùn)練，SVM模型所蘊(yùn)涵的函數(shù)映射關(guān)系就是混沌時間序列中向量的內(nèi)在關(guān)系，應(yīng)用模型預(yù)測未來的股票價格.結(jié)果表明:改進(jìn)的模型更精確，并且在股票價格的長期預(yù)測研究中具有很強(qiáng)的實(shí)用價值.

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