如何做好小波解分?jǐn)?shù)階微分方程時(shí)的誤差估計(jì)

牛紅玲

【摘 要】針對(duì)求解分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解和所得結(jié)果誤差大小問題.采用Haar小波分?jǐn)?shù)階積分算子矩陣方法，得到一類變系數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解.利用所得算子矩陣將原分?jǐn)?shù)階微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，進(jìn)而便于編程求解.討論算法的誤差分析，給出相應(yīng)的誤差估計(jì)式，并證明該算法是收斂的.結(jié)果表明：隨著點(diǎn)數(shù)的增多，所得數(shù)值解與精確解的誤差也越來越小.最后，數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的有效性以及理論分析的正確性.

【關(guān)鍵詞】Haar小波；變系數(shù)；分?jǐn)?shù)階微分方程；算子矩陣；誤差分析；誤差估計(jì)式；精確解；數(shù)值解

分?jǐn)?shù)階微積分計(jì)算是一個(gè)久遠(yuǎn)的話題，它最早起源于Leibniz和Newton建立的整數(shù)階微積分理論初期.從17世紀(jì)末至今，分?jǐn)?shù)階微積分理論已經(jīng)發(fā)展了幾百年.在世界各國(guó)科研人員的研究和推動(dòng)下，分?jǐn)?shù)階微積分理論取得了巨大進(jìn)展，實(shí)際中的應(yīng)用發(fā)展快速.復(fù)物理、力學(xué)、生物和工程的建模問題是推動(dòng)分?jǐn)?shù)階微積分理論和應(yīng)用研究的力量，這些模型中的分?jǐn)?shù)階微積分的階數(shù)具有一定的物理意義和幾何意義.

近年來隨著分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)成為描述各類復(fù)雜力學(xué)與物理行為的重要工具，分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值算法研究也備受關(guān)注.針對(duì)不同類型的分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)提出不同的數(shù)值算法，這些算法主要有，有限差分法、Adomian分解法，廣義微分變換法等.小波法求分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解是最近新型的數(shù)值方法.根據(jù)小波基函數(shù)的不，相應(yīng)的提出了許多小波方法求解分?jǐn)?shù)階微分方程，Rehma和Khan利用Legendre 小波求解線性和非線性分?jǐn)?shù)階微分方程.Saeedi等采用CAS小波求解一類非線性Fredholm積分微分方程.但就該方法誤差分析的研究還相對(duì)較少.本文基于Haar小波分?jǐn)?shù)階積分算子矩陣研究一類分?jǐn)?shù)階微分方程，重點(diǎn)討論該算法的誤差分析.

6 結(jié)論

利用Haar小波分?jǐn)?shù)階積分算子矩陣求解了一類分?jǐn)?shù)階微分方程，將原問題轉(zhuǎn)換為求解線性代數(shù)方程組問題.誤差分析證明了該算法是收斂的，同時(shí)給出了誤差估計(jì)式，得到了相應(yīng)的誤差上界.文中所提出的方法計(jì)算量小，是一種有效的算法.

【參考文獻(xiàn)】

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