李雨潭，朱華，高志軍，程新景

(中國礦業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，江蘇徐州221116)

移動機器人越來越多的被應(yīng)用在災(zāi)難救援、環(huán)境探測、反恐排爆等非結(jié)構(gòu)化地形中，其能否代替人很好地執(zhí)行任務(wù)取決于機器人是否能夠順利的進入事故現(xiàn)場。因此，機器人行走機構(gòu)的設(shè)計在機器人的整體設(shè)計中具有十分重要的地位。對于三大行走機構(gòu)，履帶式行走機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、地面適應(yīng)性強、控制容易等優(yōu)點［1-2］。大多數(shù)移動機器人均采用履帶式行走機構(gòu)。但是，往往人們設(shè)計履帶式行走機構(gòu)時主要是側(cè)重在其結(jié)構(gòu)設(shè)計上，關(guān)注其結(jié)構(gòu)的強度、剛度能不能滿足設(shè)計需求［3-4］，很少注重履帶地面力學(xué)性能的研究。而履帶地面力學(xué)性能往往影響著機器人的能量消耗、運動靈活度甚至是否能夠順利行走［5］。通常，履帶的接地長度、寬度與兩側(cè)履帶中心距是構(gòu)成履帶地面力學(xué)的主要參數(shù)。并且可以知道，在履帶接地長度一定的情況下，存在一個最佳的履帶寬度使轉(zhuǎn)向阻力最?。?］，履帶接地長度與履帶軌距之間的比值影響轉(zhuǎn)彎的靈活性［7］。因此，履帶地面力學(xué)對于履帶行走機構(gòu)的設(shè)計具有重要意義。履帶在硬路面上行走轉(zhuǎn)向主要克服履帶與地面間的摩擦力，在軟路面上行走轉(zhuǎn)向除了摩擦力還要克服履帶的側(cè)向推土阻力。目前，對于履帶行走轉(zhuǎn)向的力學(xué)模型分析并不全面，只分析了硬路面工況下履帶與地面間的摩擦力的求解［5］，或只考慮了軟路面工況下推土阻力的求解［8］，并沒有一個通用的數(shù)學(xué)模型。

本文旨在嘗試建立一個通用的履帶地面力學(xué)模型，并將此模型應(yīng)用到所研制的履帶式煤礦救援機器人的設(shè)計上，并根據(jù)設(shè)計的煤礦救援機器人驗證理論結(jié)果。

1 物理模型的提出

對于在復(fù)雜路面上行走的履帶機器人，在直行過程中，機器人驅(qū)動輪與履帶之間相互作用力只需要克服履帶與地面間的摩擦力，履帶與地面之間并無相對運動。而在履帶轉(zhuǎn)彎過程中，履帶必須與地面產(chǎn)生相對滑動，因此履帶地面力學(xué)主要是針對機器人轉(zhuǎn)彎過程提出的。將履帶所能接觸的地面分為硬質(zhì)地面和軟地面，對于在軟地面行駛，履帶受力情況相對復(fù)雜更能符合履帶機器人的實際工況。履帶在軟路面轉(zhuǎn)彎過程中，主要克服其與地面間的摩擦力與推土阻力。

對于履帶機器人轉(zhuǎn)彎，可以抽象為如圖1所示的物理模型。

圖1 履帶理想轉(zhuǎn)彎模型Fig.1 Track ideal turning model

圖中轉(zhuǎn)彎半徑R0與角速度 ω0可由式(1)求解［9］:

式中:B為兩條履帶的中心距，va1、va2分別為兩條履帶的速度。但是在實際過程中，因為履帶存在滑移與滑轉(zhuǎn)［4，10-11］，同時會發(fā)生側(cè)向與橫向偏移［12-13］，所以轉(zhuǎn)彎過程并不是如圖1所示的理想情況，為了使模型更加接近實際，同時使推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型更加通用，對履帶轉(zhuǎn)彎物理模型進行修正。

為了便于計算，引入打滑速度δi(i=1，2，i=1代表內(nèi)側(cè)，i=2代表外側(cè))。由于滑轉(zhuǎn)率的存在，真實速度并不等于理論速度，二者之間存在如下關(guān)系:

簡化運算，這里令履帶兩側(cè)打滑速度相同。均為δ，則

記履帶接地面速度瞬心產(chǎn)生的縱向偏移為Di(i=1，2，i=1代表內(nèi)側(cè)，i=2 代表外側(cè))。這里令A(yù)1=A2=A，D1=D2=D。因此，可以得出履帶實際轉(zhuǎn)彎模型如圖2所示。

圖2 履帶實際轉(zhuǎn)彎模型Fig.2 Track real turning model

2 數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)創(chuàng)建的履帶實際轉(zhuǎn)彎物理模型，建立履帶轉(zhuǎn)彎數(shù)學(xué)模型。

2.1 履帶與地面摩擦阻力的計算

以一條履帶作為分析對象，將履帶實際接地面速度瞬心為原點，建立如圖3所示的坐標(biāo)系，取履帶接地面一微元dxdy，則有微量摩擦力dFi(其中i=1、2，分別代表內(nèi)、外側(cè)履帶)作用，方向與該點絕對速度相反，有

式中:p(x，y)為接地比壓函數(shù)。

圖3 履帶接地面受力圖Fig.3 Force diagram of track by the ground

dFi在X軸和Y軸方向的分量為

由此可得地面對履帶的轉(zhuǎn)向阻力Moi(繞履帶速度瞬心O)為

其中i=1，2。

當(dāng)i=1時為內(nèi)側(cè)履帶，此時的x、y的積分上下限分別為［R-B/2-0.5b，R-B/2+0.5b］、［-L/2-D，L/2-D］。

當(dāng)i=2時為外側(cè)履帶，此時的x、y的積分上下限分別為［R+B/2-0.5b，R+B/2+0.5b］、［-L/2-D，L/2-D］。

所以，履帶接地面與履帶間摩擦引起的總的轉(zhuǎn)向阻力為

2.2 履帶側(cè)面推土阻力計算

若忽略側(cè)面刮起土堆的質(zhì)量，履帶側(cè)面的受力如圖4所示。其中，Q為下部土壤對楔形土的反作用力，Cθ=ZC/sin θ為單位面積上的內(nèi)聚力，W為單位面積土壤重量，RB(θ)為單位長度推土阻力，φw為板壁摩擦角，θ為破壞面角度，φ為土壤內(nèi)摩角。

圖4 履帶側(cè)面受力圖Fig.4 Force diagram of track by side

根據(jù)Bekker推薦的載荷沉陷量的關(guān)系可以推出式(8)［9］:

式中:z為沉陷量，kc、kφ是土壤內(nèi)聚及摩擦變形模量，n是變形指數(shù)。

履帶兩側(cè)任一單位長度上的推土阻力RB可從力的平衡式中得到

式中:γs為土壤容重。

由于MTi只是θ的函數(shù)，MTi的最小值對應(yīng)著一定的θ值，在此θ值下，地面被破壞，故側(cè)面推土阻力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)向阻力矩為

將式(12)代入式(11)，得

所以履帶側(cè)面推土引起的總的轉(zhuǎn)向阻力矩MT為

忽略履帶內(nèi)部摩擦阻力等因素，因此地面引起的總的轉(zhuǎn)向阻力矩M為

2.3 履帶地面力學(xué)數(shù)學(xué)模型

根據(jù)2.1與2.2節(jié)推導(dǎo)出的計算公式，可以得到通用的履帶地面力學(xué)數(shù)學(xué)模型，如式(16)所示，履帶在軟路面上的受力為兩部分力之和。

對于能夠正常行駛的履帶機器人，其履帶地面力學(xué)還必須能夠滿足履帶轉(zhuǎn)向條件，即對于勻速轉(zhuǎn)動，驅(qū)動力對旋轉(zhuǎn)中心的距大于阻止轉(zhuǎn)向的力［5］。針對本文中的模型，平行于Y方向摩擦力就是驅(qū)動力對回轉(zhuǎn)中心的力矩:

平行X軸方向摩擦力就是阻止轉(zhuǎn)向的力矩:

機器人能成功轉(zhuǎn)向的必要條件是驅(qū)動力對旋轉(zhuǎn)中心的距大于阻止轉(zhuǎn)向的力:

3 算例分析

根據(jù)所推導(dǎo)出的履帶地面力學(xué)模型，對正在研制的煤礦救援機器人履帶行走機構(gòu)進行設(shè)計。煤礦救援機器人主要用于煤礦發(fā)生事故后，機器人代替人對事故現(xiàn)場第一時間進行井下災(zāi)后環(huán)境探測［14］，其工作環(huán)境為煤礦井下。為了使設(shè)計能夠更好地貼近實際，這里采樣了部分煤泥，依據(jù)土力學(xué)實驗［15-16］測試出了計算所需的土壤力學(xué)參數(shù)，包括土壤內(nèi)聚變形模量kc=0.805 kN/mn+1、摩擦變形模量kφ=21.36 kN/mn+2、變形指數(shù)n=0.3、土壤土壤內(nèi)摩擦角φ=30.93°和粘聚力C=11 610 Pa。根據(jù)實際情況，所設(shè)計的機器人其履帶接地長度L應(yīng)當(dāng)大于1 000 mm，履帶中心距B應(yīng)該大于700 mm才能滿足要求。根據(jù)需要令B∈［700，800］mm，b∈［80，120］mm。

設(shè)計思路是在履帶寬度b和履帶中心距B的變化范圍內(nèi)，尋找轉(zhuǎn)彎阻力矩M最小的組合。因此將式(16)作為目標(biāo)函數(shù)，將式(19)作為約束條件，進行最優(yōu)化求解，其中機器人質(zhì)量M=300 kg，地面與履帶間摩擦系數(shù)μ=0.55，va1=0.4 m/s，va2=-0.4 m/s 。

在使用所推導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型進行煤礦救援機器人設(shè)計優(yōu)化的時候，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)軟件無法解決二重積分變上限的最優(yōu)化求解問題，因此使用了數(shù)值分析方法結(jié)合C語言編程，運用遍歷求解的思想來尋找所設(shè)計煤礦救援機器人的履帶最優(yōu)參數(shù)，最終得到計算結(jié)果如圖5所示。

程序共求解出189組值，每組值對應(yīng)一個B與b。根據(jù)計算的數(shù)據(jù)，所設(shè)計煤礦探測機器人在B=700 mm，b=120 mm時轉(zhuǎn)向阻力矩最小，其值為314.08 N·m。

因為現(xiàn)階段所設(shè)計的煤礦救援機器人還未取得煤礦安全標(biāo)志許可，故無法在井下煤泥地面進行試驗。因此選擇與煤泥相近的地面，進行原地轉(zhuǎn)向試驗，可以測出在此狀態(tài)下機器人的總電流為25 A。根據(jù)電機特性計算出扭矩約為293 N·m，與理論值相近。

圖5 轉(zhuǎn)向阻力矩圖Fig.5 Steering resistance torque

圖6 機器人原地轉(zhuǎn)彎試驗Fig.6 Experiment of turning about the center

4 結(jié)束語

本文主要推導(dǎo)出了履帶式移動機器人地面力學(xué)的通用數(shù)學(xué)模型，為設(shè)計優(yōu)化履帶式移動機器人底盤提供了理論依據(jù)。通過尋找轉(zhuǎn)彎阻力矩的最小值，可以得出履帶的寬度、接地長度與兩條履帶的中心距的最佳值，與此同時還可以理論計算出所需要的最小驅(qū)動力矩，從而為原動機選型提供理論依據(jù)，通過此公式計算出的理論值與實際測試的結(jié)果相近。

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