透過現(xiàn)象看本質(zhì)，審清題意找方法

姚琦

通過本章的學(xué)習(xí)，同學(xué)們經(jīng)歷了從“三元”到“二元”，從“二元”到“一元”的轉(zhuǎn)化過程，體會到了“消元”、“化歸”等思想，學(xué)會把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題. 懂得這些是為了利用二元一次方程組解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是找出問題中蘊(yùn)涵的等量關(guān)系，建立合適的方程組求解.

例1 若（a-2）x↑a-1+3y=1是關(guān)于x、y的二元一次方程，則a=______.

【分析】本題根據(jù)二元一次方程的定義，需要滿足兩個條件：（1） 含有兩個未知數(shù)； （2） 未知數(shù)的最高次數(shù)是1，據(jù)此就可求解.

解：由題意得：a-2≠0，

a-1=1.求得a=-1.

例2 寫出一個解為x=1，

y=2.的二元一次方程組.

【分析】給未知數(shù)添加一定的系數(shù)就可得到一個方程，要注意的是確定一個方程后，第二個方程的系數(shù)要和第一個方程系數(shù)不成比例，否則化簡后將是同一個方程.

解：2x+y=4，

3x-2y=1.

例3 若x=1，

y=-1.是方程組ax+2y=b，

4x-by=2a-1.的解，則a=______

b=______.

【分析】根據(jù)方程組解得定義，將x=1，

y=-1.代入方程組ax+2y=b，

4x-by=2a-1.后便可得到關(guān)于未知數(shù)a、b的新的方程組a-2=b，

4+b=2a-1.，即可求出a、b的值.

解：將x=1，

y=-1.代入方程組ax+2y=b，

4x-by=2a-1.得a-2=b，

4+b=2a-1.解這個方程組得a=3，

b=1.

例4 已知方程組x+2y=k，①

2x+y=k-7.②的解滿足x+y=3，求k的值.

【分析】本題有4種解法：

（1） 由已知方程組消去k，得x與y的關(guān)系式，再與x+y=3聯(lián)立組成方程組，求出x與y的值. 最后將x，y的值帶代入方程組中任一方程即可求出k的值.

（2） 把k當(dāng)做已知數(shù)，解方程組，再根據(jù)5x-y=3建立關(guān)于k的方程，便可求出k的值.

（3） 把方程組中的兩個方程相加，得到3（x+y）=2k-7，把x+y=3整體代入即可求出k的值.

（4） 把三個方程聯(lián)立構(gòu)成三元一次方程組，求出k的值.

x+y=3，③

解法一：

②-①得 x-y=7，④

③+④得2x=-4，

∴x=-2.

把x=-2代入④得y=5，

把x=-2，y=5代入①得k=8，

解法二：①×2-②，得：y=k+73，

②×2-①得：x=k-143，

把x，y代入③得k+73+k-143=3：

∴k=8.

解法三：①+②得：3（x+y）=2k-7，

把x+y=3代入得

3×3=2k-7

∴k=8.

解法四：解方程組x+2y=k，

2x+y=k+7，

x+y=3.得x=-2，

y=5，

k=8.

例5 已知方程組ax-5y=15，

4x-by=-2.由于甲看錯了方程中的得到的方程組①的a得到方程組的解為x=-3，

y=-1.乙看錯了方程②中的b，得到的解為x=5，

y=4.若按正確的計(jì)算，求原方程的解x與y.

【分析】甲看錯了①中的a得到的解不影響方程②，同樣乙看錯了方程②中的b得到的解不影響方程①，運(yùn)用方程解的定義重新組成新的方程組，這樣可以求出待定系數(shù)a、b，重新代入可求出方程組的解.

解：由題意得方程組：

-12+b=-2，

5a+20=15.解得a=-1，

b=10.代入原方程組得-x-5y=15，

4x-10y=-2.

解這個方程組得x=-1，

y=295.

例6 解方程組 x+y=3，①

y+z=4，②

x+z=5.③

【分析】有三種解法：（1） 直接用加減消元法解方程組；（2） 用代入消元法；（3） 用整體代換的思想.

解法一：③-②得，x-y=1，和①組成方程組解得x=2，y=1，再把y=1代入②得z=3.

解法二：由②、③得，y=4-z，x=5-z，代入①得，z=3，所以y=1，x=2.

解法三：①+②+③得，2（x+y+z）=12，所以x+y+z=6④，④-①得z=3，④-②得x=2，④-③得y=1.

例7 某班級組織學(xué)生做游戲，男生臉都涂藍(lán)色油彩，女生臉都涂紅色油彩. 做游戲時(shí)，每個男生都看見涂涂紅色油彩的人數(shù)比涂藍(lán)色油彩的人數(shù)的2倍少一人，而每個女生都看見涂藍(lán)色油彩的人數(shù)是涂紅色油彩人數(shù)的. 問男生，女生各有幾人？

【分析】本題關(guān)鍵是結(jié)合生活實(shí)例，知道每個男生看到涂藍(lán)色油彩人數(shù)不是題中男生數(shù)，而是除了自己之外的男生數(shù). 同理，女生看到的涂紅色油彩的人數(shù)也是除自己之外的女生人數(shù).

解：設(shè)男生有x人，女生有y人.

根據(jù)題意，得

y=2（x-1）-1，

x=35（y-1）.

解之得x=12，

y=21.

答：男生有12人，女生有21人.

例8 某校組織學(xué)生到100米之外的湖邊去夏令營. 汽車只能坐一半人，另一半人步行. 先坐車的人在途中某處下車步行，汽車則立即回去接線步行的一半人. 已知步行每小時(shí)走4千米，汽車每小時(shí)走20千米（不計(jì)上下車的時(shí)間），要使大家5點(diǎn)鐘同時(shí)到達(dá)，問需幾點(diǎn)出發(fā)？

【分析】我們從行程問題的3個基本量去尋找，可以發(fā)現(xiàn)速度已明確給出，只能從路程和時(shí)間兩個量中找出等量關(guān)系.

由題意知，先坐車的一半人，后坐車的一半人，車之間所用的時(shí)間相同，所以根據(jù)時(shí)間來列方程組，如圖所示是路程示意圖，正確使用示意圖，有助于分析問題，尋找等量關(guān)系.

解：設(shè)先坐車的一半人下車點(diǎn)距起點(diǎn)x千米，這個下車點(diǎn)與后坐車的一半人上車點(diǎn)相距y千米，根據(jù)題意，得：

x20+100-x4=100+2y20，

x-y4+100-x+y20=100+2y20.解這個方程組得x=75，

y=50.100+2y20=10.

答：需要七點(diǎn)鐘出發(fā).

通過以上問題的解決不難發(fā)現(xiàn)，解決問題的途徑往往有很多，因此，在遇到問題時(shí)，要善于結(jié)合實(shí)際問題，聯(lián)系已學(xué)知識，尋求簡潔的解決方法.