趙國防

[摘 要]小學(xué)階段的分?jǐn)?shù)認(rèn)識分兩個階段來進行，其原因何在？分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識究竟認(rèn)識些什么？認(rèn)識到何種地步為最佳？結(jié)合對分?jǐn)?shù)教學(xué)的實踐與研究，對上述問題做出簡要的梳理與回答。

[關(guān)鍵詞]分?jǐn)?shù) 學(xué)生 認(rèn)識 思維 活動

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）20-015

在小學(xué)階段，分?jǐn)?shù)的認(rèn)識一共出現(xiàn)了兩次，即三年級上學(xué)期一次、五年級下學(xué)期一次。為何這樣編排？兩次認(rèn)識的聯(lián)系與區(qū)別又有哪些？特別是相隔兩年之后的再次認(rèn)識，究竟要再度認(rèn)識些什么？再度認(rèn)識到何種程度為最佳？……一系列問題值得思考。通過研究和教學(xué)實踐，我慢慢對上述問題有了答案，現(xiàn)把自己不成熟的認(rèn)識呈現(xiàn)出來，討教于各位。

思索：緣何分兩次來認(rèn)識分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，之所以分兩個階段來進行，筆者以為有兩個基本原因：一是學(xué)生認(rèn)知的需要；二是學(xué)生思維訓(xùn)練的需要。

1.認(rèn)知的需要：學(xué)生深入學(xué)習(xí)需要充分認(rèn)識分?jǐn)?shù)

在三年級學(xué)生初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)之后，不同版本的教材都在五年級再次安排認(rèn)識分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容。人教版小學(xué)五年級數(shù)學(xué)下冊第60～64頁“分?jǐn)?shù)的意義”；新世紀(jì)版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第34～36頁“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”；蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊第36～37頁“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”。在西南師大版、青島版、河北版的五年級下冊小學(xué)數(shù)學(xué)教材中也都安排了“分?jǐn)?shù)的意義”這一學(xué)習(xí)內(nèi)容。為什么要這樣安排呢？從學(xué)生的認(rèn)知需求來看，需要聚焦知識點間的網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系。

從縱向來看，分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識是在學(xué)生初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，同時它更是學(xué)生進一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、約分、通分乃至分?jǐn)?shù)的加減法等后續(xù)知識的基礎(chǔ)，具有承前啟后的關(guān)鍵作用。從橫向來看，分?jǐn)?shù)的認(rèn)識和小數(shù)的認(rèn)識與計算、百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識交織在一起。三年級上學(xué)期先初步認(rèn)識了分?jǐn)?shù)，然后在下學(xué)期才開始了小數(shù)的認(rèn)識，這與小數(shù)是分?jǐn)?shù)的一種特殊形式這一特性是分不開的。同時，在充分認(rèn)識分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，再來認(rèn)識百分?jǐn)?shù)，這也與分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的聯(lián)系（即百分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)的一種特殊形式）是分不開的。從這個意義上講，充分認(rèn)識好分?jǐn)?shù)，既是對小數(shù)認(rèn)識與理解的一個補充與提升，更是百分?jǐn)?shù)教學(xué)的基礎(chǔ)?？梢姡?jǐn)?shù)的再認(rèn)識便是基于學(xué)生認(rèn)知需要而設(shè)置的。

2.思維訓(xùn)練的需要：分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識中有高強度的思維訓(xùn)練

三年級學(xué)生初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)，這是他們學(xué)習(xí)生涯中第一次接觸分?jǐn)?shù)，所以，此時的認(rèn)識，僅僅是初步的感知，即在學(xué)生對分?jǐn)?shù)的生活化感知的基礎(chǔ)上，進行最初步的數(shù)學(xué)化的整理和概括。內(nèi)容涉及“幾分之一”的認(rèn)識，了解它的產(chǎn)生和應(yīng)用，會讀會寫簡單的分?jǐn)?shù)，知道分?jǐn)?shù)各部分名稱，會進行簡單的分?jǐn)?shù)大小比較。所以，本次認(rèn)識基本建立在分?jǐn)?shù)“是什么”的基礎(chǔ)之上，而至于“為什么”那要靠五年級的分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識來解決。同時，分?jǐn)?shù)所反映的是部分與整體或一部分與另一部分之間的關(guān)系，而且與整數(shù)不同的是要用一對數(shù)來表示一個數(shù)，一個數(shù)作分子，一個數(shù)作分母。因此分?jǐn)?shù)的概念比整數(shù)的概念更抽象。分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識，有助于發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。

分?jǐn)?shù)，源于分，形成于數(shù)。也就是說，分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生源于分物。據(jù)資料記載，“隨著生產(chǎn)、生活的需要，人們發(fā)現(xiàn)，僅僅靠自然數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人該得多少呢？于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了。中國對分?jǐn)?shù)的研究比歐洲早1400多年！”可見，分?jǐn)?shù)源于分物，所分對象和具體分的情況，決定著分?jǐn)?shù)的大小和它所表達(dá)的部分的實際大小。所以，研究分?jǐn)?shù)，需要首先建立在對分的對象的討論。在三年級，分的對象僅僅是一個物體、一個計量單位，而到了五年級的再度認(rèn)識分?jǐn)?shù)，所分對象卻成了“一些物體”的“一個整體”。在這種情況下理解分?jǐn)?shù)，便是學(xué)生認(rèn)識與思維的“質(zhì)”的飛躍，其間包含了高強度的思維訓(xùn)練。例如，6個桃子的1/2是3個桃子，而8個桃子的1 / 2卻是4個桃子。同樣是表達(dá)單位“1”的，為何所表示的實際數(shù)量會有所不同？通過分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識，必將會讓學(xué)生感受到單位“1”的實際數(shù)量不同，它的1 / 2所表達(dá)的數(shù)量也會有所不同。這其間，不僅融入了對分?jǐn)?shù)意義、單位“1”的深度理解，更讓學(xué)生經(jīng)歷著高強度的思維訓(xùn)練。

探析：究竟要再度認(rèn)識些什么

基于學(xué)生三年級對分?jǐn)?shù)有了初步的認(rèn)識，那么五年級的再認(rèn)識，筆者認(rèn)為主要認(rèn)識以下幾點。

1.認(rèn)識單位“1”

前面談到，分?jǐn)?shù)起源于分物，那么分的對象（單位“1”）和分的方法（平均分），便成了認(rèn)識分?jǐn)?shù)的前提和基礎(chǔ)。學(xué)生只有能充分認(rèn)識和把握所分對象（尤其是多個物體組成的一個整體），才能為下一步用分?jǐn)?shù)表達(dá)提供可能。尤其是讓學(xué)生感受到單位“1”不僅可以表示一個物體，還可以表示一些物體，這一點至關(guān)重要。當(dāng)然，這里并非需要大動干戈，花費很多的時間與精力來認(rèn)識單位“1”，但是，這是一個前提，是一個基礎(chǔ)。

2.理解分?jǐn)?shù)的意義

分?jǐn)?shù)意義的理解，不同的教師可能會采用不同的教學(xué)方式，但無論哪種方式，最終都將指向分?jǐn)?shù)的本質(zhì)含義。我認(rèn)為，分?jǐn)?shù)的意義是寬泛的，而并非僅僅是“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)。”尤其是到了高年級，在圍繞分?jǐn)?shù)進行的計算和解決問題的過程中，分?jǐn)?shù)的寬泛內(nèi)涵便會充分顯現(xiàn)出來。例如，有這樣一個題目：1噸煤，用去1 / 2，還剩多少？有的學(xué)生回答“1 / 2噸”，而有的學(xué)生卻回答“1 / 2”。他們各有自己的理由，前者說：“1噸煤，用了一半，就剩下半噸，也就是1 / 2噸?！焙笳哒f：“1噸煤看作單位‘1，用去1 / 2，一定還剩1 / 2?！痹诖藭翰惶接憜栴}“還剩多少？”的完整性和科學(xué)性，先從學(xué)生的回答來看他們的理解，他們已經(jīng)完全接納了分?jǐn)?shù)的深層含義，即表示“量”和“率”。我認(rèn)為，“量”和“率”是分?jǐn)?shù)意義的根本所在。張丹教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略》一書中指出：結(jié)合國內(nèi)外已有的研究成果和自己的研究實踐，我們認(rèn)為對分?jǐn)?shù)意義的理解應(yīng)關(guān)注以下兩個基本維度和四個具體方面：

在“比的維度”和“數(shù)的維度”兩個基本維度之下，可以從四個方面來完成對分?jǐn)?shù)豐富性的認(rèn)識，即比率、度量、運作和商?！氨嚷省敝傅氖遣糠峙c整體的關(guān)系或部分與部分的關(guān)系?！岸攘俊敝傅氖强梢詫⒎?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累積。“運作”指的是將對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識轉(zhuǎn)化為一個運算的過程?！吧獭敝饕阜?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法之后運算的過程，它使學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識由“過程”凝聚到“對象”，即分?jǐn)?shù)也是一個數(shù)，也和其他數(shù)一樣進行運算。

由此看來，對分?jǐn)?shù)意義的理解理應(yīng)沖破“表達(dá)部分與整體關(guān)系的數(shù)”的局限，從更多的角度來認(rèn)識分?jǐn)?shù)，理解分?jǐn)?shù)。

3.認(rèn)識分子、分母所表示的意義

對分子、分母所表示意義的理解，看似簡單，但其中卻滲透了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程，即把單位“1”平均分的份數(shù)作分母，取了其中的份數(shù)作分子。學(xué)生在“分”的過程中，表達(dá)他們的理解，而并非需要去死記硬背。在“分”中“說”，在“說”中“悟”。

4.認(rèn)識分?jǐn)?shù)單位

分?jǐn)?shù)單位的認(rèn)識，也是“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識”所應(yīng)關(guān)注的重要內(nèi)容。華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量。”度量可以很好地將分?jǐn)?shù)理解為分?jǐn)?shù)單位的累積。從“度量”的角度來看，分?jǐn)?shù)是若干個分?jǐn)?shù)單位的“累積”。從這個角度來認(rèn)識分?jǐn)?shù)，可以更加貼近分?jǐn)?shù)的實質(zhì)，更加便于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的“來龍去脈”。因此，引導(dǎo)學(xué)生在豐富多彩的數(shù)學(xué)活動中，從“度量”的角度來感受和認(rèn)識分?jǐn)?shù)，這是二次認(rèn)識分?jǐn)?shù)的重要內(nèi)容，更是引領(lǐng)學(xué)生多角度認(rèn)識事物的一種訓(xùn)練，一種提升。

5.感受分?jǐn)?shù)之魅力

分?jǐn)?shù)的教學(xué)，盡管屬于概念教學(xué)，但我們應(yīng)完全超越概念教學(xué)的范疇，從哲學(xué)的角度，審視學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程，滲透辯證思想。尤其是在認(rèn)識單位“1”的過程中，可創(chuàng)設(shè)多種生動、活潑的情景，讓學(xué)生充分感知單位“1”的神奇與偉大，它可以表示1個蘋果，可以表示5車西瓜，還可以表示整個地球……同時，在認(rèn)識分?jǐn)?shù)之時，可以讓學(xué)生體會相同分?jǐn)?shù)在不同情境中的不同表達(dá)。

追問：對分?jǐn)?shù)再度認(rèn)識到何種程度為最佳

對分?jǐn)?shù)的再度認(rèn)識，究竟認(rèn)識到什么地步才算達(dá)到目標(biāo)呢？筆者認(rèn)為，只要具備以下“三會”便足以證明學(xué)生真正學(xué)好了。

1.會舉例

面對分?jǐn)?shù)的意義——“把單位‘1平均分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)?！边@句話，有的學(xué)生可能理解了就是說不上來，也有的學(xué)生雖背熟了但不理解。面對這種情況，我認(rèn)為，拋開這句話的闡述，而放手讓學(xué)生舉例。“會舉例子，就說明他真正理解了……”郜舒竹先生曾這樣講過。“舉例”和“理解”真的有如此之緊密的因果關(guān)系嗎？在不便于直接闡述概念之時，在學(xué)生無法用語言表述自己的理解之時，不妨讓他們舉例子說明。應(yīng)盡量給學(xué)生空間，讓他們多舉例子，通過舉例闡釋自己的思考，表達(dá)自己的理解。

2.會應(yīng)用

評價學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解情況，一個很重要的方式便是看其是否會靈活應(yīng)用。例如，在“分?jǐn)?shù)的意義”一課中，我設(shè)計了這樣一個練習(xí)。

寫一寫：看到右圖，你能寫出幾個分?jǐn)?shù)？試一試，并分別說一說每個分?jǐn)?shù)所表示的意義。

學(xué)生都寫出了很多分?jǐn)?shù)，并能對自己的分?jǐn)?shù)一一作出說明。在這樣的過程中，學(xué)生就是“會應(yīng)用”了，他們經(jīng)歷了一個個“思考（觀察、分析）——呈現(xiàn)（應(yīng)用）——表達(dá)（反思）”的過程。學(xué)生寫出的分?jǐn)?shù)豐富多彩，他們的表達(dá)更是出乎人的意料。有個學(xué)生說道：“我寫了五分之一。這些彩筆一共有五種顏色，每一種顏色占這五種顏色的五分之一?！蹦憧?，這樣的孩子，他已經(jīng)超越了數(shù)量的范疇，跨越了時空，在他眼前，就是五種顏色的存在，其中每種色，就是它們的五分之一。這樣的孩子，他們對分?jǐn)?shù)的理解一定很深刻，很獨到。

3.會思考

學(xué)生能結(jié)合分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的過程，形成和完善自己的思考系統(tǒng)，能用辯證的眼光看待周圍的事物，思考生活與學(xué)習(xí)中的問題。

例如在“分?jǐn)?shù)的意義”一課的最后，我設(shè)計了“玩一玩”這樣一個小游戲：把全班學(xué)生分成了人數(shù)不等的小組，然后我發(fā)出如下指令：“想辦法，表示你們是一個‘整體。”學(xué)生很快就找到合適的方式來表現(xiàn)，如牽成一個圓圈或站成一排等。再發(fā)指令：“蹲下總?cè)藬?shù)的二分之一。” “蹲下剩下的人數(shù)的二分之一?！边@時，有些小組的學(xué)生已無法表達(dá)，有的學(xué)生居然采取“半蹲”的方式，表達(dá)著他們對“1 / 2”的理解。學(xué)生都積極參與，都在用自己的方式表達(dá)著自己的理解，就拿“半蹲”來說，雖不夠規(guī)范，不夠準(zhǔn)確，但卻流露出了學(xué)生獨到的思考方式和他們對分?jǐn)?shù)意義的深刻理解。我接著提問：“同樣是蹲下二分之一，為何每個小組蹲下的人數(shù)不同呢？”“就每個小組來說，每次同樣是蹲下二分之一，但為何每次蹲下的人數(shù)卻又不同呢？”學(xué)生議論紛紛，很快談出了他們的想法。兩個問題，引發(fā)學(xué)生進一步悟得：同一個分?jǐn)?shù)，在不同數(shù)量的單位“1”中所表達(dá)的實際數(shù)量會有所不同。隨著單位“1”數(shù)量的變化，同一個分?jǐn)?shù)所表示的具體數(shù)量也在發(fā)生變化。在活動中，學(xué)生會思考了，能就教師發(fā)出的指令迅速作出判斷與處理，再對過程進行反思與總結(jié)。

厘清：教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題

為了提高“二次認(rèn)識分?jǐn)?shù)”的教學(xué)效果，教學(xué)中，教師應(yīng)注意以下三點。

1.內(nèi)容把握要適度

傳統(tǒng)的概念教學(xué)，教師為了避免內(nèi)容少而枯燥，不好講的狀況，而把更多的精力花在了豐富學(xué)習(xí)資源之上，以至于出現(xiàn)“課堂容量大，學(xué)生難消化”、“內(nèi)容挖掘深，學(xué)生難尋根”的現(xiàn)象。所以，就分?jǐn)?shù)的再度認(rèn)識來說，應(yīng)把握好內(nèi)容設(shè)計的度。從國際上來看，分?jǐn)?shù)內(nèi)容的編排有這樣的趨勢：簡化分?jǐn)?shù)的教學(xué)內(nèi)容；提早出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，并分散在各年級進行教學(xué)。這與分?jǐn)?shù)的難教難學(xué)和使用范圍的逐步縮小有密切的關(guān)系。所以，教學(xué)設(shè)計時，要抓住核心內(nèi)容，進行深刻理解與把握，切忌因盲目補充而增加學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。

2.學(xué)習(xí)方式要靈活

由于分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識屬于概念教學(xué)的范疇，又因概念教學(xué)很難開展一些開放性、挑戰(zhàn)性、實踐性的數(shù)學(xué)活動，所以常常出現(xiàn)“教師講得多，學(xué)生練得少”、“課堂環(huán)節(jié)多，思維空間小”的概念教學(xué)“通病”。鑒于此，教師應(yīng)盡量采取形式多樣的練習(xí)活動，以激發(fā)學(xué)生的興趣，鞏固他們的理解，加深他們的認(rèn)識。通常采用的活動有講故事、做游戲、搞比賽等，要根據(jù)實際需要巧妙選用，靈活處理。

3.表達(dá)方式要多樣

概念教學(xué)，很容易導(dǎo)致教師把過多的時間與精力放在學(xué)生對概念的理解與表達(dá)之上，因此，學(xué)生在表達(dá)的過程中常常局限于對概念的記憶與描述。這樣的方式，一方面僅僅讓一部分語言智能占優(yōu)勢的學(xué)生得以展示，其他學(xué)生則沒有機會，另一方面學(xué)生的理解與表達(dá)方式受到了局限。因此，教學(xué)中不妨采取多種形式，創(chuàng)造各種條件，讓學(xué)生能用適合的方式呈現(xiàn)出自己的理解，“寫一寫”、“畫一畫”、“做一做”、“講一講”、“擺一擺”等都是很好的表達(dá)方式。

總之，教學(xué)中教師需要對教學(xué)內(nèi)容進行“追根溯源”，抓根固本，豐富內(nèi)涵。同時，更要在教學(xué)理念和教學(xué)方式上進行“適度超越”，超越教材，超越傳統(tǒng)，超越自我。

（責(zé)編 金 鈴）