俞清云，程雪蘋(píng)，2，李俊余，2，陳婷婷，井少杰，張景茹（.浙江海洋學(xué)院數(shù)理與信息學(xué)院，浙江舟山　36022；2.浙江省海洋大數(shù)據(jù)挖掘與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江舟山　36022）

·研究簡(jiǎn)報(bào)·

修正Korteweg-de Vries方程的扭結(jié)-非線性波相互作用解

俞清云1，程雪蘋(píng)1，2，李俊余1，2，陳婷婷1，井少杰1，張景茹1
（1.浙江海洋學(xué)院數(shù)理與信息學(xué)院，浙江舟山316022；2.浙江省海洋大數(shù)據(jù)挖掘與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江舟山316022）

最近研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任一Painlevé可積系統(tǒng)，截?cái)郟ainlevé展開(kāi)的留數(shù)正是原系統(tǒng)的非局域?qū)ΨQ(chēng)，亦稱(chēng)非局域留數(shù)對(duì)稱(chēng)。本文通過(guò)將修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程的非局域留數(shù)對(duì)稱(chēng)局域化成延拓mKdV系統(tǒng)的李點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再利用李對(duì)稱(chēng)約化方法，得到mKdV方程的兩類(lèi)扭結(jié)和非線性波相互作用解。當(dāng)移除非局域留數(shù)對(duì)稱(chēng)部分，該兩類(lèi)解退化為mKdV方程的一般對(duì)稱(chēng)約化解。

修正Korteweg-de Vries方程；非局域留數(shù)對(duì)稱(chēng)；對(duì)稱(chēng)約化；扭結(jié)-非線性波相互作用解

到目前為止，科學(xué)家們已經(jīng)找到了很多研究非線性波的模型，如Korteweg de Vries（KdV）方程，修正Korteweg-de Vries（mKdV）方程，Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程，非線性Schr？dinger（NLS）方程，sine-Gordon（SG）方程等等。這些系統(tǒng)幾乎在所有物理領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，尤其是在流體力學(xué)，等離子體物理，光學(xué)，凝聚態(tài)物理，量子物理和天體物理等領(lǐng)域［1-2］。同時(shí)，人們也利用各種有力手段找到了這些模型的許多不同類(lèi)型的非線性波（非線性激發(fā)），如孤立子，扭結(jié)，橢圓周期波，Painlevé波等。在發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造出大量非線性激發(fā)模式后，隨著研究的不斷發(fā)展和深入，這些激發(fā)模式之間的相互作用也逐漸引起了人們的關(guān)注。到目前為止，孤立子-孤立子相互作用是眾多相互作用激發(fā)模式中研究得最為廣泛的。然而，盡管孤立子-孤立子相互作用已有大量研究，而要得到以上不同類(lèi)型非線性波之間的相互作用卻仍然是一個(gè)非常棘手的課題。最近我們關(guān)于這方面的研究有了新的進(jìn)展［3-5］。

自LIE［6］第一次將李群理論應(yīng)用到微分方程以來(lái)，李群方法已經(jīng)成為數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域一個(gè)非常重要的課題。利用經(jīng)典和非經(jīng)典李群法［7-8］，可以降低偏微分方程（PDEs）的維度進(jìn)而構(gòu)建它們的解析解。與經(jīng)典李群法類(lèi)似，李點(diǎn)對(duì)稱(chēng)方法同樣可以降低對(duì)應(yīng)偏微分方程的維度。然而，運(yùn)用對(duì)稱(chēng)理論解決非線性方程問(wèn)題，特別是約化非線性偏微分方程，以往人們通常采用局域?qū)ΨQ(chēng)。倘若給定非線性偏微分方程的非局域?qū)ΨQ(chēng)，又如何達(dá)到降低維度的目的呢？一個(gè)簡(jiǎn)單且直接的方法就是將原方程進(jìn)行延拓，使得原非線性系統(tǒng)的非局域?qū)ΨQ(chēng)變成延拓系統(tǒng)的局域?qū)ΨQ(chēng)。文獻(xiàn)［4］中，作者通過(guò)將NLS系統(tǒng)的與達(dá)布變換相關(guān)的非局域?qū)ΨQ(chēng)延拓成李點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，并運(yùn)用對(duì)稱(chēng)約化方法得到了該方程的多種不同類(lèi)型孤立子-非線性波的相互作用解。本文，我們將以mKdV方程為例，通過(guò)將其非局域留數(shù)對(duì)稱(chēng)局域化成對(duì)應(yīng)延拓系統(tǒng)的李點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而利用經(jīng)典李對(duì)稱(chēng)法獲得mKdV系統(tǒng)的扭結(jié)-非線性波相互作用解。

1　mKdV方程的非局域留數(shù)對(duì)稱(chēng)

考慮如下形式的mKdV方程

其中α，β為常數(shù)，分別描述非線性和色散效應(yīng)。mKdV方程作為描述非諧晶格中聲波的一個(gè)模型［9］，由MIURA［10］最早引入。該方程還可用于研究非線性光學(xué)中的波動(dòng)問(wèn)題［11］，塵埃等離子體中的塵埃聲孤波［12］等。由于mKdV方程的廣泛應(yīng)用，對(duì)該方程的求解也成了研究該方程的一個(gè)重要組成部分。在過(guò)去的幾十年里，人們利用多種研究手段得到了mKdV方程的各類(lèi)數(shù)值或解析解［13-14］。

根據(jù)WTC（Weiss，Tabor，Carnevale）［15］方法，采用展開(kāi)式

其中φ≡φ（x，t）是一個(gè)任意奇異流形。將展開(kāi)式（1.2）代入mKdV方程（1.1）并由領(lǐng)頭項(xiàng)分析（即平衡色散項(xiàng)uxxx和非線性項(xiàng)u2ux）得

于是有mKdV方程的Painlevé截?cái)嗾归_(kāi)式

將展開(kāi)式（1.3）代入mKdV方程并消去φ的不同次冪得到如下五個(gè)方程

從以上最后一個(gè)方程（1.8）不難得到

其中δ=±1。比較方程（1.4）和（1.1）不難發(fā)現(xiàn)，u1正是滿足mKdV方程的解，所以有mKdV方程的B？cklund變換

也就是說(shuō)，如果u1是mKdV方程（1.1）的解，那么滿足式子（1.10）的u也是該方程的解。從方程（1.5）不難驗(yàn)證，u0正是mKdV方程（1.4）的線性化方程（或?qū)ΨQ(chēng)方程），于是有u1的對(duì)稱(chēng)

從方程（1.7）并考慮（1.9）式可得到u1和流函數(shù)φ滿足關(guān)系式

由于對(duì)稱(chēng)（1.11）包含流函數(shù)的一次導(dǎo)數(shù)而u1和流函數(shù)φ又有如上（1.12）式的關(guān)系，故（1.11）是u1的一個(gè)非局域?qū)ΨQ(chēng)，亦即非局域留數(shù)對(duì)稱(chēng)。繼續(xù)考慮方程（1.6），得到（1.12）的相容性條件

也就是說(shuō)，方程（1.12）和（1.13）的可積條件φxxt=φtxx正是mKdV方程（，1.4）。

對(duì)稱(chēng)（1.11）是非局域的，接下來(lái)我們將其局域化。若要局域化非局域?qū)ΨQ(chēng)（1.11），首先必須考慮取u的對(duì)稱(chēng)變換u→u+εσu的情況下，變量φ和

對(duì)應(yīng)的變換是什么？也就是求方程（1.12）和（1.14）的線性化方程

需要指出的是，為方便起見(jiàn)，此處u和σu分別代替u1和σu1。如無(wú)特殊說(shuō)明，以下段落均以此表示。將（1.11）代入方程組（1.15）并求解得

其中φ1滿足相容性條件

該條件意味著等式φ1xt=φ1tx恒成立。

對(duì)稱(chēng)（1.11）和（1.16）表明原來(lái)｛x，t，u｝空間的非局域?qū)ΨQ(chēng)已成功局域化為延拓空間｛x，t，u,φ,φ1｝的李點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。該對(duì)稱(chēng)的矢量形式可表示成或者也可以說(shuō)，原空間的非局域?qū)ΨQ(chēng)只是延拓系統(tǒng)｛（1.1），（1.12），（1.14）｝的一個(gè)特殊的李點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

這里需要說(shuō)明的是方程（1.13）和（1.17）可以包括到延拓系統(tǒng)中，或者也可以作為延拓系統(tǒng)的相容條件來(lái)處理。

2　mKdV方程的新對(duì)稱(chēng)約化

現(xiàn)在考慮延拓系統(tǒng)｛（1.1），（1.12），（1.14）｝的對(duì)稱(chēng)約化。根據(jù)經(jīng)典李點(diǎn)對(duì)稱(chēng)方法，設(shè)對(duì)稱(chēng)的矢量形式滿足

其中X，T，U，Φ，Φ1是關(guān)于變量｛x，t，u,φ,φ1｝的函數(shù)。對(duì)稱(chēng)（3.1）意味著該封閉系統(tǒng)在變換

意義下保持不變。由于系統(tǒng)不顯含時(shí)間、空間變量，矢量形式的對(duì)稱(chēng)（2.1）可以寫(xiě)成函數(shù)形式

這里，σu，σφ，σφ1為對(duì)稱(chēng)方程，即延拓系統(tǒng)的線性化方程的解

將對(duì)稱(chēng)（2.3）代入（2.4）并根據(jù)封閉延拓系統(tǒng)及其相容性條件消去ut，φx，φt，φ1x，φ1t等項(xiàng)，得到56個(gè)關(guān)于函數(shù)X, T,U,Φ,Φ1的決定方程。利用計(jì)算工具M(jìn)aple解之得

其中c1，c2，c3，c4，x0，t0均為任意常數(shù)。于是對(duì)稱(chēng)（2.3）可以寫(xiě)成

設(shè)方程（3.6）中σu，σφ，σφ1為零，或等價(jià)于解特征方程

便得延拓系統(tǒng)的相似約化解。

接下來(lái)將分c1≠0和c1=0兩種情形進(jìn)行討論。

2.1第一類(lèi)相似約化（c1≠0）

令方程（2.6）中σu=σφ=σφ1=0，解得延拓系統(tǒng)的相似約化解

其中

式（2.8）中U=U（ξ），Φ≡Φ（ξ），Φ1≡Φ1（ξ）為三個(gè)群不變函數(shù)，相似變量

將相似解（2.8）代入延拓系統(tǒng)｛（1.1），（1.12），（1.14）｝得約化方程

經(jīng)過(guò)整理將約化方程（2.9）簡(jiǎn)化為

其中變換

且

一旦給定非線性偏微分方程（2.10）的解，那么結(jié)合（2.11），（2.12）和（2.8），可得延拓系統(tǒng)｛（1.1），（1.12），（1.14）｝的解。從解（2.8）不難分析，式中tanh部分的出現(xiàn)意味著此時(shí)群不變解是一個(gè)扭結(jié)和非線性波的相互作用。這里我們不再作深入討論。

2.2第二類(lèi)相似約化（c1=0）

當(dāng)c1=0時(shí)，相似變量變?yōu)棣?t-t0x，對(duì)應(yīng)的相似解滿足如下形式

再將解（2.13）代入延拓系統(tǒng)｛（1.1），（1.12），（1.14）｝，得到對(duì)應(yīng)的約化方程

經(jīng)過(guò)整理，方程（2.14）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

或

其中Ψ=t0Φη-x0。另外

從方程（2.16）知道，它的解可以由Jacobi橢圓函數(shù)給定。設(shè)方程（2.15）的解形如

其中Eπ（，，）為第三類(lèi)不完全橢圓積分，sn（，）≡sn為Jacobi橢圓正弦函數(shù)。將（2.18）代入（2.15）并消去sn的不同次冪，得到以下四種形式的解：

解1

解2

解3

解4其中另外六個(gè)常數(shù)ci（i=1，2，3，4），x0，t0，k仍為任意常數(shù)。

將滿足（2.19）（或（2.20），或（2.21），或（2.22））的Φ，Φ1和U（由式（2.17）和（2.18）給定）代入（2.13）便得mKdV方程的相似解。由于式子過(guò)于冗長(zhǎng)，此處不再詳述。事實(shí)上，不論是約化解（2.8）還是（2.13），若從中移除周期波部分（即Φ部分），剩下的只是一個(gè)扭結(jié)，此即mKdV方程的一般對(duì)稱(chēng)約化解。

圖1給出參數(shù)滿足（2.21）式時(shí)mKdV方程的扭結(jié)-橢圓周期波相互作用解，其中1（a）為x=0處相互作用解隨時(shí)間t的演化圖，圖1（b）為對(duì)應(yīng)的三維演化圖。解中其余參數(shù)設(shè)定為β=t0=k=1，m=0.99，α=6，x0=-2.5。圖2展示了參數(shù)滿足（2.22）時(shí)mKdV方程的扭結(jié)-橢圓周期波相互作用解，其中圖2（a）為t=0時(shí)刻相互作用解隨位置x的演化圖，圖2（b）為對(duì)應(yīng)的三維演化圖。解中其余參數(shù)設(shè)定為β=δ=k=1，m=0.99，x0=2.5，t0=-0.8，α=6。觀察圖1和2不難得到，扭結(jié)和橢圓波之間作用是伴有相移的彈性相互作用，其中相移為半波長(zhǎng)。

3　結(jié)論

圖1　mKdV方程的扭結(jié)-橢圓周期波相互作用解，其中參數(shù)滿足（2.21）且取m=0.99，β=δ=t0=k=1，α=6，x0=-2.5. （a）x=0處相互作用解隨時(shí)間演化圖.（b）三維演化圖.Fig.1 The kink-cnoidal wave interaction solution for the mKdV equation with the parameter satisfying（2.21）and m=0.99，β=δ=t0= k=1，α=6，x0=-2.5.（a）the time evolution of kink-cnoidal wave interaction solution at x=0.（b）the 3-D plot.

圖2　mKdV方程的扭結(jié)-橢圓周期波相互作用解，其中參數(shù)滿足（3.22）且取m=0.99，α=6，β=δ=k=1，t0=-0.8，x0=2.5.（a）t=0時(shí)刻相互作用解隨演化圖.（b）三維演化圖.Fig.2　The kink-cnoidal wave interaction solution for the mKdV equation with the parameter selections（3.22）and m=0.99，α=6，β=δ=k=1，t0=-0.8，x0=2.5.（a）the kink dressed by a cnoidal periodic wave at t=0.（b）the 3-D plot.

值得強(qiáng)調(diào)的是，本文我們采用非局域留數(shù)對(duì)稱(chēng)及對(duì)稱(chēng)約化方法得到的相互作用解同樣可以通過(guò)其他方法得到，包括與達(dá)布變換相關(guān)的非局域?qū)ΨQ(chēng)約化法［4］，相容Riccati展開(kāi)法［16］，相容tanh函數(shù)展開(kāi)法［17］等。當(dāng)然，本文運(yùn)用的方法和結(jié)果對(duì)其他眾多非線性系統(tǒng)同樣適用。至于在更多其他非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用、其他不同類(lèi)型非線性波的相互作用解以及其他可能的新的物理應(yīng)用等，我們將作后續(xù)研究和報(bào)道。

［1］KIVSHAR Y S，MALOMED B A.Dynamics of solitons in nearly integrable systems［J］.Rev Mod Phys，1989，61（4）：763-915.

［2］KIVSHAR Y S，LYTHER-DAVIES B.Dark optical solitons：physics and applications［J］.Phys Rep，1998，298（2/3）：81-197.

［3］LOU S Y，CHENG X P，TANG X Y.Dressed dark solitons of the defocusing nonlinear Schr？dinger equation［J］.Chin Phys Lett，2014，37（7）：070201.

［4］CHENG X P，LOU S Y，CHEN C L，et al.Interactions between solitons and other nonlinear Schr？dinger waves［J］.Phys Rev E，2014，89：043202.

［5］CHENG X P，CHEN C L，LOU S Y，Interactions among different types of nonlinear waves described by the Kadomtsev-Petviashvili equation［J］.Wave Motion，2014，51：1 298-1 308.

［6］LIE S.Vorlesungen über differentialgleichungen mit Bekannten infinitesimalen transformationen［M］//TEUBNER B G，1891.New York，1967.

［7］OLVER P J.Application of Lie groups to differential equation［M］.Springer，2000.

［8］BLUMAN G W，KUMEI S.Symmetries and differential equation［M］.Springer，1989.

［9］WADATI M.The modified Kortweg-de Vries equation［J］.J Phys Soc，Japan，1973，34：1 289-1 296.

［10］MIURA R M.Korteweg-de Vries equation and generalizations.I.A remarkable explicit nonlinear transformation［J］.J Math Phys，1968，9：1 202.

［11］AGRAWAL G P.Nonlinear fibre optics［M］.Academic press，2007.

［12］EI-SHAMY E F.Dust-ion-acoustic solitary waves in a hot magnetized dusty plasma with charge fluctuations［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2005，25（3）：665-674.

［13］石玉仁，張娟，楊紅娟，等.mKdV方程的雙扭結(jié)單孤子及其穩(wěn)定性研究［J］.物理學(xué)報(bào)，2010，59（11）：7 564-7 569.

［14］周杰，郝彥，王朝平.交通流優(yōu)化速度差模型的非線性分析［J］.浙江海洋學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，31（6）：563-566.

［15］WEISS J，TABOR M，CARNEVALE G.The Painlevé property for partial differential equations［J］.J Math Phys，1983，24：522.

［16］LOU S Y.Consistent Riccati expansion and solvability［EB/OL］.2013，arXiv：1308.5891.

［17］CHEN C L，LOU S Y.CTE solvability and exact solution to the Broer-Kaup system［J］.Chin Phys Lett，2013，30：110202.

Interactions between Kinks Described by Modified Korteweg-de Vries Equation and Nonlinear Waves

YU Qing-yun1，CHENG Xue-ping1，2，LI Jun-yu1，2，et al
（1.School of Mathematics，Physics and Information Science，Zhejiang Ocean University，Zhoushan316022；
2.Key Laboratory of Oceanographic Big Data Mining and Application of Zhejiang Province，Zhoushan 316022，China）

Recently，it was found that the symmetry related to the Painlevé truncated expansion is just the residue with respect to the singular manifold，which is called non-local residual symmetry.In this paper，by localizing the nonlocal residual symmetry of modified Korteweg-de Vries（mKdV）equation，which is related to the truncated Painlevé expansion，to the Lie point symmetry of extended modified Korteweg-de Vries system，two types of exact solutions of mKdV equation have been obtained by using the symmetry reduction method.These two types of solutions reduce to the usual similarity reduction solutions of mKdV equation when the nonlocal symmetry is removed.

modified Korteweg-de Vries equation；nonlocal residual symmetry；symmetry reduction；kink-nonlinear wave interaction solution

O175.29

A

1008-830X（2015）04-0387-08

2015-01-10

浙江省大學(xué)生科技創(chuàng)新活動(dòng)計(jì)劃（新苗人才計(jì)劃）項(xiàng)目（2014R411016）；國(guó)家自然科學(xué)基金（11505154）

俞清云（1992-），男，浙江慈溪人，研究方向：凝聚態(tài)物理.

程雪蘋(píng)（1982-），女，浙江溫嶺人，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)物理.E-mail：chengxp2005@126.com